1
00:00:00,775 --> 00:00:02,803
Графиката на функцията F е дадена
по-долу.

2
00:00:02,935 --> 00:00:05,930
Общо 24 десни правоъгълника

3
00:00:05,930 --> 00:00:07,180
са построени.

4
00:00:07,380 --> 00:00:09,400
Какво имат предвид с "десни
правоъгълници"?

5
00:00:09,432 --> 00:00:10,919
Определено тук има 24 правоъгълника.

6
00:00:11,087 --> 00:00:12,108
Можеш да ги преброиш.

7
00:00:12,157 --> 00:00:14,308
Десни правоъгълници означава,

8
00:00:14,308 --> 00:00:16,524
че за всеки от тези правоъгълници
височината

9
00:00:16,524 --> 00:00:19,357
на правоъгълника е дефинирана чрез
стойността

10
00:00:19,357 --> 00:00:21,499
на функцията от дясната страна

11
00:00:21,499 --> 00:00:22,429
на правоъгълника.

12
00:00:22,532 --> 00:00:24,377
Можеш да видиш, че това е дясната
страна

13
00:00:24,377 --> 00:00:26,313
на първия правоъгълник и ако вземеш

14
00:00:26,313 --> 00:00:27,771
стойността на функцията в тази точка,

15
00:00:27,771 --> 00:00:29,748
то това е височината на правоъгълника.

16
00:00:30,166 --> 00:00:33,059
Един "ляв правоъгълник" дефинира

17
00:00:33,059 --> 00:00:34,852
височината на правоъгълника чрез
стойността

18
00:00:34,860 --> 00:00:35,980
на функцията от лявата страна

19
00:00:35,980 --> 00:00:36,960
на правоъгълника.

20
00:00:36,960 --> 00:00:38,300
Височината на един ляв правоъгълник,

21
00:00:38,300 --> 00:00:40,680
например височината на първата
фигура, ще изглежда ето така.

22
00:00:40,800 --> 00:00:41,840
Ето това е, което имат предвид

23
00:00:41,840 --> 00:00:43,140
с термина десен правоъгълник.

24
00:00:43,140 --> 00:00:44,960
Дотук добре. Имаме осем броя в синьо.

25
00:00:45,022 --> 00:00:47,311
Виждаме го. 16 са в червено. Добре!

26
00:00:47,641 --> 00:00:50,847
Всички 24 правоъгълника имат еднаква
широчина.

27
00:00:51,364 --> 00:00:52,780
Кои от долните твърдения

28
00:00:52,780 --> 00:00:54,806
са верни?

29
00:00:55,164 --> 00:00:57,198
Дават ни три израза,

30
00:00:57,198 --> 00:00:59,400
записани с означението сигма.
Дадено е, че

31
00:00:59,400 --> 00:01:00,679
ето този първият, е сумата от

32
00:01:00,679 --> 00:01:02,253
лицата на сините правоъгълници.

33
00:01:02,253 --> 00:01:03,182
Този представлява сумата от лицата

34
00:01:03,182 --> 00:01:04,101
на червените правоъгълници.

35
00:01:04,180 --> 00:01:05,680
А това е сумата от лицата

36
00:01:05,680 --> 00:01:06,880
на всички правоъгълници.

37
00:01:07,100 --> 00:01:09,100
Насърчавам те да спреш

38
00:01:09,110 --> 00:01:11,625
видеото и да се опиташ самостоятелно
да определиш

39
00:01:11,701 --> 00:01:15,242
кои от твърденията са верни.

40
00:01:16,363 --> 00:01:19,354
Добре, предполагам, че вече е
направено това.

41
00:01:19,500 --> 00:01:21,000
Нека разгледаме всеки
от изразите

42
00:01:21,000 --> 00:01:22,720
и да видим дали имат смисъл.

43
00:01:22,886 --> 00:01:24,182
Първият е сумата

44
00:01:24,182 --> 00:01:25,701
от площите на сините правоъгълници.

45
00:01:25,701 --> 00:01:27,385
Знаем, че имаме един, два, три,

46
00:01:27,385 --> 00:01:30,350
четири, пет, шест, седем, осем сини
правоъгълника,

47
00:01:30,960 --> 00:01:32,849
и сумираме от 1 до 8.

48
00:01:32,902 --> 00:01:34,827
Изглежда, че сумираме осем

49
00:01:34,827 --> 00:01:36,177
неща ето тук.

50
00:01:36,177 --> 00:01:39,195
Това е едно, две, три, четири, пет,

51
00:01:39,613 --> 00:01:41,713
шест, седем, осем.

52
00:01:41,926 --> 00:01:43,928
Тогава това ето тук изглежда добре.

53
00:01:44,286 --> 00:01:46,272
И след това намираме f от нещо,

54
00:01:46,272 --> 00:01:47,446
умножено по 1/2.

55
00:01:47,783 --> 00:01:50,595
Дори все още не разглеждаме
графиката.

56
00:01:50,783 --> 00:01:52,339
Изглежда, че това ще бъде височината

57
00:01:52,340 --> 00:01:53,420
на всеки от правоъгълниците.

58
00:01:53,420 --> 00:01:54,960
Припомни си, че вземаме стойността

59
00:01:54,960 --> 00:01:56,300
на функцията от дясната страна

60
00:01:56,300 --> 00:01:57,942
за височина, а ето това ще бъде

61
00:01:57,942 --> 00:01:59,100
широчината.

62
00:01:59,240 --> 00:02:01,160
Вярно ли е, че широчината

63
00:02:01,160 --> 00:02:03,800
на всеки от тези правоъгълници е 1/2?

64
00:02:04,140 --> 00:02:06,834
Пълното разстояние между

65
00:02:06,834 --> 00:02:09,932
x равно на минус 5 и x равно на 7,

66
00:02:10,371 --> 00:02:11,597
е равно на 12.

67
00:02:11,782 --> 00:02:13,784
5 плюс 7 е равно на 12.

68
00:02:14,061 --> 00:02:17,005
Разделяме го на 24 правоъгълника

69
00:02:17,037 --> 00:02:18,094
с еднаква широчина.

70
00:02:18,182 --> 00:02:20,521
Ако разделиш 12 на 24,

71
00:02:20,521 --> 00:02:24,820
то всеки един правоъгълник ще има
широчина

72
00:02:24,960 --> 00:02:26,300
от 1/2.

73
00:02:26,581 --> 00:02:28,893
Отбелязваме, че 1/2 е вярно.

74
00:02:28,893 --> 00:02:30,830
Нека сега разгледаме тази част.

75
00:02:30,999 --> 00:02:33,150
Нека помислим върху f от минус 5

76
00:02:33,150 --> 00:02:36,103
плюс i/2.

77
00:02:36,522 --> 00:02:38,172
Нека да видим.

78
00:02:38,172 --> 00:02:41,186
Когато i е равно на 1,

79
00:02:41,186 --> 00:02:43,518
ще вземем 1/2 по f от минус 5

80
00:02:43,572 --> 00:02:46,541
плюс 1/2.

81
00:02:46,720 --> 00:02:47,520
Нали така?

82
00:02:47,520 --> 00:02:49,400
i е равно на 1. Тогава минус 5 плюс 1/2

83
00:02:49,400 --> 00:02:50,280
ще ни отведе до тази точка

84
00:02:50,280 --> 00:02:51,080
ето тук.

85
00:02:51,216 --> 00:02:54,492
f от това ще бъде равно на ето това

86
00:02:54,492 --> 00:02:57,539
разстояние, т.е. височината ето тук.

87
00:02:57,993 --> 00:02:59,606
Това съвпада с твърдението, че това са

88
00:02:59,606 --> 00:03:00,850
десни правоъгълници.

89
00:03:01,305 --> 00:03:02,897
Това определено съвпада с този случай.

90
00:03:02,897 --> 00:03:03,904
Когато i е равно на 1,

91
00:03:03,904 --> 00:03:08,381
определено намираме ето това лице
тук.

92
00:03:08,954 --> 00:03:10,753
Когато i е равно на 2 ще се получи

93
00:03:10,753 --> 00:03:13,499
минус 5 плюс 2/2.

94
00:03:13,977 --> 00:03:15,612
2/2 означава, че ще прибавим 1,

95
00:03:15,612 --> 00:03:17,549
т.е. ще стигнем до тази точка.

96
00:03:17,745 --> 00:03:19,761
Отново имаме 1/2,

97
00:03:19,761 --> 00:03:21,903
което е ето това тук.

98
00:03:22,154 --> 00:03:26,130
Това е широчината, умножена по f от
минус 5

99
00:03:26,130 --> 00:03:27,967
плюс 2/2, което е равно на f

100
00:03:27,967 --> 00:03:30,786
от минус 4, което е тази височина ето
тук.

101
00:03:30,801 --> 00:03:32,532
И отново, това е ето тази площ.

102
00:03:32,593 --> 00:03:33,790
Продължаваме да прилагаме
формулата.

103
00:03:33,800 --> 00:03:36,920
Всеки път, когато изчисляваме
функцията...

104
00:03:37,580 --> 00:03:39,774
За първата фигура имаме минус 5

105
00:03:39,774 --> 00:03:42,322
плюс 1/2, а след това с всяко

106
00:03:42,322 --> 00:03:45,030
нарастване прибавяме 1/2

107
00:03:45,030 --> 00:03:47,620
към дясната страна. Това е един начин

108
00:03:47,620 --> 00:03:48,840
да го разглеждаш.

109
00:03:48,840 --> 00:03:50,545
Това всъщност има смисъл.

110
00:03:50,545 --> 00:03:52,580
Първата формула съвпада с лицето на
първите осем фигури,

111
00:03:52,580 --> 00:03:55,240
така че това действително е вярно.

112
00:03:55,324 --> 00:03:58,188
Това е сума от лицата

113
00:03:58,869 --> 00:04:00,600
на сините правоъгълници.

114
00:04:01,406 --> 00:04:02,833
Нека сега разгледаме тази формула тук.

115
00:04:02,847 --> 00:04:04,416
Сумата от лицата на червените
правоъгълници.

116
00:04:04,958 --> 00:04:06,762
На пръв поглед изглежда много
интересна.

117
00:04:07,354 --> 00:04:09,753
Търсим сумата на 16 неща

118
00:04:09,929 --> 00:04:11,740
и действително имаме 16 неща

119
00:04:11,836 --> 00:04:12,740
ето тук.

120
00:04:13,069 --> 00:04:15,401
Имаме широчината на всяко от тези

121
00:04:15,435 --> 00:04:18,472
16 неща, или за всяко от тези неща

122
00:04:18,472 --> 00:04:19,713
искаме да намерим лицето.

123
00:04:19,808 --> 00:04:21,660
Действително е вярно, че всеки

124
00:04:21,660 --> 00:04:23,904
от тези правоъгълници има широчина 1/2.

125
00:04:24,253 --> 00:04:25,872
Какво обаче се случва, когато търсим

126
00:04:25,872 --> 00:04:28,512
f от минус 1 плюс i/2?

127
00:04:28,797 --> 00:04:32,261
Започваме ето тук,

128
00:04:32,261 --> 00:04:33,802
в точката минус 1.

129
00:04:34,269 --> 00:04:35,983
Минус 1 плюс i/2.

130
00:04:35,983 --> 00:04:36,968
Когато i е равно на 1

131
00:04:36,968 --> 00:04:38,428
се намираме в тази точка ето тук,

132
00:04:38,660 --> 00:04:40,880
а f от това ще бъде...

133
00:04:40,980 --> 00:04:42,260
Може да кажеш "Хей, няма ли това

134
00:04:42,260 --> 00:04:43,420
да бъде височината на този
правоъгълник?

135
00:04:43,420 --> 00:04:44,820
Когато i е равно на 2, няма ли да бъде

136
00:04:44,820 --> 00:04:46,120
това височината на този правоъгълник?

137
00:04:46,120 --> 00:04:47,740
А когато i е равно на 3, няма ли това

138
00:04:47,740 --> 00:04:49,440
да бъде височината на този
правоъгълник?".

139
00:04:49,560 --> 00:04:52,560
Тук е мястото, къде следва да сме
много внимателни.

140
00:04:52,680 --> 00:04:54,340
Ще имат еднаква

141
00:04:54,352 --> 00:04:56,612
абсолютна стойност, но всички тези

142
00:04:56,620 --> 00:04:59,480
ще бъдат отрицателни стойности.

143
00:04:59,680 --> 00:05:03,120
Всички тези стойности ще бъдат
отрицателни,

144
00:05:03,160 --> 00:05:08,160
защото се намираме след ето тази
стойност

145
00:05:08,340 --> 00:05:09,880
на функцията.

146
00:05:09,900 --> 00:05:14,140
Изглежда, че стойностите ва функцията
от минус 1/2 през цялото разстояние до 7

147
00:05:14,280 --> 00:05:15,600
всъщност са отрицателни.

148
00:05:15,994 --> 00:05:17,029
Един начин да мислиш за това,

149
00:05:17,029 --> 00:05:18,422
е, че, ако имаш отрицателна височина,
то когато

150
00:05:18,422 --> 00:05:19,972
умножаваш тези две числа,

151
00:05:19,972 --> 00:05:21,215
ще получиш отрицателно число.

152
00:05:21,660 --> 00:05:23,541
Тогава целият този израз ще бъде

153
00:05:23,541 --> 00:05:25,412
отрицателно число,

154
00:05:25,412 --> 00:05:27,484
и всъщност ще получиш отрицателна
сума

155
00:05:27,484 --> 00:05:29,359
от лицата на червените правоъгълници.

156
00:05:29,520 --> 00:05:30,640
Това обаче не е същото като

157
00:05:30,640 --> 00:05:32,340
сумата от лицата на червените
правоъгълници.

158
00:05:32,340 --> 00:05:35,460
Поне в традиционния смисъл "лице"

159
00:05:35,610 --> 00:05:38,066
означава следното. Ако го разглеждаш
като

160
00:05:38,066 --> 00:05:39,793
каква квадратура килим

161
00:05:39,793 --> 00:05:41,882
ще ти трябва, за да покриеш този
участък, то следва

162
00:05:41,882 --> 00:05:43,278
това да бъде положителна стойност.

163
00:05:43,339 --> 00:05:44,778
Този израз обаче ще бъде
отрицателната версия

164
00:05:44,780 --> 00:05:45,720
на това.

165
00:05:45,720 --> 00:05:46,880
Следователно това не е сумата

166
00:05:46,880 --> 00:05:47,960
от лицата на червените правоъгълници.

167
00:05:47,965 --> 00:05:50,574
Това е отрицателната сума от лицата
на червените

168
00:05:50,580 --> 00:05:52,560
правоъгълници. Следователно
изключваме този израз.

169
00:05:53,160 --> 00:05:54,260
След това имаме този последен избор.

170
00:05:54,468 --> 00:05:55,630
Този израз е сумата

171
00:05:55,630 --> 00:05:57,090
от лицата на всички правоъгълници.

172
00:05:57,573 --> 00:06:00,193
За този израз i е в интервала

173
00:06:00,193 --> 00:06:01,110
от 1 до 24.

174
00:06:01,110 --> 00:06:02,373
Следователно съдържа 24 неща.

175
00:06:02,549 --> 00:06:05,505
Започва ето тук и просто продължава
така.

176
00:06:05,789 --> 00:06:08,086
Ако определим тук i да е равно
от 1 до 8,

177
00:06:08,086 --> 00:06:10,246
то този израз ще бъде равен на първия
избор.

178
00:06:10,604 --> 00:06:12,036
Но тук отново възниква проблемът,

179
00:06:12,036 --> 00:06:14,058
че веднъж, когато стигнем или
преминем

180
00:06:14,058 --> 00:06:17,464
стойността i равно на 9, този израз тук

181
00:06:17,693 --> 00:06:19,233
ще стане отрицателен

182
00:06:19,233 --> 00:06:20,551
и ще ни даде отрицателната площ.

183
00:06:20,781 --> 00:06:22,031
Следователно ще се получи просто
разликата

184
00:06:22,031 --> 00:06:24,299
между тази положителна площ тук и
тази отрицателна

185
00:06:24,299 --> 00:06:26,082
площ ето тук.

186
00:06:26,260 --> 00:06:28,104
Тогава този израз не е сумата от лицата

187
00:06:28,104 --> 00:06:29,053
на всички правоъгълници.

188
00:06:29,139 --> 00:06:30,536
Всъщност ще се получи тази площ

189
00:06:30,750 --> 00:06:34,244
минус тази площ ето тук.