Paradoxul Hotelului Infinit - Jeff Dekofsky

Vizionați lecția completă: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky

Hotelul Infinit, un experiment de gândire creat de matematicianul german David Hillbert, este un hotel cu un număr infinit de camere. Ușor de înțeles, nu? Greșit. Ce-i de făcut dacă e plin și ai un client care dorește să se cazeze? Dar dacă sunt 40 de clienți noi? Sau un autocar plin cu un număr infinit de pasageri? Jeff Dekofsky rezolvă aceste probleme complexe de cazare utilizând paradoxul lui Hillbert.

Lecție de Jeff Dekofsky, animația de The Moving Company Animation Studio.

În anii '20

matematicianul german David Hillbert

a proiectat un celebru
experiment de gândire

pentru a demonstra cât e de dificil

să pricepem conceptul de infinit.

Imaginați-vă un hotel
cu un număr infinit de camere

și un recepționer de noapte foarte harnic.

Într-o noapte,
Hotelul Infinit este complet plin,

cu toate camerele ocupate
cu un număr infinit de oaspeți.

Un om intră în hotel

și cere o cameră.

În loc de a-l refuza,

recepționerul de noapte decide
să-i ofere o cameră.

Cum?

Ușor, îl roagă pe ocupantul camerei 1

să se mute în camera 2,

și pe cel din camera 2
să se mute în camera 3,

și tot așa.

Fiecare oaspete se mută din camera „n”

în camera „n+1”.

Din moment ce există
un număr infinit de camere,

există o cameră nouă
pentru fiecare oaspete.

Astfel, camera 1 este liberă
pentru noul client.

Procesul se poate repeta

pentru orice număr finit de clienți noi.

Dacă, să spunem,
sosește un autocar cu turiști

și 40 de persoane au nevoie
de câte o cameră,

atunci fiecare client existent se mută

din camera „n”

în camera „n+40”,

eliberând astfel primele 40 de camere.

Dar acum sosește un autocar
infinit de mare

cu un număr numărabil infinit de pasageri

care doresc camere.

„Numărabil” infinit e cuvântul cheie.

Autocarul infinit cu un număr
infinit de pasageri

îl lasă la început perplex
pe recepționerul de noapte,

dar el își dă seama apoi

că există o soluție.

Îl roagă pe oaspetele din camera 1

să se mute în camera 2.

Apoi, îl roagă pe cel din camera 2

să se mute în camera 4

și pe cel din camera 3

să se mute în camera 6,

și așa mai departe.

Fiecare oaspete se mută din camera „n”

în camera „2n”,

umplând astfel doar camerele infinite
cu număr par.

Procedând astfel, el a golit acum

toate camerele infinite impare,

care pot fi ocupate de oamenii

care coboară din autocarul infinit.

Toată lumea e mulțumită
și afacerea hotelului

este mai înfloritoare decât oricând.

Sau, de fapt, exact la fel

de înfloritoare ca înainte,

încasând un număr infinit
de dolari pe noapte.

S-a dus vestea
despre acest hotel incredibil.

Oamenii dau năvală din toate părțile.

Într-o zi se produce și incredibilul.

Recepționerul se uită afară

și vede o coadă infinită

de autocare infinit de mari,

fiecare cu un număr de pasageri
numărabil infinit.

Ce să facă?

Dacă nu le găsește camere,

hotelul va pierde

o sumă infinită de bani,

iar pe el îl va costa slujba.

Din fericire, își amintește

că prin anul 300 î.e.n.

Euclid a demonstrat că există o infinitate

de numere prime.

Pentru a duce la bun sfârșit
această sarcină aparent imposibilă

de a găsi paturi infinite

pentru autocare infinite

pline cu călători infiniți,

recepționerul atribuie
fiecărui client existent

camera cu primul număr prim, adică 2,

ridicat la puterea numărului
camerei actuale.

Deci, ocupantul camerei 7

se mută în camera 2 la puterea 7,

care înseamnă camera 128.

Recepționerul ia toți pasagerii

din primul dintre autocarele infinite

și le alocă o cameră

cu următorul număr prim, 3,

ridicat la puterea numărului
care reprezintă locul său din autocar.

Deci, persoana care stă pe locul 7
din primul autocar

merge în camera cu numărul 3 la puterea 7,

adică 2.187.

Face la fel cu toți pasagerii
din primul autocar.

Toți pasagerii din al doilea autocar

vor primi camere cu puterile
următorului număr prim, 5.

Următorul autocar, puterile lui 7.

Fiecare autocar care urmează:

puterile lui 11,

puterile lui 13,

puterile lui 17, etc.

Din moment ce fiecare din aceste numere

are ca factori doar pe 1
și puterile sale naturale

ale numerelor sale prime,

nu vor exista suprapuneri de camere.

Toți pasagerii autocarelor intră în camere

utilizând scheme unice
de alocare a camerei,

bazate pe numere prime unice.

În acest mod, recepționerul poate caza

fiecare pasager din fiecare autocar.

Deși vor rămâne multe camere neocupate,

cum ar fi camera 6,

deoarece 6 nu e puterea
niciunui număr prim.

Din fericire, șefii săi nu se prea
pricepeau la matematică,

așa că slujba lui e în siguranță.

Strategiile recepționerului sunt posibile

doar pentru că Hotelul Infinit,

deși e un coșmar logistic,

poate gestiona doar nivelul
cel mai scăzut de infinitate,

și anume, infinitul numărabil

al numerelor naturale,

1, 2, 3, 4 și așa mai departe.

Georg Cantor a numit
acest nivel infinitul alef-zero.

Utilizăm numere naturale
pentru a numerota camerele

și locurile din autocar.

Dar dacă am avea de-a face
cu nivele superioare ale infinitului,

cum ar fi cel al numerelor reale,

aceste strategii structurate

nu ar mai fi posibile

căci nu avem cum să includem
sistematic fiecare număr.

Hotelul Infinit cu Numere Reale

are camere cu număr negativ la subsol,

camere fracționale,

astfel încât clientul din camera 1/2
va suspecta mereu

că are mai puțin spațiu
decât clientul din camera 1.

Camere cu rădăcină pătrată,
cum ar fi camera radical din 2,

și camera pi,

unde oaspeții se așteaptă
la desert gratuit.

Ce recepționer care se respectă

ar dori vreodată să lucreze aici,

chiar și pentru un salariu infinit?

Dar la Hotelul Infinit Hilbert,

unde nu este niciodată loc liber

și mereu locuri pentru mai mulți clienți

provocările care stau în fața harnicului

și poate prea ospitalierului recepționer

ne aduc aminte

cât de dificil este

pentru mintea noastră relativ finită

să priceapă un concept
atât de mare ca infinitul.

Poate reușești să ajuți
la rezolvarea acestor probleme

după un somn odihnitor.

Dar sincer, s-ar putea să trebuiască

să schimbi camera la ora 2 noaptea.