WEBVTT

00:00:00.750 --> 00:00:05.890
Дадена ни е функцията f(х) = е^х.

00:00:05.890 --> 00:00:08.245
За да добием представа за нея,

00:00:08.245 --> 00:00:13.140
ще скицирам грубо графиката
на f(х) = е^х.

00:00:13.140 --> 00:00:18.340
Ще изглежда горе-долу така.

00:00:18.520 --> 00:00:20.690
Това е е^х

00:00:20.690 --> 00:00:23.380
Искам да намерим
приближението на

00:00:23.380 --> 00:00:30.860
f(х) = е^х с помощта
на ред на Тейлър.

00:00:30.920 --> 00:00:33.440
Искам да направим това
обаче не за х = 0,

00:00:33.440 --> 00:00:37.050
искам да го направим за х = 3,

00:00:37.050 --> 00:00:39.562
просто една произволна стойност.

00:00:39.562 --> 00:00:41.520
Значи ще го направим за х = 3.

00:00:41.520 --> 00:00:44.700
Това е х = 3, ето тук.

00:00:44.860 --> 00:00:48.640
Това е f(3), което
е равно на е^3.

00:00:48.780 --> 00:00:52.080
Това тук е е на трета степен.

00:00:52.080 --> 00:00:54.520
Когато развиваме реда 
на Тейлър,

00:00:54.520 --> 00:00:59.120
ако имаме полином от нулева степен,
който апроксимира функцията,

00:00:59.120 --> 00:01:02.630
най-доброто, което можем да направим,
е да вземем постоянна функция,

00:01:02.630 --> 00:01:05.379
която преминава точно през е^3.

00:01:05.379 --> 00:01:09.920
Ако правим апроксимация
от първа степен,

00:01:09.920 --> 00:01:11.750
значи имаме член от първа степен,

00:01:11.750 --> 00:01:14.610
тогава това ще бъде 
допирателна.

00:01:14.610 --> 00:01:16.360
И като добавяме още
членове от по-висока степен,

00:01:16.360 --> 00:01:19.090
можем евентуално да
постигнем крива, която

00:01:19.090 --> 00:01:21.912
е все по-близка до кривата 
на функцията.

00:01:21.920 --> 00:01:25.920
В бъдеще ще говорим повече
как изследваме за сходимост,

00:01:25.940 --> 00:01:28.620
колко добре сме направили
приближението и всичко от сорта.

00:01:28.630 --> 00:01:30.762
След всичко казано дотук,
да приложим формулата,

00:01:30.762 --> 00:01:34.800
която, надявам се, ти е
вече позната от предходното видео.

00:01:34.800 --> 00:01:38.160
Редът на Тейлър за функцията 
f(х) = е^х

00:01:38.170 --> 00:01:42.560
представлява полином.

00:01:42.560 --> 00:01:44.590
Колко е f(с)?

00:01:44.590 --> 00:01:46.410
Ако х е равно на 3, тогава

00:01:46.410 --> 00:01:49.230
в този случай
стойността на нашето с е 3.

00:01:49.230 --> 00:01:53.360
Ако с = 3, f(3) = е^3.

00:01:53.360 --> 00:01:57.620
Значи става е^3 плюс...
колко е производната f'(с)?

00:01:57.620 --> 00:02:00.984
f'(х) е равно на е^х.

00:02:00.984 --> 00:02:03.400
Намираме производната на
е^х, която е е^х.

00:02:03.400 --> 00:02:06.470
Това е едно от най-хубавите
неща относно е^х.

00:02:06.470 --> 00:02:08.460
Значи това е също и f'(х).

00:02:08.460 --> 00:02:12.142
Това е равно всъщност и
на n-тата производна на f(х).

00:02:12.142 --> 00:02:13.850
Мога да продължа да намирам
производните на това,

00:02:13.850 --> 00:02:15.840
и ще получаваме винаги е^х.

00:02:15.840 --> 00:02:18.390
Значи f'(х) е е^х.

00:02:18.390 --> 00:02:23.300
Изчисляваме това за х = 3,
и получаваме е^3 отново,

00:02:23.300 --> 00:02:29.700
по (х – 3), с е 3,
плюс втората производна.

00:02:29.700 --> 00:02:31.140
Функцията отново е e^х.

00:02:31.140 --> 00:02:34.910
Изчисляваме за 3, и 
получаваме е^3 върху 2!,

00:02:34.910 --> 00:02:39.830
по (х – 3) на втора степен.

00:02:39.830 --> 00:02:41.100
И можем да продължим.

00:02:41.100 --> 00:02:43.090
Третата производна е
отново e^x.

00:02:43.090 --> 00:02:46.330
Изчисляваме това за 3.
В този случай с е равно на 3.

00:02:46.330 --> 00:02:49.840
Получаваме е^3 върху 3!

00:02:49.840 --> 00:02:52.560
по (х – 3)^3.

00:02:52.560 --> 00:02:54.170
Можем да продължим по
същия начин, но

00:02:54.170 --> 00:02:55.840
смятам, че разбираш
принципа.

00:02:55.840 --> 00:02:58.590
Но това, което е още 
по-интересно

00:02:58.590 --> 00:03:01.180
от простото развиване 
на полинома,

00:03:01.180 --> 00:03:04.800
е да видим, че като добавяме
още и още членове,

00:03:04.800 --> 00:03:08.120
той започва да се приближава
все по-добре до е^х.

00:03:08.240 --> 00:03:11.560
Нашето приближение става
все по-добро все по-далеч

00:03:11.560 --> 00:03:13.900
от точката х = 3.

00:03:13.900 --> 00:03:16.520
За да видим това, аз използвах 
инструмента WolframAlpha,

00:03:16.520 --> 00:03:19.700
който е на сайта wolframalpha.com.

00:03:19.700 --> 00:03:24.270
Мисля, че въведох ред
на Тейлър

00:03:24.270 --> 00:03:26.700
за функцията е^х за х = 3.

00:03:26.700 --> 00:03:28.640
Софтуерът разбра какво
ми трябва и ми даде

00:03:28.640 --> 00:03:30.290
всичко това ето тук.

00:03:30.290 --> 00:03:31.735
И всъщност изчисли реда на Тейлър.

00:03:31.735 --> 00:03:33.370
Можеш да видиш, че
е идентичен

00:03:33.370 --> 00:03:37.900
с това, което получихме тук,
е^3 плюс е^3(х –3).

00:03:38.020 --> 00:03:41.700
Имаме е^3 + е^3(х – 3) + 1/2.

00:03:41.780 --> 00:03:43.660
Те всъщност са
изчислили факториела.

00:03:43.669 --> 00:03:45.835
Вместо 3! са написали 6.

00:03:45.835 --> 00:03:47.660
И тук са дали много членове.

00:03:47.660 --> 00:03:49.910
Но това, което е още
по-интересно, е че те

00:03:49.910 --> 00:03:55.600
са начертали всеки от тези полиноми 
с все повече и повече членове.

00:03:55.600 --> 00:03:58.050
В оранжево имаме е^х.

00:03:58.050 --> 00:04:01.390
Това е f(х) = е^х.

00:04:01.390 --> 00:04:05.070
После ни казват: степен
на апроксимация,

00:04:05.070 --> 00:04:07.330
показана с n на брой точки.

00:04:07.330 --> 00:04:10.140
Значи степента на апроксимация,

00:04:10.140 --> 00:04:14.160
това тук е случаят, в който
имаме полином от първа степен,

00:04:14.160 --> 00:04:16.740
това е буквално –
полином от първа степен

00:04:16.740 --> 00:04:18.860
са тези два члена ето тук.

00:04:18.860 --> 00:04:21.430
Понеже това е нулева степен,
това е първа степен.

00:04:21.430 --> 00:04:25.260
Имаме х^1 ето тук.

00:04:25.260 --> 00:04:28.030
Ако трябва да начертаем това –
ако това е нашият полином,

00:04:28.030 --> 00:04:29.900
тук е кодирано с една точка.

00:04:29.900 --> 00:04:33.580
Това е тази крива, 
с една точка, ето тук,

00:04:33.580 --> 00:04:36.440
поставили я са точно ето тук.

00:04:36.440 --> 00:04:38.770
Виждаме, че това е просто
една допирателна права

00:04:38.770 --> 00:04:41.520
за х = 3.

00:04:41.520 --> 00:04:45.300
Това тук е х = 3,
това е допирателна права.

00:04:45.300 --> 00:04:49.140
Ако добавим още един член,
ще получим полином от втора степен,

00:04:49.140 --> 00:04:52.070
защото добавяме х^2.

00:04:52.070 --> 00:04:54.330
Ако разкрием скобите тук, ще
получим член от втора степен,

00:04:54.330 --> 00:04:55.830
и после ще имаме 
друг член, съдържащ х,

00:04:55.830 --> 00:04:58.840
но степента на полинома
сега е втора степен.

00:04:58.840 --> 00:05:00.330
Да видим сега крива с две точки.

00:05:00.330 --> 00:05:02.890
Трябва да е ето тази.

00:05:02.890 --> 00:05:05.720
Да видим, две точки.

00:05:05.880 --> 00:05:08.180
Тук има една, две точки.

00:05:08.190 --> 00:05:12.140
Имаме две точки, идва насам.

00:05:12.140 --> 00:05:13.620
Графиката е парабола.

00:05:13.620 --> 00:05:16.780
Това е полином от втора
степен, който после идва ето така.

00:05:16.940 --> 00:05:21.400
Но обърни внимание, че това е по-точно
приближение, особено около х = 3,

00:05:21.400 --> 00:05:23.170
по-близко е до
графиката на функцията.

00:05:23.170 --> 00:05:25.860
Тази крива следва графиката
на функцията малко по-дълго.

00:05:25.860 --> 00:05:31.030
Ако добавим още един член –
ще използвам нов цвят,

00:05:31.030 --> 00:05:32.640
който не съм използвал досега.

00:05:32.640 --> 00:05:35.560
Добавяме нов член и става
полином от трета степен.

00:05:35.640 --> 00:05:37.060
Ако комбинираме тези,

00:05:37.060 --> 00:05:40.030
ако това е нашият полином,
който трябва да начертаем,

00:05:40.030 --> 00:05:42.320
да потърсим тук 
кривата с три точки.

00:05:42.320 --> 00:05:43.790
Една, две, три.

00:05:43.790 --> 00:05:45.520
Това е тази крива.

00:05:45.520 --> 00:05:50.240
На полином от трета степен 
съответства тази крива ето тук.

00:05:50.240 --> 00:05:51.970
Забележи, че тази крива
започва да се приближава

00:05:51.970 --> 00:05:54.750
към х още по-бързо от
тази на полинома от втора степен.

00:05:54.750 --> 00:06:00.600
И я следва малко по-дълго.

00:06:00.820 --> 00:06:03.090
И се получава ето това.

00:06:03.090 --> 00:06:06.700
Добавяме още един член от
четвърта степен.

00:06:06.780 --> 00:06:09.640
Сега имаме всичко това
плюс всичко това тук.

00:06:09.642 --> 00:06:11.100
Ако това е нашият полином,

00:06:11.100 --> 00:06:13.810
сега съответстващата му
крива е ето тази.

00:06:13.810 --> 00:06:15.600
Забележи, че всеки път,
когато добавяме член,

00:06:15.600 --> 00:06:18.000
приближението става
все по-точно и по-точно

00:06:18.000 --> 00:06:22.260
спрямо кривата e^х и в области,
по-отдалечени от х = 3.

00:06:22.260 --> 00:06:25.206
И ако добавим още един член,
получаваме този полином.

00:06:25.206 --> 00:06:26.580
Надявам се, че това
е достатъчно, за да се убедиш,

00:06:26.580 --> 00:06:29.440
че се приближаваме все повече и повече, 
колкото повече членове добавяме.

00:06:29.440 --> 00:06:32.180
Така че можеш да си представиш
дяволски доброто приближение,

00:06:32.180 --> 00:06:37.750
което ще получим, когато
прибавим безкраен брой членове.