1
00:00:06,531 --> 00:00:07,715
În anii '20

2
00:00:07,715 --> 00:00:10,208
matematicianul german David Hillbert

3
00:00:10,208 --> 00:00:12,461
a proiectat un celebru
experiment de gândire

4
00:00:12,461 --> 00:00:14,695
pentru a demonstra cât e de dificil

5
00:00:14,695 --> 00:00:18,170
să pricepem conceptul de infinit.

6
00:00:18,170 --> 00:00:21,683
Imaginați-vă un hotel
cu un număr infinit de camere

7
00:00:21,683 --> 00:00:24,291
și un recepționer de noapte foarte harnic.

8
00:00:24,291 --> 00:00:27,547
Într-o noapte,
Hotelul Infinit este complet plin,

9
00:00:27,547 --> 00:00:31,110
cu toate camerele ocupate
cu un număr infinit de oaspeți.

10
00:00:31,110 --> 00:00:32,509
Un om intră în hotel

11
00:00:32,509 --> 00:00:33,934
și cere o cameră.

12
00:00:33,934 --> 00:00:35,468
În loc de a-l refuza,

13
00:00:35,468 --> 00:00:37,910
recepționerul de noapte decide
să-i ofere o cameră.

14
00:00:37,910 --> 00:00:38,689
Cum?

15
00:00:38,689 --> 00:00:41,659
Ușor, îl roagă pe ocupantul camerei 1

16
00:00:41,659 --> 00:00:43,325
să se mute în camera 2,

17
00:00:43,325 --> 00:00:46,080
și pe cel din camera 2
să se mute în camera 3,

18
00:00:46,080 --> 00:00:47,162
și tot așa.

19
00:00:47,162 --> 00:00:49,862
Fiecare oaspete se mută din camera „n”

20
00:00:49,862 --> 00:00:52,513
în camera „n+1”.

21
00:00:52,513 --> 00:00:54,852
Din moment ce există
un număr infinit de camere,

22
00:00:54,852 --> 00:00:57,033
există o cameră nouă
pentru fiecare oaspete.

23
00:00:57,033 --> 00:00:59,784
Astfel, camera 1 este liberă
pentru noul client.

24
00:00:59,784 --> 00:01:01,249
Procesul se poate repeta

25
00:01:01,249 --> 00:01:03,535
pentru orice număr finit de clienți noi.

26
00:01:03,535 --> 00:01:05,769
Dacă, să spunem,
sosește un autocar cu turiști

27
00:01:05,769 --> 00:01:07,873
și 40 de persoane au nevoie
de câte o cameră,

28
00:01:07,873 --> 00:01:09,996
atunci fiecare client existent se mută

29
00:01:09,996 --> 00:01:11,224
din camera „n”

30
00:01:11,224 --> 00:01:13,662
în camera „n+40”,

31
00:01:13,662 --> 00:01:16,790
eliberând astfel primele 40 de camere.

32
00:01:16,790 --> 00:01:19,195
Dar acum sosește un autocar
infinit de mare

33
00:01:19,195 --> 00:01:21,858
cu un număr numărabil infinit de pasageri

34
00:01:21,858 --> 00:01:23,697
care doresc camere.

35
00:01:23,697 --> 00:01:25,920
„Numărabil” infinit e cuvântul cheie.

36
00:01:25,920 --> 00:01:28,225
Autocarul infinit cu un număr
infinit de pasageri

37
00:01:28,225 --> 00:01:30,792
îl lasă la început perplex
pe recepționerul de noapte,

38
00:01:30,792 --> 00:01:32,034
dar el își dă seama apoi

39
00:01:32,034 --> 00:01:33,373
că există o soluție.

40
00:01:33,373 --> 00:01:34,994
Îl roagă pe oaspetele din camera 1

41
00:01:34,994 --> 00:01:36,415
să se mute în camera 2.

42
00:01:36,415 --> 00:01:38,551
Apoi, îl roagă pe cel din camera 2

43
00:01:38,551 --> 00:01:40,459
să se mute în camera 4

44
00:01:40,459 --> 00:01:41,540
și pe cel din camera 3

45
00:01:41,540 --> 00:01:42,833
să se mute în camera 6,

46
00:01:42,833 --> 00:01:44,129
și așa mai departe.

47
00:01:44,129 --> 00:01:47,337
Fiecare oaspete se mută din camera „n”

48
00:01:47,337 --> 00:01:49,813
în camera „2n”,

49
00:01:50,533 --> 00:01:54,084
umplând astfel doar camerele infinite
cu număr par.

50
00:01:54,084 --> 00:01:55,953
Procedând astfel, el a golit acum

51
00:01:55,953 --> 00:01:58,891
toate camerele infinite impare,

52
00:01:58,891 --> 00:02:00,459
care pot fi ocupate de oamenii

53
00:02:00,459 --> 00:02:02,828
care coboară din autocarul infinit.

54
00:02:02,828 --> 00:02:05,111
Toată lumea e mulțumită
și afacerea hotelului

55
00:02:05,111 --> 00:02:06,899
este mai înfloritoare decât oricând.

56
00:02:06,899 --> 00:02:08,653
Sau, de fapt, exact la fel

57
00:02:08,653 --> 00:02:10,440
de înfloritoare ca înainte,

58
00:02:10,440 --> 00:02:12,923
încasând un număr infinit
de dolari pe noapte.

59
00:02:13,723 --> 00:02:16,379
S-a dus vestea
despre acest hotel incredibil.

60
00:02:16,379 --> 00:02:18,698
Oamenii dau năvală din toate părțile.

61
00:02:18,698 --> 00:02:20,866
Într-o zi se produce și incredibilul.

62
00:02:20,866 --> 00:02:23,431
Recepționerul se uită afară

63
00:02:23,431 --> 00:02:25,061
și vede o coadă infinită

64
00:02:25,061 --> 00:02:27,541
de autocare infinit de mari,

65
00:02:27,541 --> 00:02:30,353
fiecare cu un număr de pasageri
numărabil infinit.

66
00:02:30,353 --> 00:02:31,410
Ce să facă?

67
00:02:31,410 --> 00:02:33,083
Dacă nu le găsește camere,

68
00:02:33,083 --> 00:02:34,231
hotelul va pierde

69
00:02:34,231 --> 00:02:35,982
o sumă infinită de bani,

70
00:02:35,982 --> 00:02:37,979
iar pe el îl va costa slujba.

71
00:02:37,979 --> 00:02:39,413
Din fericire, își amintește

72
00:02:39,413 --> 00:02:41,964
că prin anul 300 î.e.n.

73
00:02:41,964 --> 00:02:44,750
Euclid a demonstrat că există o infinitate

74
00:02:44,750 --> 00:02:47,215
de numere prime.

75
00:02:47,215 --> 00:02:50,164
Pentru a duce la bun sfârșit
această sarcină aparent imposibilă

76
00:02:50,164 --> 00:02:51,375
de a găsi paturi infinite

77
00:02:51,375 --> 00:02:52,669
pentru autocare infinite

78
00:02:52,669 --> 00:02:54,315
pline cu călători infiniți,

79
00:02:54,315 --> 00:02:57,217
recepționerul atribuie
fiecărui client existent

80
00:02:57,217 --> 00:02:59,516
camera cu primul număr prim, adică 2,

81
00:02:59,516 --> 00:03:01,891
ridicat la puterea numărului
camerei actuale.

82
00:03:01,891 --> 00:03:04,899
Deci, ocupantul camerei 7

83
00:03:04,899 --> 00:03:07,565
se mută în camera 2 la puterea 7,

84
00:03:07,565 --> 00:03:09,930
care înseamnă camera 128.

85
00:03:09,930 --> 00:03:11,903
Recepționerul ia toți pasagerii

86
00:03:11,903 --> 00:03:13,781
din primul dintre autocarele infinite

87
00:03:13,781 --> 00:03:15,830
și le alocă o cameră

88
00:03:15,830 --> 00:03:18,315
cu următorul număr prim, 3,

89
00:03:18,315 --> 00:03:21,752
ridicat la puterea numărului
care reprezintă locul său din autocar.

90
00:03:21,752 --> 00:03:25,283
Deci, persoana care stă pe locul 7
din primul autocar

91
00:03:25,283 --> 00:03:28,384
merge în camera cu numărul 3 la puterea 7,

92
00:03:28,384 --> 00:03:31,634
adică 2.187.

93
00:03:31,634 --> 00:03:34,093
Face la fel cu toți pasagerii
din primul autocar.

94
00:03:34,093 --> 00:03:35,925
Toți pasagerii din al doilea autocar

95
00:03:35,925 --> 00:03:39,434
vor primi camere cu puterile
următorului număr prim, 5.

96
00:03:39,434 --> 00:03:41,517
Următorul autocar, puterile lui 7.

97
00:03:41,517 --> 00:03:42,945
Fiecare autocar care urmează:

98
00:03:42,945 --> 00:03:43,767
puterile lui 11,

99
00:03:43,767 --> 00:03:44,770
puterile lui 13,

100
00:03:44,770 --> 00:03:47,190
puterile lui 17, etc.

101
00:03:47,190 --> 00:03:49,088
Din moment ce fiecare din aceste numere

102
00:03:49,088 --> 00:03:51,462
are ca factori doar pe 1
și puterile sale naturale

103
00:03:51,462 --> 00:03:53,237
ale numerelor sale prime,

104
00:03:53,237 --> 00:03:55,410
nu vor exista suprapuneri de camere.

105
00:03:55,410 --> 00:03:58,363
Toți pasagerii autocarelor intră în camere

106
00:03:58,363 --> 00:04:00,870
utilizând scheme unice
de alocare a camerei,

107
00:04:00,870 --> 00:04:03,510
bazate pe numere prime unice.

108
00:04:03,510 --> 00:04:05,578
În acest mod, recepționerul poate caza

109
00:04:05,578 --> 00:04:07,870
fiecare pasager din fiecare autocar.

110
00:04:07,870 --> 00:04:10,806
Deși vor rămâne multe camere neocupate,

111
00:04:10,806 --> 00:04:11,897
cum ar fi camera 6,

112
00:04:11,897 --> 00:04:15,119
deoarece 6 nu e puterea
niciunui număr prim.

113
00:04:15,119 --> 00:04:17,917
Din fericire, șefii săi nu se prea
pricepeau la matematică,

114
00:04:17,917 --> 00:04:19,528
așa că slujba lui e în siguranță.

115
00:04:19,528 --> 00:04:22,031
Strategiile recepționerului sunt posibile

116
00:04:22,031 --> 00:04:23,983
doar pentru că Hotelul Infinit,

117
00:04:23,983 --> 00:04:26,204
deși e un coșmar logistic,

118
00:04:26,204 --> 00:04:29,981
poate gestiona doar nivelul
cel mai scăzut de infinitate,

119
00:04:29,981 --> 00:04:32,076
și anume, infinitul numărabil

120
00:04:32,076 --> 00:04:33,537
al numerelor naturale,

121
00:04:33,537 --> 00:04:36,618
1, 2, 3, 4 și așa mai departe.

122
00:04:36,618 --> 00:04:40,537
Georg Cantor a numit
acest nivel infinitul alef-zero.

123
00:04:40,537 --> 00:04:43,155
Utilizăm numere naturale
pentru a numerota camerele

124
00:04:43,155 --> 00:04:45,047
și locurile din autocar.

125
00:04:45,633 --> 00:04:48,666
Dar dacă am avea de-a face
cu nivele superioare ale infinitului,

126
00:04:48,666 --> 00:04:50,257
cum ar fi cel al numerelor reale,

127
00:04:50,257 --> 00:04:51,627
aceste strategii structurate

128
00:04:51,627 --> 00:04:53,044
nu ar mai fi posibile

129
00:04:53,044 --> 00:04:56,570
căci nu avem cum să includem
sistematic fiecare număr.

130
00:04:56,570 --> 00:04:58,582
Hotelul Infinit cu Numere Reale

131
00:04:58,582 --> 00:05:00,929
are camere cu număr negativ la subsol,

132
00:05:00,929 --> 00:05:02,388
camere fracționale,

133
00:05:02,388 --> 00:05:04,928
astfel încât clientul din camera 1/2
va suspecta mereu

134
00:05:04,928 --> 00:05:07,415
că are mai puțin spațiu
decât clientul din camera 1.

135
00:05:07,415 --> 00:05:10,332
Camere cu rădăcină pătrată,
cum ar fi camera radical din 2,

136
00:05:10,332 --> 00:05:11,462
și camera pi,

137
00:05:11,462 --> 00:05:14,349
unde oaspeții se așteaptă
la desert gratuit.

138
00:05:14,349 --> 00:05:15,869
Ce recepționer care se respectă

139
00:05:15,869 --> 00:05:17,492
ar dori vreodată să lucreze aici,

140
00:05:17,492 --> 00:05:19,490
chiar și pentru un salariu infinit?

141
00:05:19,490 --> 00:05:21,057
Dar la Hotelul Infinit Hilbert,

142
00:05:21,057 --> 00:05:22,621
unde nu este niciodată loc liber

143
00:05:22,621 --> 00:05:24,551
și mereu locuri pentru mai mulți clienți

144
00:05:24,551 --> 00:05:26,950
provocările care stau în fața harnicului

145
00:05:26,950 --> 00:05:28,890
și poate prea ospitalierului recepționer

146
00:05:28,890 --> 00:05:29,924
ne aduc aminte

147
00:05:29,924 --> 00:05:31,150
cât de dificil este

148
00:05:31,150 --> 00:05:33,890
pentru mintea noastră relativ finită

149
00:05:33,890 --> 00:05:37,092
să priceapă un concept
atât de mare ca infinitul.

150
00:05:37,092 --> 00:05:39,625
Poate reușești să ajuți
la rezolvarea acestor probleme

151
00:05:39,625 --> 00:05:40,967
după un somn odihnitor.

152
00:05:40,967 --> 00:05:42,860
Dar sincer, s-ar putea să trebuiască

153
00:05:42,860 --> 00:05:45,081
să schimbi camera la ora 2 noaptea.