[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.75,0:00:05.89,Default,,0000,0000,0000,,Дадена ни е функцията f(х) = е^х.
Dialogue: 0,0:00:05.89,0:00:08.24,Default,,0000,0000,0000,,За да добием представа за нея,
Dialogue: 0,0:00:08.24,0:00:13.14,Default,,0000,0000,0000,,ще скицирам грубо графиката\Nна f(х) = е^х.
Dialogue: 0,0:00:13.14,0:00:18.34,Default,,0000,0000,0000,,Ще изглежда горе-долу така.
Dialogue: 0,0:00:18.52,0:00:20.69,Default,,0000,0000,0000,,Това е е^х
Dialogue: 0,0:00:20.69,0:00:23.38,Default,,0000,0000,0000,,Искам да намерим\Nприближението на
Dialogue: 0,0:00:23.38,0:00:30.86,Default,,0000,0000,0000,,f(х) = е^х с помощта\Nна ред на Тейлър.
Dialogue: 0,0:00:30.92,0:00:33.44,Default,,0000,0000,0000,,Искам да направим това\Nобаче не за х = 0,
Dialogue: 0,0:00:33.44,0:00:37.05,Default,,0000,0000,0000,,искам да го направим за х = 3,
Dialogue: 0,0:00:37.05,0:00:39.56,Default,,0000,0000,0000,,просто една произволна стойност.
Dialogue: 0,0:00:39.56,0:00:41.52,Default,,0000,0000,0000,,Значи ще го направим за х = 3.
Dialogue: 0,0:00:41.52,0:00:44.70,Default,,0000,0000,0000,,Това е х = 3, ето тук.
Dialogue: 0,0:00:44.86,0:00:48.64,Default,,0000,0000,0000,,Това е f(3), което\Nе равно на е^3.
Dialogue: 0,0:00:48.78,0:00:52.08,Default,,0000,0000,0000,,Това тук е е на трета степен.
Dialogue: 0,0:00:52.08,0:00:54.52,Default,,0000,0000,0000,,Когато развиваме реда \Nна Тейлър,
Dialogue: 0,0:00:54.52,0:00:59.12,Default,,0000,0000,0000,,ако имаме полином от нулева степен,\Nкойто апроксимира функцията,
Dialogue: 0,0:00:59.12,0:01:02.63,Default,,0000,0000,0000,,най-доброто, което можем да направим,\Nе да вземем постоянна функция,
Dialogue: 0,0:01:02.63,0:01:05.38,Default,,0000,0000,0000,,която преминава точно през е^3.
Dialogue: 0,0:01:05.38,0:01:09.92,Default,,0000,0000,0000,,Ако правим апроксимация\Nот първа степен,
Dialogue: 0,0:01:09.92,0:01:11.75,Default,,0000,0000,0000,,значи имаме член от първа степен,
Dialogue: 0,0:01:11.75,0:01:14.61,Default,,0000,0000,0000,,тогава това ще бъде \Nдопирателна.
Dialogue: 0,0:01:14.61,0:01:16.36,Default,,0000,0000,0000,,И като добавяме още\Nчленове от по-висока степен,
Dialogue: 0,0:01:16.36,0:01:19.09,Default,,0000,0000,0000,,можем евентуално да\Nпостигнем крива, която
Dialogue: 0,0:01:19.09,0:01:21.91,Default,,0000,0000,0000,,е все по-близка до кривата \Nна функцията.
Dialogue: 0,0:01:21.92,0:01:25.92,Default,,0000,0000,0000,,В бъдеще ще говорим повече\Nкак изследваме за сходимост,
Dialogue: 0,0:01:25.94,0:01:28.62,Default,,0000,0000,0000,,колко добре сме направили\Nприближението и всичко от сорта.
Dialogue: 0,0:01:28.63,0:01:30.76,Default,,0000,0000,0000,,След всичко казано дотук,\Nда приложим формулата,
Dialogue: 0,0:01:30.76,0:01:34.80,Default,,0000,0000,0000,,която, надявам се, ти е\Nвече позната от предходното видео.
Dialogue: 0,0:01:34.80,0:01:38.16,Default,,0000,0000,0000,,Редът на Тейлър за функцията \Nf(х) = е^х
Dialogue: 0,0:01:38.17,0:01:42.56,Default,,0000,0000,0000,,представлява полином.
Dialogue: 0,0:01:42.56,0:01:44.59,Default,,0000,0000,0000,,Колко е f(с)?
Dialogue: 0,0:01:44.59,0:01:46.41,Default,,0000,0000,0000,,Ако х е равно на 3, тогава
Dialogue: 0,0:01:46.41,0:01:49.23,Default,,0000,0000,0000,,в този случай\Nстойността на нашето с е 3.
Dialogue: 0,0:01:49.23,0:01:53.36,Default,,0000,0000,0000,,Ако с = 3, f(3) = е^3.
Dialogue: 0,0:01:53.36,0:01:57.62,Default,,0000,0000,0000,,Значи става е^3 плюс...\Nколко е производната f'(с)?
Dialogue: 0,0:01:57.62,0:02:00.98,Default,,0000,0000,0000,,f'(х) е равно на е^х.
Dialogue: 0,0:02:00.98,0:02:03.40,Default,,0000,0000,0000,,Намираме производната на\Nе^х, която е е^х.
Dialogue: 0,0:02:03.40,0:02:06.47,Default,,0000,0000,0000,,Това е едно от най-хубавите\Nнеща относно е^х.
Dialogue: 0,0:02:06.47,0:02:08.46,Default,,0000,0000,0000,,Значи това е също и f'(х).
Dialogue: 0,0:02:08.46,0:02:12.14,Default,,0000,0000,0000,,Това е равно всъщност и\Nна n-тата производна на f(х).
Dialogue: 0,0:02:12.14,0:02:13.85,Default,,0000,0000,0000,,Мога да продължа да намирам\Nпроизводните на това,
Dialogue: 0,0:02:13.85,0:02:15.84,Default,,0000,0000,0000,,и ще получаваме винаги е^х.
Dialogue: 0,0:02:15.84,0:02:18.39,Default,,0000,0000,0000,,Значи f'(х) е е^х.
Dialogue: 0,0:02:18.39,0:02:23.30,Default,,0000,0000,0000,,Изчисляваме това за х = 3,\Nи получаваме е^3 отново,
Dialogue: 0,0:02:23.30,0:02:29.70,Default,,0000,0000,0000,,по (х – 3), с е 3,\Nплюс втората производна.
Dialogue: 0,0:02:29.70,0:02:31.14,Default,,0000,0000,0000,,Функцията отново е e^х.
Dialogue: 0,0:02:31.14,0:02:34.91,Default,,0000,0000,0000,,Изчисляваме за 3, и \Nполучаваме е^3 върху 2!,
Dialogue: 0,0:02:34.91,0:02:39.83,Default,,0000,0000,0000,,по (х – 3) на втора степен.
Dialogue: 0,0:02:39.83,0:02:41.10,Default,,0000,0000,0000,,И можем да продължим.
Dialogue: 0,0:02:41.10,0:02:43.09,Default,,0000,0000,0000,,Третата производна е\Nотново e^x.
Dialogue: 0,0:02:43.09,0:02:46.33,Default,,0000,0000,0000,,Изчисляваме това за 3.\NВ този случай с е равно на 3.
Dialogue: 0,0:02:46.33,0:02:49.84,Default,,0000,0000,0000,,Получаваме е^3 върху 3!
Dialogue: 0,0:02:49.84,0:02:52.56,Default,,0000,0000,0000,,по (х – 3)^3.
Dialogue: 0,0:02:52.56,0:02:54.17,Default,,0000,0000,0000,,Можем да продължим по\Nсъщия начин, но
Dialogue: 0,0:02:54.17,0:02:55.84,Default,,0000,0000,0000,,смятам, че разбираш\Nпринципа.
Dialogue: 0,0:02:55.84,0:02:58.59,Default,,0000,0000,0000,,Но това, което е още \Nпо-интересно
Dialogue: 0,0:02:58.59,0:03:01.18,Default,,0000,0000,0000,,от простото развиване \Nна полинома,
Dialogue: 0,0:03:01.18,0:03:04.80,Default,,0000,0000,0000,,е да видим, че като добавяме\Nоще и още членове,
Dialogue: 0,0:03:04.80,0:03:08.12,Default,,0000,0000,0000,,той започва да се приближава\Nвсе по-добре до е^х.
Dialogue: 0,0:03:08.24,0:03:11.56,Default,,0000,0000,0000,,Нашето приближение става\Nвсе по-добро все по-далеч
Dialogue: 0,0:03:11.56,0:03:13.90,Default,,0000,0000,0000,,от точката х = 3.
Dialogue: 0,0:03:13.90,0:03:16.52,Default,,0000,0000,0000,,За да видим това, аз използвах \Nинструмента WolframAlpha,
Dialogue: 0,0:03:16.52,0:03:19.70,Default,,0000,0000,0000,,който е на сайта wolframalpha.com.
Dialogue: 0,0:03:19.70,0:03:24.27,Default,,0000,0000,0000,,Мисля, че въведох ред\Nна Тейлър
Dialogue: 0,0:03:24.27,0:03:26.70,Default,,0000,0000,0000,,за функцията е^х за х = 3.
Dialogue: 0,0:03:26.70,0:03:28.64,Default,,0000,0000,0000,,Софтуерът разбра какво\Nми трябва и ми даде
Dialogue: 0,0:03:28.64,0:03:30.29,Default,,0000,0000,0000,,всичко това ето тук.
Dialogue: 0,0:03:30.29,0:03:31.74,Default,,0000,0000,0000,,И всъщност изчисли реда на Тейлър.
Dialogue: 0,0:03:31.74,0:03:33.37,Default,,0000,0000,0000,,Можеш да видиш, че\Nе идентичен
Dialogue: 0,0:03:33.37,0:03:37.90,Default,,0000,0000,0000,,с това, което получихме тук,\Nе^3 плюс е^3(х –3).
Dialogue: 0,0:03:38.02,0:03:41.70,Default,,0000,0000,0000,,Имаме е^3 + е^3(х – 3) + 1/2.
Dialogue: 0,0:03:41.78,0:03:43.66,Default,,0000,0000,0000,,Те всъщност са\Nизчислили факториела.
Dialogue: 0,0:03:43.67,0:03:45.84,Default,,0000,0000,0000,,Вместо 3! са написали 6.
Dialogue: 0,0:03:45.84,0:03:47.66,Default,,0000,0000,0000,,И тук са дали много членове.
Dialogue: 0,0:03:47.66,0:03:49.91,Default,,0000,0000,0000,,Но това, което е още\Nпо-интересно, е че те
Dialogue: 0,0:03:49.91,0:03:55.60,Default,,0000,0000,0000,,са начертали всеки от тези полиноми \Nс все повече и повече членове.
Dialogue: 0,0:03:55.60,0:03:58.05,Default,,0000,0000,0000,,В оранжево имаме е^х.
Dialogue: 0,0:03:58.05,0:04:01.39,Default,,0000,0000,0000,,Това е f(х) = е^х.
Dialogue: 0,0:04:01.39,0:04:05.07,Default,,0000,0000,0000,,После ни казват: степен\Nна апроксимация,
Dialogue: 0,0:04:05.07,0:04:07.33,Default,,0000,0000,0000,,показана с n на брой точки.
Dialogue: 0,0:04:07.33,0:04:10.14,Default,,0000,0000,0000,,Значи степента на апроксимация,
Dialogue: 0,0:04:10.14,0:04:14.16,Default,,0000,0000,0000,,това тук е случаят, в който\Nимаме полином от първа степен,
Dialogue: 0,0:04:14.16,0:04:16.74,Default,,0000,0000,0000,,това е буквално –\Nполином от първа степен
Dialogue: 0,0:04:16.74,0:04:18.86,Default,,0000,0000,0000,,са тези два члена ето тук.
Dialogue: 0,0:04:18.86,0:04:21.43,Default,,0000,0000,0000,,Понеже това е нулева степен,\Nтова е първа степен.
Dialogue: 0,0:04:21.43,0:04:25.26,Default,,0000,0000,0000,,Имаме х^1 ето тук.
Dialogue: 0,0:04:25.26,0:04:28.03,Default,,0000,0000,0000,,Ако трябва да начертаем това –\Nако това е нашият полином,
Dialogue: 0,0:04:28.03,0:04:29.90,Default,,0000,0000,0000,,тук е кодирано с една точка.
Dialogue: 0,0:04:29.90,0:04:33.58,Default,,0000,0000,0000,,Това е тази крива, \Nс една точка, ето тук,
Dialogue: 0,0:04:33.58,0:04:36.44,Default,,0000,0000,0000,,поставили я са точно ето тук.
Dialogue: 0,0:04:36.44,0:04:38.77,Default,,0000,0000,0000,,Виждаме, че това е просто\Nедна допирателна права
Dialogue: 0,0:04:38.77,0:04:41.52,Default,,0000,0000,0000,,за х = 3.
Dialogue: 0,0:04:41.52,0:04:45.30,Default,,0000,0000,0000,,Това тук е х = 3,\Nтова е допирателна права.
Dialogue: 0,0:04:45.30,0:04:49.14,Default,,0000,0000,0000,,Ако добавим още един член,\Nще получим полином от втора степен,
Dialogue: 0,0:04:49.14,0:04:52.07,Default,,0000,0000,0000,,защото добавяме х^2.
Dialogue: 0,0:04:52.07,0:04:54.33,Default,,0000,0000,0000,,Ако разкрием скобите тук, ще\Nполучим член от втора степен,
Dialogue: 0,0:04:54.33,0:04:55.83,Default,,0000,0000,0000,,и после ще имаме \Nдруг член, съдържащ х,
Dialogue: 0,0:04:55.83,0:04:58.84,Default,,0000,0000,0000,,но степента на полинома\Nсега е втора степен.
Dialogue: 0,0:04:58.84,0:05:00.33,Default,,0000,0000,0000,,Да видим сега крива с две точки.
Dialogue: 0,0:05:00.33,0:05:02.89,Default,,0000,0000,0000,,Трябва да е ето тази.
Dialogue: 0,0:05:02.89,0:05:05.72,Default,,0000,0000,0000,,Да видим, две точки.
Dialogue: 0,0:05:05.88,0:05:08.18,Default,,0000,0000,0000,,Тук има една, две точки.
Dialogue: 0,0:05:08.19,0:05:12.14,Default,,0000,0000,0000,,Имаме две точки, идва насам.
Dialogue: 0,0:05:12.14,0:05:13.62,Default,,0000,0000,0000,,Графиката е парабола.
Dialogue: 0,0:05:13.62,0:05:16.78,Default,,0000,0000,0000,,Това е полином от втора\Nстепен, който после идва ето така.
Dialogue: 0,0:05:16.94,0:05:21.40,Default,,0000,0000,0000,,Но обърни внимание, че това е по-точно\Nприближение, особено около х = 3,
Dialogue: 0,0:05:21.40,0:05:23.17,Default,,0000,0000,0000,,по-близко е до\Nграфиката на функцията.
Dialogue: 0,0:05:23.17,0:05:25.86,Default,,0000,0000,0000,,Тази крива следва графиката\Nна функцията малко по-дълго.
Dialogue: 0,0:05:25.86,0:05:31.03,Default,,0000,0000,0000,,Ако добавим още един член –\Nще използвам нов цвят,
Dialogue: 0,0:05:31.03,0:05:32.64,Default,,0000,0000,0000,,който не съм използвал досега.
Dialogue: 0,0:05:32.64,0:05:35.56,Default,,0000,0000,0000,,Добавяме нов член и става\Nполином от трета степен.
Dialogue: 0,0:05:35.64,0:05:37.06,Default,,0000,0000,0000,,Ако комбинираме тези,
Dialogue: 0,0:05:37.06,0:05:40.03,Default,,0000,0000,0000,,ако това е нашият полином,\Nкойто трябва да начертаем,
Dialogue: 0,0:05:40.03,0:05:42.32,Default,,0000,0000,0000,,да потърсим тук \Nкривата с три точки.
Dialogue: 0,0:05:42.32,0:05:43.79,Default,,0000,0000,0000,,Една, две, три.
Dialogue: 0,0:05:43.79,0:05:45.52,Default,,0000,0000,0000,,Това е тази крива.
Dialogue: 0,0:05:45.52,0:05:50.24,Default,,0000,0000,0000,,На полином от трета степен \Nсъответства тази крива ето тук.
Dialogue: 0,0:05:50.24,0:05:51.97,Default,,0000,0000,0000,,Забележи, че тази крива\Nзапочва да се приближава
Dialogue: 0,0:05:51.97,0:05:54.75,Default,,0000,0000,0000,,към х още по-бързо от\Nтази на полинома от втора степен.
Dialogue: 0,0:05:54.75,0:06:00.60,Default,,0000,0000,0000,,И я следва малко по-дълго.
Dialogue: 0,0:06:00.82,0:06:03.09,Default,,0000,0000,0000,,И се получава ето това.
Dialogue: 0,0:06:03.09,0:06:06.70,Default,,0000,0000,0000,,Добавяме още един член от\Nчетвърта степен.
Dialogue: 0,0:06:06.78,0:06:09.64,Default,,0000,0000,0000,,Сега имаме всичко това\Nплюс всичко това тук.
Dialogue: 0,0:06:09.64,0:06:11.10,Default,,0000,0000,0000,,Ако това е нашият полином,
Dialogue: 0,0:06:11.10,0:06:13.81,Default,,0000,0000,0000,,сега съответстващата му\Nкрива е ето тази.
Dialogue: 0,0:06:13.81,0:06:15.60,Default,,0000,0000,0000,,Забележи, че всеки път,\Nкогато добавяме член,
Dialogue: 0,0:06:15.60,0:06:18.00,Default,,0000,0000,0000,,приближението става\Nвсе по-точно и по-точно
Dialogue: 0,0:06:18.00,0:06:22.26,Default,,0000,0000,0000,,спрямо кривата e^х и в области,\Nпо-отдалечени от х = 3.
Dialogue: 0,0:06:22.26,0:06:25.21,Default,,0000,0000,0000,,И ако добавим още един член,\Nполучаваме този полином.
Dialogue: 0,0:06:25.21,0:06:26.58,Default,,0000,0000,0000,,Надявам се, че това\Nе достатъчно, за да се убедиш,
Dialogue: 0,0:06:26.58,0:06:29.44,Default,,0000,0000,0000,,че се приближаваме все повече и повече, \Nколкото повече членове добавяме.
Dialogue: 0,0:06:29.44,0:06:32.18,Default,,0000,0000,0000,,Така че можеш да си представиш\Nдяволски доброто приближение,
Dialogue: 0,0:06:32.18,0:06:37.75,Default,,0000,0000,0000,,което ще получим, когато\Nприбавим безкраен брой членове.