< Return to Video

Riemann sums and sigma notation

  • 0:01 - 0:03
    Графиката на функцията F е дадена
    по-долу.
  • 0:03 - 0:06
    Общо 24 десни правоъгълника
  • 0:06 - 0:07
    са построени.
  • 0:07 - 0:09
    Какво имат предвид с "десни
    правоъгълници"?
  • 0:09 - 0:11
    Определено тук има 24 правоъгълника.
  • 0:11 - 0:12
    Можеш да ги преброиш.
  • 0:12 - 0:14
    Десни правоъгълници означава,
  • 0:14 - 0:17
    че за всеки от тези правоъгълници
    височината
  • 0:17 - 0:19
    на правоъгълника е дефинирана чрез
    стойността
  • 0:19 - 0:21
    на функцията от дясната страна
  • 0:21 - 0:22
    на правоъгълника.
  • 0:23 - 0:24
    Можеш да видиш, че това е дясната
    страна
  • 0:24 - 0:26
    на първия правоъгълник и ако вземеш
  • 0:26 - 0:28
    стойността на функцията в тази точка,
  • 0:28 - 0:30
    то това е височината на правоъгълника.
  • 0:30 - 0:33
    Един "ляв правоъгълник" дефинира
  • 0:33 - 0:35
    височината на правоъгълника чрез
    стойността
  • 0:35 - 0:36
    на функцията от лявата страна
  • 0:36 - 0:37
    на правоъгълника.
  • 0:37 - 0:38
    Височината на един ляв правоъгълник,
  • 0:38 - 0:41
    например височината на първата
    фигура, ще изглежда ето така.
  • 0:41 - 0:42
    Ето това е, което имат предвид
  • 0:42 - 0:43
    с термина десен правоъгълник.
  • 0:43 - 0:45
    Дотук добре. Имаме осем броя в синьо.
  • 0:45 - 0:47
    Виждаме го. 16 са в червено. Добре!
  • 0:48 - 0:51
    Всички 24 правоъгълника имат еднаква
    широчина.
  • 0:51 - 0:53
    Кои от долните твърдения
  • 0:53 - 0:55
    са верни?
  • 0:55 - 0:57
    Дават ни три израза,
  • 0:57 - 0:59
    записани с означението сигма.
    Дадено е, че
  • 0:59 - 1:01
    ето този първият, е сумата от
  • 1:01 - 1:02
    лицата на сините правоъгълници.
  • 1:02 - 1:03
    Този представлява сумата от лицата
  • 1:03 - 1:04
    на червените правоъгълници.
  • 1:04 - 1:06
    А това е сумата от лицата
  • 1:06 - 1:07
    на всички правоъгълници.
  • 1:07 - 1:09
    Насърчавам те да спреш
  • 1:09 - 1:12
    видеото и да се опиташ самостоятелно
    да определиш
  • 1:12 - 1:15
    кои от твърденията са верни.
  • 1:16 - 1:19
    Добре, предполагам, че вече е
    направено това.
  • 1:20 - 1:21
    Нека разгледаме всеки
    от изразите
  • 1:21 - 1:23
    и да видим дали имат смисъл.
  • 1:23 - 1:24
    Първият е сумата
  • 1:24 - 1:26
    от площите на сините правоъгълници.
  • 1:26 - 1:27
    Знаем, че имаме един, два, три,
  • 1:27 - 1:30
    четири, пет, шест, седем, осем сини
    правоъгълника,
  • 1:31 - 1:33
    и сумираме от 1 до 8.
  • 1:33 - 1:35
    Изглежда, че сумираме осем
  • 1:35 - 1:36
    неща ето тук.
  • 1:36 - 1:39
    Това е едно, две, три, четири, пет,
  • 1:40 - 1:42
    шест, седем, осем.
  • 1:42 - 1:44
    Тогава това ето тук изглежда добре.
  • 1:44 - 1:46
    И след това намираме f от нещо,
  • 1:46 - 1:47
    умножено по 1/2.
  • 1:48 - 1:51
    Дори все още не разглеждаме
    графиката.
  • 1:51 - 1:52
    Изглежда, че това ще бъде височината
  • 1:52 - 1:53
    на всеки от правоъгълниците.
  • 1:53 - 1:55
    Припомни си, че вземаме стойността
  • 1:55 - 1:56
    на функцията от дясната страна
  • 1:56 - 1:58
    за височина, а ето това ще бъде
  • 1:58 - 1:59
    широчината.
  • 1:59 - 2:01
    Вярно ли е, че широчината
  • 2:01 - 2:04
    на всеки от тези правоъгълници е 1/2?
  • 2:04 - 2:07
    Пълното разстояние между
  • 2:07 - 2:10
    x равно на минус 5 и x равно на 7,
  • 2:10 - 2:12
    е равно на 12.
  • 2:12 - 2:14
    5 плюс 7 е равно на 12.
  • 2:14 - 2:17
    Разделяме го на 24 правоъгълника
  • 2:17 - 2:18
    с еднаква широчина.
  • 2:18 - 2:21
    Ако разделиш 12 на 24,
  • 2:21 - 2:25
    то всеки един правоъгълник ще има
    широчина
  • 2:25 - 2:26
    от 1/2.
  • 2:27 - 2:29
    Отбелязваме, че 1/2 е вярно.
  • 2:29 - 2:31
    Нека сега разгледаме тази част.
  • 2:31 - 2:33
    Нека помислим върху f от минус 5
  • 2:33 - 2:36
    плюс i/2.
  • 2:37 - 2:38
    Нека да видим.
  • 2:38 - 2:41
    Когато i е равно на 1,
  • 2:41 - 2:44
    ще вземем 1/2 по f от минус 5
  • 2:44 - 2:47
    плюс 1/2.
  • 2:47 - 2:48
    Нали така?
  • 2:48 - 2:49
    i е равно на 1. Тогава минус 5 плюс 1/2
  • 2:49 - 2:50
    ще ни отведе до тази точка
  • 2:50 - 2:51
    ето тук.
  • 2:51 - 2:54
    f от това ще бъде равно на ето това
  • 2:54 - 2:58
    разстояние, т.е. височината ето тук.
  • 2:58 - 3:00
    Това съвпада с твърдението, че това са
  • 3:00 - 3:01
    десни правоъгълници.
  • 3:01 - 3:03
    Това определено съвпада с този случай.
  • 3:03 - 3:04
    Когато i е равно на 1,
  • 3:04 - 3:08
    определено намираме ето това лице
    тук.
  • 3:09 - 3:11
    Когато i е равно на 2 ще се получи
  • 3:11 - 3:13
    минус 5 плюс 2/2.
  • 3:14 - 3:16
    2/2 означава, че ще прибавим 1,
  • 3:16 - 3:18
    т.е. ще стигнем до тази точка.
  • 3:18 - 3:20
    Отново имаме 1/2,
  • 3:20 - 3:22
    което е ето това тук.
  • 3:22 - 3:26
    Това е широчината, умножена по f от
    минус 5
  • 3:26 - 3:28
    плюс 2/2, което е равно на f
  • 3:28 - 3:31
    от минус 4, което е тази височина ето
    тук.
  • 3:31 - 3:33
    И отново, това е ето тази площ.
  • 3:33 - 3:34
    Продължаваме да прилагаме
    формулата.
  • 3:34 - 3:37
    Всеки път, когато изчисляваме
    функцията...
  • 3:38 - 3:40
    За първата фигура имаме минус 5
  • 3:40 - 3:42
    плюс 1/2, а след това с всяко
  • 3:42 - 3:45
    нарастване прибавяме 1/2
  • 3:45 - 3:48
    към дясната страна. Това е един начин
  • 3:48 - 3:49
    да го разглеждаш.
  • 3:49 - 3:51
    Това всъщност има смисъл.
  • 3:51 - 3:53
    Първата формула съвпада с лицето на
    първите осем фигури,
  • 3:53 - 3:55
    така че това действително е вярно.
  • 3:55 - 3:58
    Това е сума от лицата
  • 3:59 - 4:01
    на сините правоъгълници.
  • 4:01 - 4:03
    Нека сега разгледаме тази формула тук.
  • 4:03 - 4:04
    Сумата от лицата на червените
    правоъгълници.
  • 4:05 - 4:07
    На пръв поглед изглежда много
    интересна.
  • 4:07 - 4:10
    Търсим сумата на 16 неща
  • 4:10 - 4:12
    и действително имаме 16 неща
  • 4:12 - 4:13
    ето тук.
  • 4:13 - 4:15
    Имаме широчината на всяко от тези
  • 4:15 - 4:18
    16 неща, или за всяко от тези неща
  • 4:18 - 4:20
    искаме да намерим лицето.
  • 4:20 - 4:22
    Действително е вярно, че всеки
  • 4:22 - 4:24
    от тези правоъгълници има широчина 1/2.
  • 4:24 - 4:26
    Какво обаче се случва, когато търсим
  • 4:26 - 4:29
    f от минус 1 плюс i/2?
  • 4:29 - 4:32
    Започваме ето тук,
  • 4:32 - 4:34
    в точката минус 1.
  • 4:34 - 4:36
    Минус 1 плюс i/2.
  • 4:36 - 4:37
    Когато i е равно на 1
  • 4:37 - 4:38
    се намираме в тази точка ето тук,
  • 4:39 - 4:41
    а f от това ще бъде...
  • 4:41 - 4:42
    Може да кажеш "Хей, няма ли това
  • 4:42 - 4:43
    да бъде височината на този
    правоъгълник?
  • 4:43 - 4:45
    Когато i е равно на 2, няма ли да бъде
  • 4:45 - 4:46
    това височината на този правоъгълник?
  • 4:46 - 4:48
    А когато i е равно на 3, няма ли това
  • 4:48 - 4:49
    да бъде височината на този
    правоъгълник?".
  • 4:50 - 4:53
    Тук е мястото, къде следва да сме
    много внимателни.
  • 4:53 - 4:54
    Ще имат еднаква
  • 4:54 - 4:57
    абсолютна стойност, но всички тези
  • 4:57 - 4:59
    ще бъдат отрицателни стойности.
  • 5:00 - 5:03
    Всички тези стойности ще бъдат
    отрицателни,
  • 5:03 - 5:08
    защото се намираме след ето тази
    стойност
  • 5:08 - 5:10
    на функцията.
  • 5:10 - 5:14
    Изглежда, че стойностите ва функцията
    от минус 1/2 през цялото разстояние до 7
  • 5:14 - 5:16
    всъщност са отрицателни.
  • 5:16 - 5:17
    Един начин да мислиш за това,
  • 5:17 - 5:18
    е, че, ако имаш отрицателна височина,
    то когато
  • 5:18 - 5:20
    умножаваш тези две числа,
  • 5:20 - 5:21
    ще получиш отрицателно число.
  • 5:22 - 5:24
    Тогава целият този израз ще бъде
  • 5:24 - 5:25
    отрицателно число,
  • 5:25 - 5:27
    и всъщност ще получиш отрицателна
    сума
  • 5:27 - 5:29
    от лицата на червените правоъгълници.
  • 5:30 - 5:31
    Това обаче не е същото като
  • 5:31 - 5:32
    сумата от лицата на червените
    правоъгълници.
  • 5:32 - 5:35
    Поне в традиционния смисъл "лице"
  • 5:36 - 5:38
    означава следното. Ако го разглеждаш
    като
  • 5:38 - 5:40
    каква квадратура килим
  • 5:40 - 5:42
    ще ти трябва, за да покриеш този
    участък, то следва
  • 5:42 - 5:43
    това да бъде положителна стойност.
  • 5:43 - 5:45
    Този израз обаче ще бъде
    отрицателната версия
  • 5:45 - 5:46
    на това.
  • 5:46 - 5:47
    Следователно това не е сумата
  • 5:47 - 5:48
    от лицата на червените правоъгълници.
  • 5:48 - 5:51
    Това е отрицателната сума от лицата
    на червените
  • 5:51 - 5:53
    правоъгълници. Следователно
    изключваме този израз.
  • 5:53 - 5:54
    След това имаме този последен избор.
  • 5:54 - 5:56
    Този израз е сумата
  • 5:56 - 5:57
    от лицата на всички правоъгълници.
  • 5:58 - 6:00
    За този израз i е в интервала
  • 6:00 - 6:01
    от 1 до 24.
  • 6:01 - 6:02
    Следователно съдържа 24 неща.
  • 6:03 - 6:06
    Започва ето тук и просто продължава
    така.
  • 6:06 - 6:08
    Ако определим тук i да е равно
    от 1 до 8,
  • 6:08 - 6:10
    то този израз ще бъде равен на първия
    избор.
  • 6:11 - 6:12
    Но тук отново възниква проблемът,
  • 6:12 - 6:14
    че веднъж, когато стигнем или
    преминем
  • 6:14 - 6:17
    стойността i равно на 9, този израз тук
  • 6:18 - 6:19
    ще стане отрицателен
  • 6:19 - 6:21
    и ще ни даде отрицателната площ.
  • 6:21 - 6:22
    Следователно ще се получи просто
    разликата
  • 6:22 - 6:24
    между тази положителна площ тук и
    тази отрицателна
  • 6:24 - 6:26
    площ ето тук.
  • 6:26 - 6:28
    Тогава този израз не е сумата от лицата
  • 6:28 - 6:29
    на всички правоъгълници.
  • 6:29 - 6:31
    Всъщност ще се получи тази площ
  • 6:31 - 6:34
    минус тази площ ето тук.
Title:
Riemann sums and sigma notation
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:36

Bulgarian subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.