1 00:00:00,260 --> 00:00:04,040 In diesem Video möchte ich dir die Sigma-Notation vorstellen, 2 00:00:04,040 --> 00:00:07,840 die in deiner mathematischen Laufbahn sehr oft verwendet werden wird. 3 00:00:07,840 --> 00:00:13,420 Nehmen wir an, du willst eine Summe von Termen finden und dass diese Terme ein Muster haben. 4 00:00:13,420 --> 00:00:16,400 Sagen wir, du willst die Summe der ersten zehn Zahlen finden. 5 00:00:16,400 --> 00:00:24,200 Du könntest also 1 + 2 + 3 +... usw. schreiben bis + 9 und + 10. 6 00:00:24,200 --> 00:00:26,776 Ich hätte die Zahlen dazwischen aufschreiben können, 7 00:00:26,780 --> 00:00:28,740 aber du kannst dir vorstellen, dass das sehr viel schwieriger wird, 8 00:00:28,740 --> 00:00:31,480 wenn wir z.B. die Summe der ersten 100 Zahlen finden wollen. 9 00:00:31,480 --> 00:00:40,140 Das wäre dann 1 + 2 + 3 + ... bis + 99 und + 100. 10 00:00:40,140 --> 00:00:45,400 Also haben sich Mathematiker überlegt, dafür eine Notation zu finden, 11 00:00:45,400 --> 00:00:49,000 anstatt diese Punkte zu schreiben, die man manchmal sieht, 12 00:00:49,000 --> 00:00:52,520 damit wir diese Arten von Summen einfacher darstellen können. 13 00:00:52,520 --> 00:00:54,980 Und deshalb haben wir die Sigma-Notation. 14 00:00:54,980 --> 00:01:01,400 Diese erste Summe hier oben könnte mit Sigma repräsentiert werden. 15 00:01:01,400 --> 00:01:04,780 Dieser griechische Buchstabe hier ist ein großes Sigma. 16 00:01:04,780 --> 00:01:06,840 Und wir definieren einen Index. 17 00:01:06,840 --> 00:01:09,940 Und du kannst deinen Index bei einem Wert beginnen. 18 00:01:09,940 --> 00:01:12,780 Sagen wir einfach, der Index beginnt bei 1. 19 00:01:12,780 --> 00:01:14,860 Ich verwende i für Index. 20 00:01:14,860 --> 00:01:23,560 i beginnt also bei 1 und geht bis 10. 21 00:01:23,560 --> 00:01:26,380 Und ich summiere die i-Werte. 22 00:01:26,390 --> 00:01:29,920 Wie bekommen wir daraus das hier drüben? 23 00:01:29,920 --> 00:01:32,650 Du fängst da an, wo der Index ist. 24 00:01:32,650 --> 00:01:35,800 Wenn der Index bei 1 ist, dann setzen wir i = 1. 25 00:01:35,800 --> 00:01:39,560 Du schreibst die 1 auf und dann erhöhst du den Index. 26 00:01:39,560 --> 00:01:42,386 i ist dann also gleich 2. 27 00:01:42,386 --> 00:01:43,560 i = 2. 28 00:01:43,560 --> 00:01:44,390 Schreib die 2 auf. 29 00:01:44,390 --> 00:01:47,290 Und du summierst nach und nach diese Terme, 30 00:01:47,290 --> 00:01:52,920 solange, bis i = 10 ist. 31 00:01:52,920 --> 00:01:54,920 Jetzt, wo du das weißt, ermutige ich dich, 32 00:01:54,920 --> 00:02:01,320 das Video zu pausieren und die Sigma-Notation für diese Summe hier drüben aufzuschreiben. 33 00:02:01,320 --> 00:02:03,220 Ich nehme mal an, du hast es vesucht. 34 00:02:03,220 --> 00:02:05,125 Das wäre die Summe. 35 00:02:05,125 --> 00:02:06,860 Beim ersten Term ist es am einfachsten, 36 00:02:06,860 --> 00:02:11,600 wenn wir einfach wieder bei i = 1 beginnen. 37 00:02:11,600 --> 00:02:15,000 Aber jetzt hören wir nicht auf, bis i = 100 ist, 38 00:02:15,000 --> 00:02:19,380 und summieren alle i-Werte. 39 00:02:19,380 --> 00:02:20,820 Kommen wir zu einem weiteren Beispiel. 40 00:02:20,820 --> 00:02:43,180 Wir wollen die Summe von i = 0 bis 50 von πi². 41 00:02:43,180 --> 00:02:44,430 Wie würde diese Summe aussehen? 42 00:02:44,430 --> 00:02:46,000 Ich ermutige dich wieder, das Video zu pausieren, 43 00:02:46,000 --> 00:02:50,080 und diese Summe aufzuschreiben. 44 00:02:50,080 --> 00:02:52,500 Jetzt machen wir es Schritt für Schritt. 45 00:02:52,500 --> 00:02:56,400 Wenn i = 0 ist, dann ist das π ⋅ 0². 46 00:02:56,400 --> 00:02:58,250 Und das ergibt eindeutig 0, aber ich schreibe es trotzdem auf. 47 00:02:58,250 --> 00:03:02,020 π0². 48 00:03:02,020 --> 00:03:03,860 Dann erhöhen wir unser i. 49 00:03:03,860 --> 00:03:10,220 Und wir stellen sicher, dass unser i nicht bereits diesen oberen Grenzwert hier erreicht hat. 50 00:03:10,220 --> 00:03:24,060 Jetzt haben wir i = 1, also addieren wir π ⋅ 1². 51 00:03:24,060 --> 00:03:26,980 Ist die 1 unser Höchstwert, bei dem wir aufhören? 52 00:03:26,990 --> 00:03:27,490 Nein. 53 00:03:27,490 --> 00:03:28,670 Also machen wir weiter. 54 00:03:28,670 --> 00:03:40,460 Dann haben wir i = 2, also addieren wir π ⋅ 2². 55 00:03:40,460 --> 00:03:42,240 Ich denke, du erkennst das Muster. 56 00:03:42,240 --> 00:03:49,100 Und wir erhöhen unser i immer weiter, bis es 49 erreicht, 57 00:03:49,100 --> 00:03:55,000 und wir π ⋅ 49² rechnen. 58 00:03:55,000 --> 00:03:58,900 Und dann erhöhen wir i und haben i = 50, 59 00:03:58,900 --> 00:04:05,710 und wir addieren π ⋅ 50². 60 00:04:05,710 --> 00:04:09,600 Und dann sehen wir, dass unser i endlich diesen oberen Höchstwert erreicht hat, 61 00:04:09,600 --> 00:04:11,740 und wir aufhören können. 62 00:04:11,740 --> 00:04:19,500 Du siehst also, dass diese Sigma-Notationa für diese Summe ein viel übersichtlicherer Weg ist, 63 00:04:19,500 --> 00:04:22,360 sie darzustellen, anstatt die ganze Summe auszuschreiben. 64 00:04:22,360 --> 00:04:26,500 Aber du wirst sehen, dass Leute beide Arten verwenden.