Local linearization

我们对

4.36 的平方根的近似值感兴趣，

我们想找到

它的近似值，我们手中没有计算器，

那么，一个考虑方法就是我们知道

4 的平方根是什么，

我们知道它是 +2，

4 的主根是 +2，

它就会是比 2 多一点，

我们若是要更精确一点，

这就是我在这个视频中要讲的

一种方法，求一个函数中，

在一个已知的函数值附近的函数近似值，

我所说的意思是什么呢？

我们想象我们有一个函数，

我们有一个函数 f(x) 等于 x 的平方根，

当然，它和 x 的 1/2 次方是相同的，

我们知道，f(2)是什么，

我们知道 f(2)，抱歉，是我们知道 f(4)，

我们知道 f(4) 是 4 的平方根，

它就是 2，或者说 4 的主根

是 +2，我们要近似地找出

f(4.36)等于什么，

这就构成了

我们在这个视频开始时的同一个问题的另一种方式，

我们来想象一下这个函数，

我们来想一会儿，

我来画一下数轴，

这是我的 y 轴，

这是我的 x 轴，我把 y 等于 f(x) 画出来，

它看起来是这样的，

y = f(x) 是这个样子，

很漂亮，

这就是 y = f(x)，

我们知道， f(4) = 2，

f(4) = 2，这是在 x = 4，

我没有按照比例来画，但希望它能表达清楚，

就在这里，它是 2，

也就是 f(4)，

我们要 f(4.36) 的近似值，4.36 大概在这里，

我们要这里的

y 的近似值，

我们要对它进行近似，

这里就是 f(4.36)，

再说一遍，我们假设我们手里没有计算器，

我们怎样用我们知道的导数来做呢？

如果我们求一个直线方程，

这是这一点的切线，就是这一点的切线，

这个切线的方程在 x = 4 ，然后，

我们使用线性化方法，线性化可以定义它周边的近似值，

这个技术叫做局部线性化。

我说的是，我们找出这个直线的方程是什么，

我们叫它 L(x)，

我们可以用它来求近似，

然后，我们来计算在 4.36 的函数值，

希望这比

从这里寻找更容易做出来

我们怎样做呢？

一个办法是，显然，有许多

表示直线的方法，一个办法就是，

L(x) 是 f(4），也就是 2，

它就是 f(4) 加上这个斜率，

就是在 x=4 的斜率，当然，它就是 导数 f '(4)，

这个直线 L(x) 的斜率就是 f '(4)

我写清楚一些，

这是它的斜率，

在 x=4 的斜率，

这是整个这条直线的斜率，

这样，直线上的任何其他的点就是 f(4) 加上

斜率乘以这个点到 x = 4 的距离，

也就是乘以 x - 4，

我们要证实它的合理性，

当我们把 4.36 放在这里，

我来把图放大一下，这样看得更清楚些，

如果它是 --放大

把它放大，

我要把这个区域放大，

这就是点

（4，f(4) )，我们画出 L(x)，

我来做一下，

这里是 L(x) ,

这是 L(x)，

我们说这里，

就是点 ( 4.36，f(4.36) )，

我们对这个值求近似，就是

要找到这个值是什么，

它的值是什么，

这个值就是 (4.36，L(4.36) )，

这条直线可以计算当 x = 4.36，它等于什么，

它等于什么？

我们来看，

我们计算它的值，

L(4.36) 就等于 f(4)，

也就是 2 ，加上 导数，

也就是这条线的斜率，加上 f '(4) 乘以 (x - 4)，

4.36 - 4 ，就是乘以 0.36，这是对的，

你的起点在 2，你可以说，

我在 x 的变化是 0.36，（原文说 4.36 是个错误 --译者）

所以。我在 y 的变化就是我的斜率乘以 x 的变化，

我就可以得到这里的值，

我们来计算一下它是多少，

计算这一点的值，看它实际是多少，

要计算它，我们需要知道 f '(4)，我们回到这里，

我要把这个图保留在这里，

我们看到，f '(x) 就是

1/2 乘以 x 的 -1/2 次方，我们是使用了指数法则，

f '(4) 等于

1/2 乘以 4 的 -1/2 次方，

它就当然等于1/2 乘以 1/2，

4 的 1/2 次方是 2，

4 的 -1/2 次方就是 1/2，

它就等于 1/4，

我们应该要击鼓了，L(4.36) 就等于f(4) ,

等于 f(4) 它等于--我重写一下--

它就是 f(4) 加上 f '(4)，加上--嗨，我为啥变成这个颜色？

我用黄色，

加上 f '(4) 乘以，乘以

乘以 4.36

4.36

让我给它用一个新颜色，可以看出它来，

4.36, 乘以 4.36 - 4，

减去 4，我把所有的 4 都用黄色，

所以我们可以看到它们相同，就这样，

它等于什么？

我们已经知道，这是 +2，

这是已经算出来的，我们用黄色来写，

这个，我们已经算出是 1/4，这里这一部分是 0.36，

它就等于 2 加上

1/4 乘以 0.36，就是 0.09，

它就等于 2.09，

这就是我们的近似，它要比--

至少根据我们画的图像

它要比实际的

4.36 的平方根的值略高一点，我们在这里写出来，

它就近似地--我这样写--

这个平方根，我在这里写出来，

所以我们可以说 4.36 的平方根，也就是 f(4.36)

近似地等于 2.09，

现在，如果我们碰巧找到一个计算器，

出于好奇，我们看看我们的近似有多么好，

我们拿出计算器，

我们要做出 4.36 的平方根，我们得到 2.088，

这样，如果我们圆整到最接近的1/100，

我们得到了相当好的近似值。正如我们

在这个说明性的图像里看到的，

我们的近似值比实际值高了一点点。