1
00:00:00,260 --> 00:00:03,460
Σε προηγούμενο βίντεο είδαμε γραφικές

2
00:00:03,460 --> 00:00:07,320
y=1/x2 και 1/x.

3
00:00:07,320 --> 00:00:10,730
Και είδαμε που τείνει το όριο

4
00:00:10,730 --> 00:00:13,140
καθώς το χ πλησιάζει το 0
σε αυτές τις περιπτώσεις.

5
00:00:13,140 --> 00:00:15,820
Στο αριστερό σενάριο είδαμε

6
00:00:15,820 --> 00:00:18,340
καθώς το χ γίνεται λιγότερο αρνητικό,

7
00:00:18,340 --> 00:00:22,916
καθώς πλησιάζει το 0 από 
αριστερά ,

8
00:00:22,916 --> 00:00:26,180
η τιμή του 1/χ γίνεται απεριόριστο

9
00:00:26,180 --> 00:00:27,560
προς το συν άπειρο.

10
00:00:27,560 --> 00:00:30,930
Το ίδιο συμβαίνει αν πλησιάσουμε από δεξιά,

11
00:00:30,930 --> 00:00:32,530
καθώς το χ γίνεται όλο και πιο μικρό

12
00:00:32,530 --> 00:00:34,170
αλλά πάντα θετικό,

13
00:00:34,170 --> 00:00:35,990
η τιμή του 1/χ

14
00:00:35,990 --> 00:00:38,010
γίνεται απεριόριστη.

15
00:00:38,010 --> 00:00:39,727
Σε εκείνο το βίντεο είδαμε

16
00:00:39,727 --> 00:00:43,150
ότι το όριο είναι απεριόριστο.

17
00:00:43,150 --> 00:00:45,270
Σε αυτό το βίντεο

18
00:00:45,270 --> 00:00:47,410
θα εισάγουμε νέο συμβολισμό.

19
00:00:47,410 --> 00:00:49,150
Αντί να λέμε ότι είναι απεριόριστο,

20
00:00:49,150 --> 00:00:51,160
θα πούμε ότι από αριστερά και από 
δεξιά

21
00:00:51,160 --> 00:00:53,590
το όριο τείνει στο συν άπειρο.

22
00:00:53,590 --> 00:00:55,697
Θα δούμε τον συμβολισμό

23
00:00:55,697 --> 00:00:58,320
πότε πάει στο άπειρο

24
00:00:58,320 --> 00:01:00,240
που συνήθως χρησιμοποιούμε.

25
00:01:00,240 --> 00:01:01,700
Μερικοί θα το πουν απεριόριστο,

26
00:01:01,700 --> 00:01:03,160
άλλοι ότι δεν υπάρχει

27
00:01:03,160 --> 00:01:05,730
αφούν δεν προσεγγίζουμε μια 
πεπερασμένη τιμή,

28
00:01:05,730 --> 00:01:07,630
άλλοι θα χρησιμοποιήσουν τον συμβολισμό

29
00:01:07,630 --> 00:01:10,220
του ορίο που προσεγγίζει το άπειρο.

30
00:01:10,220 --> 00:01:11,760
Τι γίνεται με αυτήν την περίπτωση;

31
00:01:11,760 --> 00:01:14,220
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε 
νεο συμβολισμό εδώ;

32
00:01:14,220 --> 00:01:18,310
Πλησιάζουμε το μηδέν από αριστερά,

33
00:01:18,310 --> 00:01:21,120
φαίνεται απεριόριστο από τα αρνητικά,

34
00:01:21,120 --> 00:01:23,310
όταν πλησιάζουμε το 0 από τα δεξιά,

35
00:01:23,310 --> 00:01:26,260
είναι απεριόριστο από την θετική 
κατεύθυνση.

36
00:01:26,260 --> 00:01:28,760
Εδώ δεν μπορείτε να πείτε

37
00:01:28,760 --> 00:01:30,710
ότι το όριο πλησιάζει το άπειρο

38
00:01:30,710 --> 00:01:32,440
επειδή από τα δεξιά 
πλησιάζει το άπειρο,

39
00:01:32,440 --> 00:01:34,660
αλλά από αριστερά πλησιάζειτο μείον άπειρο.

40
00:01:34,660 --> 00:01:39,660
Μπορείτε να πείτε ότι δεν υπάρχει.

41
00:01:39,760 --> 00:01:42,340
Μπορείτε να κάνετε πλευρικά όρια εδώ,

42
00:01:42,340 --> 00:01:43,670
τα οποία ίσως δεν γνωρίζετε,

43
00:01:43,670 --> 00:01:45,780
δείτε στην Khan Αcademy.

44
00:01:45,780 --> 00:01:49,010
Αν λέγαμε ότι το όριο του 1/χ

45
00:01:49,010 --> 00:01:53,340
καθώς το χ πλησιάζει το 0 
από τα αριστερά,

46
00:01:53,340 --> 00:01:55,810
από τιμές μικρότερες του μηδενός,

47
00:01:55,810 --> 00:01:57,627
θα βλέπαμε αυτό εδώ και θα

48
00:01:57,627 --> 00:01:59,544
λέγαμε ότι είναι

49
00:01:59,544 --> 00:02:00,790
απεριόριστο από τα αρνητικά.

50
00:02:00,790 --> 00:02:04,270
Θα λέγαμε ότι ισούται με μείον άπειρο.

51
00:02:04,270 --> 00:02:09,270
Αν λέγαμε ότι το όριο καθώς 
το χ πλησιάζει το μηδέν

52
00:02:09,669 --> 00:02:12,700
από δεξιά του 1/χ

53
00:02:12,700 --> 00:02:14,500
είναι απεριόριστο από την
θετική κατεύθυνση

54
00:02:14,500 --> 00:02:17,650
θα ισούται με συν άπειρο.

55
00:02:17,650 --> 00:02:19,760
Ας κάνουμε ένα παράδειγμα από την Ακαδημία

56
00:02:19,760 --> 00:02:22,493
σε αυτή την ιδέα και συμβολισμό.

57
00:02:23,610 --> 00:02:27,540
Έχουμε τις γραφικές Α Β και Γ.

58
00:02:27,540 --> 00:02:30,470
Οι διακεκομένες γραμμές είναι ασύμπτωτες.

59
00:02:30,470 --> 00:02:33,260
Ποια από τις γραφικές 
συμφωνεί με την πρόταση,

60
00:02:33,260 --> 00:02:36,160
ότι το όριο της h καθώς το χ

61
00:02:36,160 --> 00:02:37,480
πλησιάζει το 1 είναι άπειρο;

62
00:02:37,480 --> 00:02:39,980
Κάντε παύση και σκεφτείτε το.

63
00:02:40,940 --> 00:02:42,350
Ας τις δούμε λοιπόν.

64
00:02:42,350 --> 00:02:44,850
Θέλω να δούμε τι συμβαίνει στο χ=1.

65
00:02:44,850 --> 00:02:47,860
Εδώ στην γραφική Α.

66
00:02:47,860 --> 00:02:49,880
Καθώς το χ πλησιάζει το 1,

67
00:02:49,880 --> 00:02:52,120
ας το γράψω, το όριο,

68
00:02:52,120 --> 00:02:53,860
ας το κάνω για τις 
διαφορετικές γραφικές.

69
00:02:53,860 --> 00:02:58,753
Για την γραφική Α το όριο
καθώς το χ τείνει στο 1

70
00:02:59,680 --> 00:03:02,360
από αριστερά, φαίνεται να

71
00:03:02,360 --> 00:03:04,160
είναι απεριόριστο από τα θετικά.

72
00:03:04,160 --> 00:03:07,091
Αυτό ισούται με άπειρο και το όριο

73
00:03:07,091 --> 00:03:11,530
καθώς το χ τείνει στο 1 από δεξιά,

74
00:03:11,530 --> 00:03:14,020
αυτό πηγαίνει στο μείον άπειρο.

75
00:03:14,020 --> 00:03:15,970
Αυτό ισούται με μείον άπειρο.

76
00:03:15,970 --> 00:03:18,770
Αφού πάμε σε δυο κατευθύνσεις,

77
00:03:18,770 --> 00:03:19,860
δεν μπορούμε να πούμε

78
00:03:19,860 --> 00:03:21,420
ότι το όριο 
καθώς το χ τείνει στο 1

79
00:03:21,420 --> 00:03:23,450
από τις δυο κατευθύνσεις 
ισούται με άπειρο.

80
00:03:23,450 --> 00:03:25,700
Θα απορρίψω αυτό.

81
00:03:25,700 --> 00:03:27,710
Ας δούμε την επιλογή Β.

82
00:03:27,710 --> 00:03:32,710
Ποιο είναι το όριο καθώς το χ 
τείνει στο 1 από αριστερά;

83
00:03:33,220 --> 00:03:36,250
Και φυσικά υπάρχουν h του χ.

84
00:03:36,250 --> 00:03:37,610
Ας το γράψω.

85
00:03:37,610 --> 00:03:40,970
h του x εδώ.

86
00:03:40,970 --> 00:03:43,589
Καθώς πλησιάζουμε από αριστερά,

87
00:03:43,589 --> 00:03:47,390
φαίνεται πάμε στο συν άπειρο.

88
00:03:47,390 --> 00:03:50,740
Και φαίνεται ότι το ότιο του h του χ

89
00:03:50,740 --> 00:03:54,220
καθώς τείνουμε στο 1 από δεξιά

90
00:03:54,220 --> 00:03:56,860
είναι επίσης συν άπειρο.

91
00:03:56,860 --> 00:03:58,710
Αφού τείνουμε στο ίδιο άπειρο

92
00:03:58,710 --> 00:04:02,630
το Β μάλλον είναι το σωστό

93
00:04:02,630 --> 00:04:04,490
αλλά για σιγουριά ας

94
00:04:04,490 --> 00:04:06,730
δουμε και το Γ.

95
00:04:06,730 --> 00:04:09,890
Φαίνεται καθαρά χ=1,

96
00:04:09,890 --> 00:04:11,230
ότι καθώς το πλησιάζουμε 
από αριστερά,

97
00:04:11,230 --> 00:04:12,490
πάμε στο μείον άπειρο,

98
00:04:12,490 --> 00:04:14,332
και από τα δεξιά

99
00:04:14,332 --> 00:04:15,741
πάμε στο συν άπειρο.

100
00:04:15,741 --> 00:04:18,740
Οπότε δεν τείνουμε

101
00:04:18,740 --> 00:04:20,130
στο ίδιο άπειρο.

102
00:04:20,130 --> 00:04:22,293
Οπότε αποκλείουμε και το Γ.