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Digamos que eres una clase de "ingeniero del tráfico" y lo que
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tu quieres saber es, ¿cuántos carros pasan por determinado
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lugar en la calle en determinado momento?
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Y quieres conocer las probabilidades de que
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pasen cien carros o que pasen cinco en determinada hora.
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Así que un buen punto de inicio es definir una
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variable aleatoria que represente lo que a ti te interesa.
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Así que digámos que el número de carros que pasan en
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determinado tiempo, digámos, en una hora.
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Y tu objetivo es descifrar la distribución de probabilidad
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de esta variable aleatoria y una vez que conozcas
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la distribución de la probabilidad podrás conocer cuál es la
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probabilidad de que cien carros pasen en una hora, o la probabilidad
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de que ningún carro pase en una hora y serías imparable.
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Y sólo un poco de lado, sólo para seguir adelante con este video,
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hay dos suposiciones que tenemos que hacer porque
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vamos a estudiar la distribución Poisson.
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Y para estudiarla hay dos suposiciones
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que debemos hacer:
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Que cualqueir hora en este lugar de la calle no es diferente
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con cualquier otra hora.
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Y sabemos que eso es probablemente falso.
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A las horas pico en una situaicón real probablemente
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tendrás más carros que a otra hora pico.
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Y tu sabes, si quieres ser más realista quizás debamos
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hacerlo de día porque en el día cualquier periodo de tiempo---
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de hecho no,
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no debería hacerlo de día.
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Debemos aumir que cualquier hora es exactamente igual
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a cualquier otra hora, y de hecho, incluso dentro de una hora
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no hay diferencias de un segundo a otro segundo,
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en términos de la probabilidad de que un carro llegue.
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Así que ahí está un poco de los suposición que
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quizás no apliquen totalmente al tráfico, pero creo que
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podemos hacer esa suposición.
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Y luego la otra suposición que tenemos que haces es que si
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un grupo de carros pasan en una hora, eso no significa que menos
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carros vayan a pasar en la siguiente.
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De ninguna manera el númeo de carros que pasan en un periodo de tiempo
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afectan o están correlacionados o de alguna manera afectan al número de carros
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que pasen en el siguiente.
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Son verdaderamente independientes.
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Considerando eso, podemos al menos intentar usar las habilidades
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para modelar algún tipo de distribución.
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Lo primero que haces, y yo recomiendo hacer esto para cualquier
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distribución, es quizás estimar la media.
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Sentémonos en esa curva y midamos... qué variables es esta
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sobre un grupo de horas y luego promediémosla, y eso va a
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ser un muy buen estimador de la media real
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de nuestra población.
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O, puesto que es una variable aleatoria, el valor esperado
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de esta variable aleatoria.
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Digamos que haces eso y obtienes el mejor estimado del
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valor esperado de la variable aleatoria es--- usaré
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la letra lambda.
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Tu sábes, que esto puede ser nueve carros por hora,
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te sientas allá afuera--- puede ser 9.3 carros por hora,
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te sentaste allá cientos de horas y tú sólo cuentas
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el número de carros, cada hora, y los promedias todos.
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Y dices, en promedio, hay 9.3 carros por hora y crees
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que ese es un buena estimación.
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Así que eso es lo que tienes.
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Y veamos que podemos hacer,
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conocemos la distribución binomial
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La distribución binomial nos dice que el valor esperado de una
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variable aleatoria es igual al número de eventos que
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componen a esa variable aleatoria, cierto?
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Antes, en videos anteriores estuvimos contando el número
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de caras en un volado.
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Asi que esto sería el número de volados, por la
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probabilidad de éxito en cada volado.
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Eso es lo que hicimos en la distribución binomial.
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Así que quizás podamos modelar nuestra situación vehicular
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haciendo algo similar.
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Este es el número de carros que pasan en una hora.
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Así que quizás podamos decir que carros-lambda por hora
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es igual a--- no sé...
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Hagamos cada experimento o cada volado igual a
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si un carro pasa en determinado minuto.
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Hay 60 minutos por cada hora, así que
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serían 60 eventos.
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Y luego, la probabilidad de que tengamos éxito en cada uno de
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esos eventos, si modelamos esto como una distribución binomial
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sería lambda sobre 60 carros por minuto.
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Y esto sería una probabilidad.
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Esto sería n, y esto sería la probabilidad, si nosotros decimos
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que esto es una distribución binomial.
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Y esto probablemente no sería una aproximación tan mala.
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Si tu puedes decir, oh, esto es una distribución
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binomial, así que la probabilidad de que nuestra variable
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aleatoria se igual a un determinado valor, k.
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Tu sabes, que la probabilidad de que 3 carros, exactamente tres carros pasen en
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determinada hora, serían entonces iguales a n.
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así que n sería 60.
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Elige k, y bueno, tengo tres autos, multiplicado por
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la probabilidad de éxito.
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Así que la probabilidad de que un auto pase en cualquier minuto.
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Sería lambda sobre 60 elevado a la potencia
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del número de éxitos que necesitamos,
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así que a la k potencia, por, la probabilidad de fracaso
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o de que ningún auto pase, a la n menos k
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Si tenemos k éxitos, el número de fracasos sería
60 menos k.
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Hay 60 menos k minutos en donde no pasó auto alguno.
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Esto no sería una aproximación tan mala, donde
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tienes 60 intervalos y dices que esto es una distribución
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binomial.
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Y probablemente obtengas resultados rasonables,
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pero hay un asunto importante aquí,
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en este modelo donde lo que modelamos tiene una distriución binomial,
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qué pasaría si más de un auto pasa en una hora?
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o más de un auto pasa en un minuto?
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De la manera en la que lo tenemos ahora, le llamamos éxito si un
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auto pasa en un minuto.
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Y si tienes cuidado de contar, cuenta como un éxito, incluso
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si 5 autos pasaran en un minuto.
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Así que dices, oh, OK Sal, veo la solución ahí,
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Sólo debo ser más específico,
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En vez de dividirlo en minutos, ¿por qué no
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dividirlo en segundos?
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Así que la probabilidad de que tenga k éxitos, en vez de tener
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60 intervalos, haré 3600 intervalos.
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Así que la probabilidad de k segundos éxitosos, así que el segundo
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en el que pase un auto, en ese momento, de 3,600 segundos.
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Eso es k de 3,600, por la probabilidad de que un auto
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pase en cualquier segundo.
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Eso es el esperado número de autos que pasen una hora, dividido por
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el número de segundos en una hora.
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Vamos a tener k éxitos,
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y éstos son los fracasos, la probabilidad de un fracaso
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y vas a tener 3,600 menos k fracasos.
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Y esto sería incluso una mejor aproximación.
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De hecho esto no estaría tan mal, pero de todas formas, tu tienes esta
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situación donde dos autos pueden pasar a medio
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segundo de diferencia.
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Y entonces me dices, oh, OK Sal, veo el patrón aquí,
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solo debemos ser más y más específicos.
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Solo tenemos que hacer este número más grande y
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más grande y más grande.
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Y tu intuición es correcta.
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Y si tu haces eso, terminarás obteniendo la
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distribución Poisson.
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Y esto es muy interesante porque muchas veces la gente
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te da la fórmula de la distribución Poisson y tú
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puedes sólo meter los números y usarla,
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pero es bonito saber que en realidad es sólo la distribución
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binomial, y la distribución binomial realmente vino
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del sentido común de hacer volados.
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De ahí es de donde todo viene,
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pero antes de probar que si tomamos el límite
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como --- déjenme cambiar de colores---
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Antes de que probemos que
