Визуализиране на ред на Тейлър за е^х

Дадена ни е функцията f(х) = е^х.

За да добием представа за нея,

ще скицирам грубо графиката
на f(х) = е^х.

Ще изглежда горе-долу така.

Това е е^х

Искам да намерим
приближението на

f(х) = е^х с помощта
на ред на Тейлър.

Искам да направим това
обаче не за х = 0,

искам да го направим за х = 3,

просто една произволна стойност.

Значи ще го направим за х = 3.

Това е х = 3, ето тук.

Това е f(3), което
е равно на е^3.

Това тук е е на трета степен.

Когато развиваме реда
на Тейлър,

ако имаме полином от нулева степен,
който апроксимира функцията,

най-доброто, което можем да направим,
е да вземем постоянна функция,

която преминава точно през е^3.

Ако правим апроксимация
от първа степен,

значи имаме член от първа степен,

тогава това ще бъде
допирателна.

И като добавяме още
членове от по-висока степен,

можем евентуално да
постигнем крива, която

е все по-близка до кривата
на функцията.

В бъдеще ще говорим повече
как изследваме за сходимост,

колко добре сме направили
приближението и всичко от сорта.

След всичко казано дотук,
да приложим формулата,

която, надявам се, ти е
вече позната от предходното видео.

Редът на Тейлър за функцията
f(х) = е^х

представлява полином.

Колко е f(с)?

Ако х е равно на 3, тогава

в този случай
стойността на нашето с е 3.

Ако с = 3, f(3) = е^3.

Значи става е^3 плюс...
колко е производната f'(с)?

f'(х) е равно на е^х.

Намираме производната на
е^х, която е е^х.

Това е едно от най-хубавите
неща относно е^х.

Значи това е също и f'(х).

Това е равно всъщност и
на n-тата производна на f(х).

Мога да продължа да намирам
производните на това,

и ще получаваме винаги е^х.

Значи f'(х) е е^х.

Изчисляваме това за х = 3,
и получаваме е^3 отново,

по (х – 3), с е 3,
плюс втората производна.

Функцията отново е e^х.

Изчисляваме за 3, и
получаваме е^3 върху 2!,

по (х – 3) на втора степен.

И можем да продължим.

Третата производна е
отново e^x.

Изчисляваме това за 3.
В този случай с е равно на 3.

Получаваме е^3 върху 3!

по (х – 3)^3.

Можем да продължим по
същия начин, но

смятам, че разбираш
принципа.

Но това, което е още
по-интересно

от простото развиване
на полинома,

е да видим, че като добавяме
още и още членове,

той започва да се приближава
все по-добре до е^х.

Нашето приближение става
все по-добро все по-далеч

от точката х = 3.

За да видим това, аз използвах
инструмента WolframAlpha,

който е на сайта wolframalpha.com.

Мисля, че въведох ред
на Тейлър

за функцията е^х за х = 3.

Софтуерът разбра какво
ми трябва и ми даде

всичко това ето тук.

И всъщност изчисли реда на Тейлър.

Можеш да видиш, че
е идентичен

с това, което получихме тук,
е^3 плюс е^3(х –3).

Имаме е^3 + е^3(х – 3) + 1/2.

Те всъщност са
изчислили факториела.

Вместо 3! са написали 6.

И тук са дали много членове.

Но това, което е още
по-интересно, е че те

са начертали всеки от тези полиноми
с все повече и повече членове.

В оранжево имаме е^х.

Това е f(х) = е^х.

После ни казват: степен
на апроксимация,

показана с n на брой точки.

Значи степента на апроксимация,

това тук е случаят, в който
имаме полином от първа степен,

това е буквално –
полином от първа степен

са тези два члена ето тук.

Понеже това е нулева степен,
това е първа степен.

Имаме х^1 ето тук.

Ако трябва да начертаем това –
ако това е нашият полином,

тук е кодирано с една точка.

Това е тази крива,
с една точка, ето тук,

поставили я са точно ето тук.

Виждаме, че това е просто
една допирателна права

за х = 3.

Това тук е х = 3,
това е допирателна права.

Ако добавим още един член,
ще получим полином от втора степен,

защото добавяме х^2.

Ако разкрием скобите тук, ще
получим член от втора степен,

и после ще имаме
друг член, съдържащ х,

но степента на полинома
сега е втора степен.

Да видим сега крива с две точки.

Трябва да е ето тази.

Да видим, две точки.

Тук има една, две точки.

Имаме две точки, идва насам.

Графиката е парабола.

Това е полином от втора
степен, който после идва ето така.

Но обърни внимание, че това е по-точно
приближение, особено около х = 3,

по-близко е до
графиката на функцията.

Тази крива следва графиката
на функцията малко по-дълго.

Ако добавим още един член –
ще използвам нов цвят,

който не съм използвал досега.

Добавяме нов член и става
полином от трета степен.

Ако комбинираме тези,

ако това е нашият полином,
който трябва да начертаем,

да потърсим тук
кривата с три точки.

Една, две, три.

Това е тази крива.

На полином от трета степен
съответства тази крива ето тук.

Забележи, че тази крива
започва да се приближава

към х още по-бързо от
тази на полинома от втора степен.

И я следва малко по-дълго.

И се получава ето това.

Добавяме още един член от
четвърта степен.

Сега имаме всичко това
плюс всичко това тук.

Ако това е нашият полином,

сега съответстващата му
крива е ето тази.

Забележи, че всеки път,
когато добавяме член,

приближението става
все по-точно и по-точно

спрямо кривата e^х и в области,
по-отдалечени от х = 3.

И ако добавим още един член,
получаваме този полином.

Надявам се, че това
е достатъчно, за да се убедиш,

че се приближаваме все повече и повече,
колкото повече членове добавяме.

Така че можеш да си представиш
дяволски доброто приближение,

което ще получим, когато
прибавим безкраен брой членове.