În anii '20
matematicianul german David Hillbert
a proiectat un celebru experiment de gândire
pentru a demonstra cât e de dificil
să pricepem conceptul de infinit.
Imaginați-vă un hotel cu un număr infinit de camere
și un recepționer de noapte foarte harnic.
Într-o noapte, Hotelul Infinit este complet plin,
cu toate camerele ocupate cu un număr infinit de oaspeți.
Un om intră în hotel
și cere o cameră.
În loc de a-l refuza,
recepționerul de noapte decide să-i ofere o cameră.
Cum?
Ușor, îl roagă pe ocupantul camerei 1
să se mute în camera 2,
și pe cel din camera 2 să se mute în camera 3,
și tot așa.
Fiecare oaspete se mută din camera „n”
în camera „n+1”.
Din moment ce există un număr infinit de camere,
există o cameră nouă pentru fiecare oaspete.
Astfel, camera 1 este liberă pentru noul client.
Procesul se poate repeta
pentru orice număr finit de clienți noi.
Dacă, să spunem, sosește un autocar cu turiști
și 40 de persoane au nevoie de câte o cameră,
atunci fiecare client existent se mută
din camera „n”
în camera „n+40”,
eliberând astfel primele 40 de camere.
Dar acum sosește un autocar infinit de mare
cu un număr numărabil infinit de pasageri
care doresc camere.
„Numărabil” infinit e cuvântul cheie.
Autocarul infinit cu un număr infinit de pasageri
îl lasă la început perplex pe recepționerul de noapte,
dar el își dă seama apoi
că există o soluție.
Îl roagă pe oaspetele din camera 1
să se mute în camera 2.
Apoi, îl roagă pe cel din camera 2
să se mute în camera 4
și pe cel din camera 3
să se mute în camera 6,
și așa mai departe.
Fiecare oaspete se mută din camera „n”
în camera „2n”,
umplând astfel doar camerele infinite cu număr par.
Procedând astfel, el a golit acum
toate camerele infinite impare,
care pot fi ocupate de oamenii
care coboară din autocarul infinit.
Toată lumea e mulțumită și afacerea hotelului
este mai înfloritoare decât oricând.
Sau, de fapt, exact la fel
de înfloritoare ca înainte,
încasând un număr infinit de dolari pe noapte.
S-a dus vestea despre acest hotel incredibil.
Oamenii dau năvală din toate părțile.
Într-o zi se produce și incredibilul.
Recepționerul se uită afară
și vede o coadă infinită
de autocare infinit de mari,
fiecare cu un număr de pasageri numărabil infinit.
Ce să facă?
Dacă nu le găsește camere,
hotelul va pierde
o sumă infinită de bani,
iar pe el îl va costa slujba.
Din fericire, își amintește
că prin anul 300 î.e.n.
Euclid a demonstrat că există o infinitate
de numere prime.
Pentru a duce la bun sfârșit această sarcină aparent imposibilă
de a găsi paturi infinite
pentru autocare infinite
pline cu călători infiniți,
recepționerul atribuie fiecărui client existent
camera cu primul număr prim, adică 2,
ridicat la puterea numărului camerei actuale.
Deci, ocupantul camerei 7
se mută în camera 2 la puterea 7,
care înseamnă camera 128.
Recepționerul ia toți pasagerii
din primul dintre autocarele infinite
și le alocă o cameră
cu următorul număr prim, 3,
ridicat la puterea numărului care reprezintă locul său din autocar.
Deci, persoana care stă pe locul 7 din primul autocar
merge în camera cu numărul 3 la puterea 7,
adică 2.187.
Face la fel cu toți pasagerii din primul autocar.
Toți pasagerii din al doilea autocar
vor primi camere cu puterile următorului număr prim, 5.
Următorul autocar, puterile lui 7.
Fiecare autocar care urmează:
puterile lui 11,
puterile lui 13,
puterile lui 17, etc.
Din moment ce fiecare din aceste numere
are ca factori doar pe 1 și puterile sale naturale
ale numerelor sale prime,
nu vor exista suprapuneri de camere.
Toți pasagerii autocarelor intră în camere
utilizând scheme unice de alocare a camerei,
bazate pe numere prime unice.
În acest mod, recepționerul poate caza
fiecare pasager din fiecare autocar.
Deși vor rămâne multe camere neocupate,
cum ar fi camera 6,
deoarece 6 nu e puterea niciunui număr prim.
Din fericire, șefii săi nu se prea pricepeau la matematică,
așa că slujba lui e în siguranță.
Strategiile recepționerului sunt posibile
doar pentru că Hotelul Infinit,
deși e un coșmar logistic,
poate gestiona doar nivelul cel mai scăzut de infinitate,
și anume, infinitul numărabil
al numerelor naturale,
1, 2, 3, 4 și așa mai departe.
Georg Cantor a numit acest nivel infinitul alef-zero.
Utilizăm numere naturale pentru a numerota camerele
și locurile din autocar.
Dar dacă am avea de-a face cu nivele superioare ale infinitului,
cum ar fi cel al numerelor reale,
aceste strategii structurate
nu ar mai fi posibile
căci nu avem cum să includem sistematic fiecare număr.
Hotelul Infinit cu Numere Reale
are camere cu număr negativ la subsol,
camere fracționale,
astfel încât clientul din camera 1/2 va suspecta mereu
că are mai puțin spațiu decât clientul din camera 1.
Camere cu rădăcină pătrată, cum ar fi camera radical din 2,
și camera pi,
unde oaspeții se așteaptă la desert gratuit.
Ce recepționer care se respectă
ar dori vreodată să lucreze aici,
chiar și pentru un salariu infinit?
Dar la Hotelul Infinit Hilbert,
unde nu este niciodată loc liber
și mereu locuri pentru mai mulți clienți
provocările care stau în fața harnicului
și poate prea ospitalierului recepționer
ne aduc aminte
cât de dificil este
pentru mintea noastră relativ finită
să priceapă un concept atât de mare ca infinitul.
Poate reușești să ajuți la rezolvarea acestor probleme
după un somn odihnitor.
Dar sincer, s-ar putea să trebuiască
să schimbi camera la ora 2 noaptea.