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Riemann sums and sigma notation

  • 0:01 - 0:03
    아래는 함수 F입니다
  • 0:03 - 0:06
    24개의 오른쪽 변을
    기준으로 하는 직사각형의
  • 0:06 - 0:07
    합이 제시되어있습니다
  • 0:07 - 0:09
    그럼 오른쪽 변을 기준으로 하는
    직사각형이 무엇을 뜻할까요?
  • 0:09 - 0:11
    24개의 직사각형이 있습니다
  • 0:11 - 0:12
    세어보실 수 있습니다
  • 0:12 - 0:14
    그리고 오른쪽 변을
    기준으로 하는 직사각형은
  • 0:14 - 0:17
    각각의 직사각형에서의 높이가
  • 0:17 - 0:19
    오른쪽 변의 함숫값으로
  • 0:19 - 0:21
    정의되는 것을 의미합니다
  • 0:21 - 0:22
    정의되는 것을 의미합니다
  • 0:23 - 0:24
    그럼 이것이 첫 번째 직사각형의
  • 0:24 - 0:26
    오른쪽 변의 길이라고 볼 수 있고
  • 0:26 - 0:28
    그 점에서의 함숫값을 구하면
  • 0:28 - 0:30
    직사각형의 높이가 됩니다
  • 0:30 - 0:33
    왼쪽 변의 길이를 기준으로 하는
  • 0:33 - 0:35
    직사각형은 직사각형의 높이를
  • 0:35 - 0:36
    직사각형의 왼쪽 변의
    함숫값으로 정의합니다
  • 0:36 - 0:37
    직사각형의 왼쪽 변의
    함숫값으로 정의합니다
  • 0:37 - 0:39
    그래서 첫 번째 직사각형의
    왼쪽 변을 기준으로 하는
  • 0:39 - 0:40
    직사각형의 높이는
    이렇게 생겼을 겁니다
  • 0:40 - 0:40
    직사각형의 높이는
    이렇게 생겼을 겁니다
  • 0:40 - 0:42
    그게 바로 오른쪽 변을 기준으로 하는
  • 0:42 - 0:43
    직사각형을 뜻합니다
  • 0:43 - 0:45
    좋습니다, 파란색이 8개이고
  • 0:45 - 0:47
    보시면 빨간색이 16개입니다
    좋아요
  • 0:48 - 0:51
    직사각형 24개는 모두 폭이 같습니다
  • 0:51 - 0:53
    아래의 진술 중 어떤 것이 참입니까?
  • 0:53 - 0:55
    아래의 진술 중 어떤 것이 참입니까?
  • 0:55 - 0:57
    시그마를 사용한 세 식을 보여주고
  • 0:57 - 0:59
    시그마를 사용한 세 식을 보여주고
  • 0:59 - 1:01
    첫 번째는 파란 직사각형
  • 1:01 - 1:02
    넓이의 합이고
  • 1:02 - 1:03
    이건 빨간 직사각형 넓이의 합이고
  • 1:03 - 1:04
    이건 빨간 직사각형 넓이의 합이고
  • 1:04 - 1:05
    이건 모든 직사각형
    넓이의 합이라고 말합니다
  • 1:05 - 1:07
    이건 모든 직사각형
    넓이의 합이라고 말합니다
  • 1:07 - 1:09
    지금 동영상을 일시정지하고
  • 1:09 - 1:12
    어떤 진술이 참인지
    스스로 결정해 보시기를 바랍니다
  • 1:12 - 1:15
    어떤 진술이 참인지
    스스로 결정해 보시기를 바랍니다
  • 1:16 - 1:19
    그럼 한번 해보셨다고 가정하겠습니다
  • 1:19 - 1:21
    하나하나 살펴보고
  • 1:21 - 1:23
    맞는 말인지 알아봅시다
  • 1:23 - 1:24
    첫 번째, 파란 직사각형
  • 1:24 - 1:26
    넓이의 합입니다
  • 1:26 - 1:27
    물론 1 2 3 4 5 6 7 8개의
  • 1:27 - 1:30
    파란 직사각형이 있는 것을 알고 있고
  • 1:31 - 1:33
    1부터 8까지를 더합니다
  • 1:33 - 1:35
    그럼 여기 있는 여덟 개를
    더하는 것처럼 보일 겁니다
  • 1:35 - 1:36
    그럼 여기 있는 여덟 개를
    더하는 것처럼 보일 겁니다
  • 1:36 - 1:39
    이건1 2 3 4 5 6 7 8 입니다
  • 1:40 - 1:42
    이건1 2 3 4 5 6 7 8 입니다
  • 1:42 - 1:44
    그럼 보기 좋아보입니다
  • 1:44 - 1:46
    그리고 나서 F를 반으로 나눕니다
  • 1:46 - 1:47
    그리고 나서 F를 반으로 나눕니다
  • 1:48 - 1:51
    아직 이것도 보지 않았습니다
  • 1:51 - 1:52
    이게 각 직사각형의
    높이가 될 것 같습니다
  • 1:52 - 1:53
    이게 각 직사각형의
    높이가 될 것 같습니다
  • 1:54 - 1:54
    오른쪽 변의 함숫값을
  • 1:54 - 1:56
    높이로 두고 있고 이것이
    폭이 될 것이라는 것을 기억해두세요
  • 1:56 - 1:58
    높이로 두고 있고 이것이
    폭이 될 것이라는 것을 기억해두세요
  • 1:58 - 1:59
    높이로 두고 있고 이것이
    폭이 될 것이라는 것을 기억해두세요
  • 1:59 - 2:01
    그럼 각 직사각형의 폭이
  • 2:01 - 2:03
    1/2이라는 것이 말이 될까요?
  • 2:04 - 2:07
    물론 x=-5와 x=7사이의
    거리는 12입니다
  • 2:07 - 2:10
    물론 x=-5와 x=7사이의
    거리는 12입니다
  • 2:10 - 2:12
    물론 x=-5와 x=7사이의
    거리는 12입니다
  • 2:12 - 2:14
    5 더하기 7, 즉 12이고
  • 2:14 - 2:17
    이를 같은 폭의 24개
    직사각형으로 나눕니다
  • 2:17 - 2:18
    이를 같은 폭의 24개
    직사각형으로 나눕니다
  • 2:18 - 2:21
    그럼 12를 24로 나누면
  • 2:21 - 2:23
    각각은 1/2의 폭을 가지게 됩니다
  • 2:25 - 2:26
    각각은 1/2의 폭을 가지게 됩니다
  • 2:27 - 2:29
    1/2를 확인했습니다
  • 2:29 - 2:31
    이제 이 부분에 대해서 생각해봅시다
  • 2:31 - 2:33
    F(-5+i/2)에 대해 생각해봅시다
  • 2:33 - 2:36
    F(-5+i/2)에 대해 생각해봅시다
  • 2:37 - 2:38
    그럼 봅시다
  • 2:38 - 2:41
    i=1일 때 F(-5+1/2)에
  • 2:41 - 2:44
    1/2을 곱할 것입니다
  • 2:44 - 2:47
    1/2을 곱할 것입니다
  • 2:47 - 2:47
    그렇죠?
  • 2:47 - 2:49
    i=1이므로 -5+1/2은
  • 2:49 - 2:50
    여기 이 점이 될 것입니다
  • 2:50 - 2:51
    여기 이 점이 될 것입니다
  • 2:51 - 2:54
    이것의 F는 이 거리
  • 2:54 - 2:58
    즉 이 높이가 될 것입니다
  • 2:58 - 3:00
    오른쪽 변을 기준으로 하는
    직사각형과 같습니다
  • 3:00 - 3:01
    오른쪽 변을 기준으로 하는
    직사각형과 같습니다
  • 3:01 - 3:03
    i=1일 때 분명히 여기 있는 넓이를
    찾게 되는 것은 자명합니다
  • 3:03 - 3:04
    i=1일 때 분명히 여기 있는 넓이를
    찾게 되는 것은 자명합니다
  • 3:04 - 3:08
    i=1일 때 분명히 여기 있는 넓이를
    찾게 되는 것은 자명합니다
  • 3:09 - 3:11
    i=2라면 -5+2/2가 됩니다
  • 3:11 - 3:13
    i=2라면 -5+2/2가 됩니다
  • 3:14 - 3:16
    2/2 즉 1을 더할 것이고
  • 3:16 - 3:18
    여기로 넘어가면
    다시 여기 있는 1/2을 곱합니다
  • 3:18 - 3:20
    여기로 넘어가면
    다시 여기 있는 1/2을 곱합니다
  • 3:20 - 3:22
    여기로 넘어가면
    다시 여기 있는 1/2을 곱합니다
  • 3:22 - 3:26
    즉 이 높이인
    F(-5+2/2) = F(-4)에
  • 3:26 - 3:28
    즉 이 높이인
    F(-5+2/2) = F(-4)에
  • 3:28 - 3:31
    폭을 곱한 것입니다
  • 3:31 - 3:33
    그럼 다시 한번 이 넓이가 됩니다
  • 3:33 - 3:34
    이렇게 계속 따라 하실 수 있습니다
  • 3:34 - 3:36
    첫 번째는 -5+1/2이고
  • 3:38 - 3:40
    이 함수를 취할 때마다
    각 증분으로 1/2씩 더하게 되고
  • 3:40 - 3:42
    이 함수를 취할 때마다
    각 증분으로 1/2씩 더하게 되고
  • 3:42 - 3:45
    이 함수를 취할 때마다
    각 증분으로 1/2씩 더하게 되고
  • 3:45 - 3:48
    추측건대 오른쪽 변은
    한 방향으로만 생각하면 됩니다
  • 3:48 - 3:48
    추측건대 오른쪽 변은
    한 방향으로만 생각하면 됩니다
  • 3:49 - 3:51
    그럼 실제로 완벽히 이치에 맞게 됩니다
  • 3:51 - 3:52
    이 과정을 처음 8개에 하게 되므로
  • 3:52 - 3:55
    참이 됩니다
  • 3:55 - 3:58
    파란색 직사각형의 넓이의 합입니다
  • 3:59 - 4:01
    파란색 직사각형의 넓이의 합입니다
  • 4:01 - 4:03
    이제 여기 있는 것을 알아봅시다
  • 4:03 - 4:04
    빨간색 직사각형 넓이의 합입니다
  • 4:05 - 4:07
    처음에는 꽤 흥미로워 보였습니다
  • 4:07 - 4:10
    16개의 합을 찾는 것이고
  • 4:10 - 4:12
    실제로 여기에 16개가 있습니다
  • 4:12 - 4:13
    실제로 여기에 16개가 있습니다
  • 4:13 - 4:15
    16개 각각의, 즉 우리가 넓이를
    구하고 싶어 하는 직사각형
  • 4:15 - 4:18
    16개 각각의, 즉 우리가 넓이를
    구하고 싶어 하는 직사각형
  • 4:18 - 4:20
    각각의 폭을 알고
  • 4:20 - 4:22
    실제로 각각의 폭이
    1/2인 경우입니다
  • 4:22 - 4:24
    실제로 각각의 폭이
    1/2인 경우입니다
  • 4:24 - 4:26
    하지만 F(-1+i/2)를 구하면
    어떤 일이 발생할까요
  • 4:26 - 4:29
    하지만 F(-1+i/2)를 구하면
    어떤 일이 발생할까요
  • 4:29 - 4:32
    그래서 -1에서부터 시작하겠습니다
  • 4:32 - 4:34
    그래서 -1에서부터 시작하겠습니다
  • 4:34 - 4:36
    -1+i/2
  • 4:36 - 4:37
    i=1일 때 여기 이 점이 될 것이고
  • 4:37 - 4:38
    i=1일 때 여기 이 점이 될 것이고
  • 4:39 - 4:41
    여기서의 함숫값은--
  • 4:41 - 4:42
    이봐요, 이 직사각형의
    높이가 되는 것 아닌가요?
  • 4:42 - 4:43
    이봐요, 이 직사각형의
    높이가 되는 것 아닌가요?
  • 4:43 - 4:44
    i=2일 때 이 직사각형의
    높이가 되는 것 아닌가요?
  • 4:44 - 4:46
    i=2일 때 이 직사각형의
    높이가 되는 것 아닌가요?
  • 4:46 - 4:48
    그리고 i=3일 때 이 직사각형의
    높이가 되는 것 아닌가요?
  • 4:48 - 4:49
    라고 물어보실 수도 있습니다
  • 4:50 - 4:52
    그리고 그것이 바로
    주의해야 할 점입니다
  • 4:53 - 4:54
    모두 동일하게 명확한 값을
  • 4:54 - 4:57
    가질 것이지만 이들은 모두
  • 4:57 - 4:59
    음의 값을 가지게 될 겁니다
  • 5:00 - 5:03
    이 함숫값을 보면
    이들 모두 음의 값을 가지게 됩니다
  • 5:03 - 5:08
    이 함숫값을 보면
    이들 모두 음의 값을 가지게 됩니다
  • 5:09 - 5:10
    이 함숫값을 보면
    이들 모두 음의 값을 가지게 됩니다
  • 5:10 - 5:12
    그래서 -1/2부터 7까지의 함수가
  • 5:12 - 5:14
    실제로 음의 값을
    가지는 것처럼 보입니다
  • 5:14 - 5:16
    실제로 음의 값을
    가지는 것처럼 보입니다
  • 5:16 - 5:17
    한 가지 생각해야 될 점은
  • 5:17 - 5:18
    높이로 음의 값을 가지기 때문에
  • 5:18 - 5:20
    이 두 개를 곱하면
  • 5:20 - 5:21
    음수가 나온다는 것입니다
  • 5:22 - 5:24
    그럼 이 전체는 음수가 될 것이고
  • 5:24 - 5:25
    그럼 이 전체는 음수가 될 것이고
  • 5:25 - 5:27
    반드시 빨간색 직사각형의 합으로
  • 5:27 - 5:29
    음수를 가지게 될 겁니다
  • 5:30 - 5:30
    하지만 빨간색 직사각형들의
  • 5:30 - 5:32
    넓이의 합과는 다릅니다
  • 5:32 - 5:35
    넓이는 예상할 수 있듯이
    최소한 관용적으로
  • 5:36 - 5:38
    만약 이것을 단순히
    이 면적을 덮으려면
  • 5:38 - 5:40
    얼마나 많은 카펫이 필요한지
  • 5:40 - 5:42
    보고 있다면 누군가는
    양의 값을 가진다고 말할 겁니다
  • 5:42 - 5:43
    보고 있다면 누군가는
    양의 값을 가진다고 말할 겁니다
  • 5:43 - 5:45
    하지만 이건 (-) 버전이 될 겁니다
  • 5:45 - 5:45
    하지만 이건 (-) 버전이 될 겁니다
  • 5:45 - 5:47
    그러므로 이것은 빨간색
    직사각형의 넓이의 합이 아닙니다
  • 5:47 - 5:48
    그러므로 이것은 빨간색
    직사각형의 넓이의 합이 아닙니다
  • 5:48 - 5:51
    빨간색 직사각형의 넓이의 합에
    (-)를 붙인 값입니다
  • 5:51 - 5:52
    그럼 하나 제거했습니다
  • 5:53 - 5:54
    그리고 마지막 선택지는
  • 5:54 - 5:56
    모든 직사각형의 넓이의
    합을 표현한 겁니다
  • 5:56 - 5:57
    모든 직사각형의 넓이의
    합을 표현한 겁니다
  • 5:58 - 6:00
    i=1부터 24까지가 되고
  • 6:00 - 6:01
    i=1부터 24까지가 되고
  • 6:01 - 6:02
    즉 24개가 됩니다
  • 6:03 - 6:06
    여기서부터 시작하고
    계속해서 갈 겁니다
  • 6:06 - 6:08
    그리고 만약 i=1부터 i=8까지를
  • 6:08 - 6:10
    얘기한다면 첫 번째 선택지가
  • 6:11 - 6:12
    될 것이지만 그다음
    다시 한번 문제가 생깁니다
  • 6:12 - 6:14
    될 것이지만 그다음
    다시 한번 문제가 생깁니다
  • 6:14 - 6:17
    i=9가 되면 이것은 음수로 변하고
  • 6:18 - 6:19
    i=9가 되면 이것은 음수로 변하고
  • 6:19 - 6:21
    넓이가 음수가 됩니다
  • 6:21 - 6:22
    그럼 본질적으로
  • 6:22 - 6:24
    양의 값을 가지는 넓이와
    여기 있는 음의 값을 가지는 넓이에
  • 6:24 - 6:26
    망을 치게 됩니다
  • 6:26 - 6:28
    그러므로 모든 직사각형의
  • 6:28 - 6:29
    넓이의 합이 되지 않고
  • 6:29 - 6:31
    본질적으로 이 넓이에서
  • 6:31 - 6:34
    이 넓이를 뺀 값이 됩니다
Title:
Riemann sums and sigma notation
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:36

Korean subtitles

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