Sigma notation for sums

In diesem Video möchte ich dir
die Sigma-Notation vorstellen,

die in deiner mathematischen Laufbahn
sehr oft verwendet werden wird.

Nehmen wir an, du willst eine Summe von Termen finden und dass diese Terme ein Muster haben.

Sagen wir, du willst die Summe
der ersten zehn Zahlen finden.

Du könntest also 1 + 2 + 3 +...
usw. schreiben bis + 9 und + 10.

Ich hätte die Zahlen dazwischen aufschreiben können,

aber du kannst dir vorstellen,
dass das sehr viel schwieriger wird,

wenn wir z.B. die Summe der
ersten 100 Zahlen finden wollen.

Das wäre dann 1 + 2 + 3 + ... bis + 99 und + 100.

Also haben sich Mathematiker überlegt,
dafür eine Notation zu finden,

anstatt diese Punkte zu schreiben,
die man manchmal sieht,

damit wir diese Arten von Summen
einfacher darstellen können.

Und deshalb haben wir die Sigma-Notation.

Diese erste Summe hier oben könnte
mit Sigma repräsentiert werden.

Dieser griechische Buchstabe hier ist ein großes Sigma.

Und wir definieren einen Index.

Und du kannst deinen Index bei einem Wert beginnen.

Sagen wir einfach, der Index beginnt bei 1.

Ich verwende i für Index.

i beginnt also bei 1 und geht bis 10.

Und ich summiere die i-Werte.

Wie bekommen wir daraus das hier drüben?

Du fängst da an, wo der Index ist.

Wenn der Index bei 1 ist, dann setzen wir i = 1.

Du schreibst die 1 auf und dann erhöhst du den Index.

i ist dann also gleich 2.

i = 2.

Schreib die 2 auf.

Und du summierst nach und nach diese Terme,

solange, bis i = 10 ist.

Jetzt, wo du das weißt, ermutige ich dich,

das Video zu pausieren und die Sigma-Notation
für diese Summe hier drüben aufzuschreiben.

Ich nehme mal an, du hast es vesucht.

Das wäre die Summe.

Beim ersten Term ist es am einfachsten,

wenn wir einfach wieder bei i = 1 beginnen.

Aber jetzt hören wir nicht auf, bis i = 100 ist,

und summieren alle i-Werte.

Kommen wir zu einem weiteren Beispiel.

Wir wollen die Summe von i = 0 bis 50 von πi².

Wie würde diese Summe aussehen?

Ich ermutige dich wieder, das Video zu pausieren,

und diese Summe aufzuschreiben.

Jetzt machen wir es Schritt für Schritt.

Wenn i = 0 ist, dann ist das π ⋅ 0².

Und das ergibt eindeutig 0,
aber ich schreibe es trotzdem auf.

π0².

Dann erhöhen wir unser i.

Und wir stellen sicher, dass unser i nicht bereits
diesen oberen Grenzwert hier erreicht hat.

Jetzt haben wir i = 1, also addieren wir π ⋅ 1².

Ist die 1 unser Höchstwert, bei dem wir aufhören?

Nein.

Also machen wir weiter.

Dann haben wir i = 2, also addieren wir π ⋅ 2².

Ich denke, du erkennst das Muster.

Und wir erhöhen unser i immer weiter, bis es 49 erreicht,

und wir π ⋅ 49² rechnen.

Und dann erhöhen wir i und haben i = 50,

und wir addieren π ⋅ 50².

Und dann sehen wir, dass unser i endlich
diesen oberen Höchstwert erreicht hat,

und wir aufhören können.

Du siehst also, dass diese Sigma-Notationa für
diese Summe ein viel übersichtlicherer Weg ist,

sie darzustellen, anstatt die
ganze Summe auszuschreiben.

Aber du wirst sehen, dass Leute beide Arten verwenden.