Sigma notation for sums

제가 이 영상에서 하고 싶은 것은 여러분에게

앞으로 수학과 함께하는 시간 동안 많이 쓰이게 될

시그마 기호를 소개하는 것입니다

여러분이 몇 개의 항들의 합을 구하고 싶다고 해 봅시다

그런데 이 항들에는 일정한 규칙이 존재합니다

처음 10개 숫자의 합을 구하고 싶다고 해봅시다

그러면 1+2+3 에

더하기를 계속하여 +9+10 까지 가겠죠

저는 당연히 이 모든 항들을 직접 써줄 수도 있겠지만

처음 100개 자연수의 합을 구하고 싶다고 했을 경우

훨씬 어려워질 것이라는 사실은 어려분도 잘 아실 겁니다

이 경우에는 1+2+3 에

+99+100 까지 되겠군요

그래서 수학자들은 음, 이렇게 점으로 표현하는 대신

물론 가끔 점으로 표시되는 것을 볼 수는 있을 겁니다

...이런 항들의 합을 좀 더 분명히 나타내 줄

새로운 기호 하나를 좀 찾아보자라고 했습니다

그런 생각으로부터 시그마 기호가 비롯된 것이고요

그러면 여기 첫번째 덧셈들은

시그마 기호를 통해 나타낼 수 있습니다

여기 보이는 이 그리스 문자 중 대문자 시그마를 사용하면 됩니다

그리곤 지수를 정의하면 됩니다

어떤 값에서부터 시작되는 것인지에 따라 지수를 놓는 것입니다

예를 들어 지수가 1부터 시작한다면

지수를 i 로 나타내 볼게요

i 가 1에서 시작했는데 숫자가 10까지 이어지면

i 역시 1부터 10까지 이어집니다

i 의 합을 구해 보겠습니다

방금 얘기한 것을 여기에 어떻게 표현할 수 있을까요?

우선 지수가 나타나는 위치부터 시작하면 됩니다

지수가 1이라면 i=1 이라고 놓으세요

1을 적은 다음 지수가 하나씩 늘어나므로

그 다음 항에서는 지수 i=2 가 될 겁니다

i=2

2를 적은 다음

계속해서 이 각각의 항들을 더해가는 것이지요

끝까지 가면 i=10 에 이르게 되겠네요

그러면 지금까지 제가 알려드린 것을 바탕으로

영상을 멈춘 뒤 여기 이 덧셈을

시그마 기호로 표현해 보길 바랍니다

시도를 해 보셨다는 전제 아래

이것이 합이 될 테고

첫번째 지수는

아까처럼 i 가 1부터 시작하니까 좀 쉽네요

그러나 이번에는 i 가 100과 같아질 때까지 계속할 겁니다

그리고 모든 i를 더해 주면 됩니다

다른 문제 하나를 풀어 봅시다

이번에는 i 가 0부터 50까지와 같을 때

글쎄요...ㅠ 곱하기 i의 제곱 합을 구한다고 합시다

이번 덧셈은 어떻게 나타낼 수 있을까요?

다시 한 번 저는 여러분이 영상을 멈추고

이 합을 연장해서 써 보길 권합니다

단계별로 밟아 보죠

i=0 이라면 첫번째 항은 ㅠ 곱하기 i의 0제곱입니다

이 값은 당연히 0이지만 저는 그냥 쓰겠습니다

ㅠ 곱하기 0의 제곱

i 의 수를 하나씩 늘려 보겠습니다

이 때 i 가 여기 주어진 가장 큰 숫자인 50을 넘지 않았는지

그러니까 가장 큰 값에 아직 도달하지 않았는지

확인하면서 해야 합니다

이번엔 i=1 이므로 ㅠ 곱하기 1의 제곱

즉 + (ㅠ 곱하기 1의 제곱)

자, 1이 여기 위에 적힌 마지막 값인가요? 아니죠

그래서 계속합니다

i=2 이므로 ㅠ 곱하기 2의 제곱

즉 +(ㅠ 곱하기 2의 제곱)

이제 어느 정도 규칙이 보일 것 같네요

어디까지 이렇게 가야 하냐면

언젠가 지수를 하나씩 늘려 i=49가 되었을 때

ㅠ 곱하기 49의 제곱이 되겠지요

그리고 마침내 i=50 이 된다면

+(ㅠ 곱하기 50의 제곱) 이 될 것입니다

이 때 우리는 이제야 i 가 위에 적힌 값이랑 같아졌으니

여기까지만 써주면 끝나는 것이고요

이제 여러분은 이 기호, 시그마 기호가

덧셈을 통째로 적는 것보다 훨씬 깔끔하고 정확하게

표현해주는 방법이라는 것을 알았을 것입니다

물론 둘 다 섞어 쓰는 사람들도 보겠지만요