제가 이 영상에서 하고 싶은 것은 여러분에게
앞으로 수학과 함께하는 시간 동안 많이 쓰이게 될
시그마 기호를 소개하는 것입니다
여러분이 몇 개의 항들의 합을 구하고 싶다고 해 봅시다
그런데 이 항들에는 일정한 규칙이 존재합니다
처음 10개 숫자의 합을 구하고 싶다고 해봅시다
그러면 1+2+3 에
더하기를 계속하여 +9+10 까지 가겠죠
저는 당연히 이 모든 항들을 직접 써줄 수도 있겠지만
처음 100개 자연수의 합을 구하고 싶다고 했을 경우
훨씬 어려워질 것이라는 사실은 어려분도 잘 아실 겁니다
이 경우에는 1+2+3 에
+99+100 까지 되겠군요
그래서 수학자들은 음, 이렇게 점으로 표현하는 대신
물론 가끔 점으로 표시되는 것을 볼 수는 있을 겁니다
...이런 항들의 합을 좀 더 분명히 나타내 줄
새로운 기호 하나를 좀 찾아보자라고 했습니다
그런 생각으로부터 시그마 기호가 비롯된 것이고요
그러면 여기 첫번째 덧셈들은
시그마 기호를 통해 나타낼 수 있습니다
여기 보이는 이 그리스 문자 중 대문자 시그마를 사용하면 됩니다
그리곤 지수를 정의하면 됩니다
어떤 값에서부터 시작되는 것인지에 따라 지수를 놓는 것입니다
예를 들어 지수가 1부터 시작한다면
지수를 i 로 나타내 볼게요
i 가 1에서 시작했는데 숫자가 10까지 이어지면
i 역시 1부터 10까지 이어집니다
i 의 합을 구해 보겠습니다
방금 얘기한 것을 여기에 어떻게 표현할 수 있을까요?
우선 지수가 나타나는 위치부터 시작하면 됩니다
지수가 1이라면 i=1 이라고 놓으세요
1을 적은 다음 지수가 하나씩 늘어나므로
그 다음 항에서는 지수 i=2 가 될 겁니다
i=2
2를 적은 다음
계속해서 이 각각의 항들을 더해가는 것이지요
끝까지 가면 i=10 에 이르게 되겠네요
그러면 지금까지 제가 알려드린 것을 바탕으로
영상을 멈춘 뒤 여기 이 덧셈을
시그마 기호로 표현해 보길 바랍니다
시도를 해 보셨다는 전제 아래
이것이 합이 될 테고
첫번째 지수는
아까처럼 i 가 1부터 시작하니까 좀 쉽네요
그러나 이번에는 i 가 100과 같아질 때까지 계속할 겁니다
그리고 모든 i를 더해 주면 됩니다
다른 문제 하나를 풀어 봅시다
이번에는 i 가 0부터 50까지와 같을 때
글쎄요...ㅠ 곱하기 i의 제곱 합을 구한다고 합시다
이번 덧셈은 어떻게 나타낼 수 있을까요?
다시 한 번 저는 여러분이 영상을 멈추고
이 합을 연장해서 써 보길 권합니다
단계별로 밟아 보죠
i=0 이라면 첫번째 항은 ㅠ 곱하기 i의 0제곱입니다
이 값은 당연히 0이지만 저는 그냥 쓰겠습니다
ㅠ 곱하기 0의 제곱
i 의 수를 하나씩 늘려 보겠습니다
이 때 i 가 여기 주어진 가장 큰 숫자인 50을 넘지 않았는지
그러니까 가장 큰 값에 아직 도달하지 않았는지
확인하면서 해야 합니다
이번엔 i=1 이므로 ㅠ 곱하기 1의 제곱
즉 + (ㅠ 곱하기 1의 제곱)
자, 1이 여기 위에 적힌 마지막 값인가요? 아니죠
그래서 계속합니다
i=2 이므로 ㅠ 곱하기 2의 제곱
즉 +(ㅠ 곱하기 2의 제곱)
이제 어느 정도 규칙이 보일 것 같네요
어디까지 이렇게 가야 하냐면
언젠가 지수를 하나씩 늘려 i=49가 되었을 때
ㅠ 곱하기 49의 제곱이 되겠지요
그리고 마침내 i=50 이 된다면
+(ㅠ 곱하기 50의 제곱) 이 될 것입니다
이 때 우리는 이제야 i 가 위에 적힌 값이랑 같아졌으니
여기까지만 써주면 끝나는 것이고요
이제 여러분은 이 기호, 시그마 기호가
덧셈을 통째로 적는 것보다 훨씬 깔끔하고 정확하게
표현해주는 방법이라는 것을 알았을 것입니다
물론 둘 다 섞어 쓰는 사람들도 보겠지만요