线性代数：直线的参数方程

在 R2 和 R3 中用参数方程表示直线

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可汗学院线性代数：你是否曾经问过自己，速率和速度到底有什么不同？你是否曾经想要画出四维空间，甚至六维、七维？线性代数在二维空间中描述各种东西，但其中很多的概念可以扩展到三维、四维或更高维空间。线性代数表达了二维的数学推理，然而，线性代数所涵盖的概念，为数学推理的多维表达提供了基础。矩阵、向量、向量空间、变换、特征向量/特征值这些概念都会帮助我们理解多维概念。这是一门进阶课程，通常理学和工学专业的同学在学完两个学期微积分后，才会接触到（尽管学会微积分不是学这门课程的先决条件），所以不要将本课和通常的高中代数相混淆。

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我们已经学习了一些线性代数的知识

你可能会想

有些你已经学过的方法

使用起来令人头疼

你已经学习过向量

我猜有些人已经在

微积分课程或者微积分预备课程上

接触过向量

在本节课中我希望用

你从来没见过的方法

处理线性代数中的问题

如果你没有看过这个视频的话

接受起来将会有些困难

下面开始讲解

如何用不同的方法

解决已经学过的东西

我先定义一些向量

我不把它们加粗

而是在头顶上画一个箭头

定义向量――

我可以在上方加一个箭头

也可以将它加粗

我要在平面上

定义向量

假设定义列向量 [2,1]

如果把它画在标准位置

它就像这样

向右 2 个单位 向上 1 个单位

这就是向量 v

我还要问

我们能够建立的所有向量是什么？

我来定义一个集合

定义集合 S 它表示――

我可能建立的所有向量

如果我用某个常数乘以 v

也就是用一个标量

乘以向量 v

我应该写得规范一些

其中 c 是实数

那么如何用图像表示这个集合呢？

如果把它们画在标准位置

c 是任意的实数

如果做乘法 可令 c=2

如果 c=2 我这么来做

我用 2 乘以向量 v

得到向量 [4,2]

我把它画标准位置

它在这里

就是这个向量

它与第一个向量共线

它们在一条直线上

只是长了一倍

我还可以再做一个向量

比如 1.5v

换一种颜色

它是多少呢？

1.5*2 等于 3 从而就是 [3,1.5]

这个向量在哪里呢？

向上 1.5 个单位 向右 3 个单位

就到了这一点

我可以对向量乘以任何数

可以用 1.4999 乘以 v

端点就在这里

也可以 0.0001v

我写下来

我可以做 0.0001v

结果如何呢？

得到的向量非常小 就在这里

如果乘以 -0.01

就得到反方向的

非常小的向量

如果乘以 -10

就得到了这个方向的向量

走势就像这样

你可以推想

如果把所有的向量画在坐标系中

我可以用任何实数 c

来表示它们

我会得到――

我最终会得到一堆向量

它们箭头所指的方向

都沿着这条直线

也包括负方向――

我确认一下画得是否合理――

沿着这条直线

我想你应该明白我的意思

这是共线的向量的集合

我写下来

如果把它们看做位置向量

那么这个向量就代表平面上的一点――

平面空间 R2

就是所谓的笛卡尔平面――

如果把这个向量看做位置向量――

我写下来――

如果把它看做 R2 中坐标

那么对于这个集合

如果把它看做是位置向量的集合

它就代表这一整条直线

这是我要强调的一点

因为它是斜率为 2 的直线

对吗？

抱歉 斜率为 1/2

向上 1 个单位

向右 2 个单位

我不想用代数 1 课程中

所使用的记号

但我要在这个过原点的斜率为 2 的直线上

取一个点

如果要用标准形式写出

集合所表示的向量

或者说如果把它们看做位置向量

如果没有作解释

也没有限制条件

我可以把它画在任何位置吗？

因为这是向量 [4,2]

我可以把它画在这

可以说它与原向量是共线的

虽然看起来不是那么明显

但是如果你把它

用标准形式画出

那么共线就是一目了然的了

即所有的向量从原点出发

它们的尾巴在原点上

头部向外延伸

直到终点

这就是我所说的位置向量

它们不必须是位置向量

但是在我们的视频中

我们还是默认向量都是位置向量

现在我可以只用向量表示了

过原点的斜率固定的直线

你大概能看出来

这个向量表示了直线的斜率

可以把它看做是斜率向量

你可以将它

与代数 1 课程中的内容结合

那么如何表示

斜率相同的其他直线呢？

如何表示

与之平行的直线――

它经过一点

即点 (2,4)

我们用位置向量考虑

这一点可以用向量来表示

令它为 x

用向量 x 表示它

向量 x 等于 [2,4]

就是这个点

如何表示与原直线平行

且经过点 (2,4) 的直线呢？

即我要表示的是这条直线

我尽可能画的平行

我想你能明白我的意思

它就是沿着这个方向延伸

两条直线是平行的

如何用集合表示所有这些

以标准形式写出的向量

或者说对于所有的向量

如果它们是以标准形式写出的

如何表示出这条直线？

你可以这么来想

如果每一个向量都表示这条直线

如果从这条直线上的任一个向量出发

将其加上向量 x

我就会在这条直线上得到

我想要的相应的点

对吗？

比如说用 -2 乘以原向量

即用 -2 乘以 v 等于什么？

得到结果 [-4,-2]

但是如果再加上 x

如果再加上向量 x

用 -2 乘以向量 v

再加上 x

即加上向量 [2,4]

从这里向右 2 个单位 向上 4 个单位

到了这里

形象地说 就是首尾相接

最后走到这

最后的重点是这里

当定义集合 S

为所有点的集合

这些点是用标量乘以 v 得到的

我们得到了过原点的直线

现在我定义另一个集合

定义集合 L 也许代表直线

它是一些向量的结合

其中向量 x

我可以把它加粗 或者在上面加个箭头

加上一个标量――可以用 c

但这里我使用 t

因为这是一种

直线的参数化方法――

加上一个标量 t 乘以向量 v

这里 t 可以是任意实数

这是什么呢？

它将是这条蓝色的直线

如果我把向量画在

标准位置的话

就得到了蓝色的直线

例如 取 t=-2

乘以向量 v 就到了这里

再加上 x 又到了这里

所以这里的这个向量

其终点在这――

其终点在那条直线上

这总可以做到

如果取这个向量

这是一个标量乘以向量 v

再加上 x 最终得到这个向量

如果将它看做位置向量

它的终点决定了 xy 平面上的一些坐标

【听不清】

因此我可以得到任何向量

这是一个向量的集合

所有这些向量都指向――

它们本质上具有方向性――

当我用标准形式画出它们时

如果用标准形式画出――

它们将指向蓝色直线上的一点

这时你可能会说

这样定义直线有些繁琐

在代数 1 课程中是这样定义直线的

即 y=mx+b

从中可以由两点之间的关系

得到斜率

还有可以做一些替换

这些内容都是七到八年级学习的内容

这些内容很简单

为什么我要定义这个复杂的集合

并要求大家用集合和向量

的方式思考问题？

原因在于 这样具有一般性

这种方法在平面 R2 中很有效

在 R2 中它很好用

我们只需考虑 x 坐标和 y 坐标

但是对于这种情形

注意到在代数课上

老师并没有讲得很深

至少在 I 中是这样的

老师没有讲如何在三维空间中表示直线

也许有些课中讲到了

但是其中没有告诉你

如何在四维空间 甚至一百维空间中

表示直线

这就是我们要研究的

在这里 我定义了 R2 中的向量 x 和 v

它们是二维向量

但是我们可以把它们扩充成任意维数的

现在说到关键了

我们再举几个 R2 空间中的例子

这是经典的代数问题

即求出直线的方程

但在这里 我们称之为

直线的集合定义

假设有两个向量

已知向量 a 把它定义成――

比如说是 [2,1]

把它写作标准形式就是 [2,1]

这是向量 a

又已知向量 b 定义向量 b

把它定义为

假设是 [0,3]

这是向量 b――

不用向右移 只需向上即可

向量 b 就像这样

它们都是位置向量

都是标准形式

当把它们写成标准形式时

向量的终点就表示位置

所以也可以把它们看做是 R2 中的点

这是 R2

这些都是 R2 中的坐标轴

现在我让你求

过这两点的直线的

参数化形式

本质上就是求方程――

联系代数 1 课程中的知识――

我就是要求过这两点的

直线的方程

经典的方法是

需要求出斜率这些量

然后代回原式

但是用本节课的方法

过这两点的直线――

可以说两个向量――

这两个向量都在这条直线上

那么什么向量可以表示这条直线呢？

更确切地说 哪个向量……

如果任取一个标量――

哪个向量可以表示直线上的任意向量

我这么来做

如果我取―― 这个向量 b――

如果取 b-a

我们在之前的视频中学过

b-a 就在这里

得到两个向量之差

这是向量 b 减去向量 a

思考一下

需要对 a 加上多少才能得到 b？

要加上 b-a

如果得到向量 b-a――

我们知道怎么做

就是两个向量相减

然后乘以任意一个标量

从而就能得到直线上的任一点

我们要仔细一些

如果对取标量 t

乘以向量 b-a

能得到什么？

b-a 就像这样

如果把它写成标准形式――

注意是标准形式

b-a 就像这样

对吗？

它从 0 出发 与这个向量平行

从 0 开始 到终点结束

如果用某个标量乘以 b-a

我们会得到在这条直线上的

点或者向量

而原向量在另一条直线上

这不是我们的最终目的

我们要得到这条直线方程

或者说对其参数化

令这个集合为 L

我们想知道另一个集合等于什么

要知道结果 我们要从这里出发

就是这条直线 我们要将它平移

我们可以直接将它向上平移

也可以加上一个向量 b

可以取这条直线

将它加上向量 b

从而这里的任何点

在那都有一个对应的点

当加上向量 b 时 实质上就是做平移

这行的通

我们可以加上向量 b

现在所有这些向量 对于任意的――

t 是一个实数

这些向量都会落在绿色的直线上

另一种选择是

可以加上向量 a

向量 a 能取到这里的任何点

并进行这样的平移 对吗？

可以加上向量 a

不论哪个方法

都会得到要求的绿色的直线

所以可以定义它为

向量 a 加上这条直线构成的集合

事实上是 t b-a

其中 t 是实数

因此所求直线的定义就是

二者之一

所求直线可以表示成这个集合

也可以表示成这个集合

这些看起来有些抽象

当代入具体数值处理时

就会变得很简单

它比代数 1 课程中的方法简单多了

固定 a 和 b 对于这个集合 L

我们把它写出来

所求直线等于―― 我用第一个例子

这个是向量 b 它是 [0,3] 加上

t 乘以 (b-a)

b-a 是多少？

0-2 等于 2，3-1等于2

t 是一个实数

如果对于这个集合

你看起来还是很晕

我可以将它写成

便于理解的形式

下面要描点 称这个是 y 轴

这个是 x 轴

称这个 x 坐标

这个也是 x 坐标

这个是 y 坐标

然后建立方程

这个是 x 方向上的距离

这个是 x 坐标 这个是 y 坐标

事实上 无论如何――

这里我们要仔细一些

这里最终会得到

某个向量 [l1,l2]

对吗？

这是一个向量的集合

集合中的任何成员

都像这样

将它设为 Li

这个是 x 坐标

这个是 y 坐标

我要把它化作便于理解的形式

这个 l 就是

x+t(b-a) 构成的集合

如果要写成参数的形式

我们可以说

这一项决定了 x 坐标

我们推出 x=0+t*(-2)

或者说 -2 倍的 t

然后是 y 坐标

这一项决定了 y 坐标

y 等于 3+2t

我们重新写出这个方程

其中 x=-2t

并且 y=2t+3

如果你看了关于参数方程的视频

这个就是关于这条直线的

习惯的参数定义

现在你也许还认为

这么做是浪费时间 使问题复杂化了

你需要定义这些集合等所有的量

但现在我要介绍一些――

除非你以前见到过

我认为这是有用的

在之前的代数课上

你可能没有学过

假设有两个点

要在三维空间中处理

已知一个向量

称其为点 1

因为这些是位置向量

所以就称它为位置 1

这是在三维空间中

取一些数值 比如 -1 2 7

又已知点 2

还是在三维空间中

所以要具体指定三个坐标轴

它们是 x轴 y轴 z轴

随机取点 2

比如 0 3 4

现在要确定 R3 中

过这两点的直线的方程

这是在 R3 中

我之前说过这条直线的方程――

我要称这条直线 或者是它的集合

称之为 L

它等于――

我们先选一个点 比如 P1

向量 P1 要注意这些都是向量

向量 P1 加上随机的参数 t

t 可以是时间

就像第一次学习参数方程时

要乘以两个向量的差

乘以 P1 顺序先后没有关系

这很完美

P1 减 P2

也可以是 P2 减 P1――

因为它可以取任何正值或负值――

其中 t 是实数

我们代入这些数

将它们代进去

P1-P2 是多少？

P1-P2 等于―― 我需要一些空间

P1-P2 等于 -1-0 等于 -1

2-3 等于 -1

7-4 等于 3

结果就是这个向量

从而所求直线可以用向量的集合来描述

如果在标准位置作图

就会是这个位置向量的集合

结果是 P1―― 我来换成绿色――

会是 [-1,2,7]

这里也可以用 P2 同样很简单――

再加上 t*[-1,-1,3]

其中 t 是实数

现在的结果还不能令我们满意

如何在三维空间中把它画出来呢？

x轴 y轴 z轴在哪里？

如果要考虑 x轴 y轴 z轴

假设这是 z 轴

这是 x 轴 这是 y 轴

y 轴穿过黑板

从这穿出来

现在怎么做

我大概不用画

x 坐标是由方程决定的

按照惯例

x 轴的部分是这几项

我们可以写出 x―― 我写下来

这几项决定了 x 坐标

写出 x=-1――

我要注意颜色――

加上 -1*t

这是 x 坐标

y 坐标是由

这部分向量决定的

因为这些是 y 坐标

我们就知道 y 坐标等于――

我这样写――

即 2+(-1)*t

最后

z 坐标由这项决定

还是有 t，t 乘 3――

我可以把 t 代入每一项

所以 z 坐标等于 7 加上 t 乘 3

或者说加上 3t

我们得到了三个参数方程

当我们在 R2 中处理时 我得到了参数方程

而我们在代数 1 课程中学过

可以用 x 表示 u

不用非要得到参数方程

但是在 R3 中处理问题时

定义直线的唯一方法

就是使用参数方程

如果有关于 x y 和 z 的方程

如果已知 x+y+z 等于某个数值

这不是一条直线

关于这点我们会再讨论

它其实是一个平面

在三维空间中

定义曲线的唯一方法

如果要描述苍蝇在三维空间中的

飞行轨迹

就需要用参数方程

设想在三维空间中发射一颗子弹

它沿直线飞行

也要用参数方程来描述

对于这些―― 我猜你可以说出它――

它们是表示三维空间中的直线的方程

希望你觉得它有趣

我相信在这个视频中

你会领略到

之前没有见过的

用线性代数解决问题的新方法

我们不应只停留在三维

这里的三个坐标

我们同样可以处理 50 维的问题

我们可以定义 50 维空间中的直线――

或者以向量的集合形式表示的直线

那两个点也可以是在 50 维空间中――

这个不容易想象

但是数学上是可操作的