Calculating dot and cross products with unit vector notation
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0:00 - 0:02到现在为止
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0:02 - 0:04我告诉大家的关于点乘和叉乘的
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0:04 - 0:06只是作为定义 用向量长度乘以
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0:06 - 0:08夹角余弦
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0:08 - 0:10或者正弦
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0:10 - 0:13但是如果题目给条件不是直观的向量呢？
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0:13 - 0:14如果题目件没有给出夹角θ呢？
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0:14 - 0:17这时应该怎样计算点乘和叉乘呢？
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0:17 - 0:19好吧 我先给出
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0:19 - 0:20之前介绍过的各自的定义式
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0:20 - 0:27假设a点乘b
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0:27 - 0:31要用a的模乘b的模再
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0:31 - 0:33乘以夹角余弦
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0:33 - 0:38a x b将等于
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0:38 - 0:42a的模乘以b的模再
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0:42 - 0:44乘以夹角正弦
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0:44 - 0:47所以它们的垂直投影-
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0:47 - 0:49再乘以
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0:49 - 0:51跟两向量都正交的单位法向量
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0:51 - 0:53至于这个
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0:53 - 0:55单位法向量的方向
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0:55 - 0:56你可以用右手定则知道
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0:56 - 1:00但如果我们没有θ值
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1:00 - 1:02没有向量夹角怎么办呢？
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1:02 - 1:08如果只告诉你向量a
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1:08 - 1:10而且是向量a的工程表示符号 要怎么办呢？
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1:10 - 1:12工程表示符号就是
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1:12 - 1:14把向量 用其在x y z方向
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1:14 - 1:16分解以后得到的三个分量大小来表示
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1:16 - 1:22假设a是5i（式子未完）--
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1:22 - 1:25i就是在x方向的单位向量
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1:25 - 1:33a是5i-6j+3k
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1:34 - 1:37i j k是x y z方向上的
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1:37 - 1:38单位向量
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1:38 - 1:415是x方向上a的长度
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1:41 - 1:43-6是y方向的分量
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1:43 - 1:463是z方向的分量
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1:46 - 1:47其实可以画图表示
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1:47 - 1:49实际上我正在找一个图形计算器
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1:49 - 1:51借助它我就可以给大家在视频里展示各种图形了
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1:51 - 1:52让大家有更直观的感觉
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1:52 - 1:54好 假设这就是大家得到的所有的有用条件
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1:54 - 2:00至于b 我再编几个数
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2:00 - 2:03b是-2i（未完）
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2:03 - 2:06当然现在这些都是在三维空间内讨论的
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2:14 - 2:16你可以自己画图看一下
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2:16 - 2:18显然 如果这就是你得到的问题
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2:18 - 2:22并且你要是在电脑仿真中
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2:22 - 2:23模拟这些向量
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2:23 - 2:24你应该会这么做：
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2:24 - 2:25你会把向量分解成x y z三个分量
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2:25 - 2:27因为如果要是做向量相加运算
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2:27 - 2:29只需要分别把各分量相加即可
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2:29 - 2:30但如果要做叉乘或点乘的话
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2:30 - 2:32要怎么相乘呢？
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2:32 - 2:35在这里我不给大家证明原理
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2:35 - 2:36只是告诉大家怎么做
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2:36 - 2:38点乘非常简单
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2:38 - 2:39如果向量是用这种方式给的
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2:39 - 2:41其实还有另一种书写方法
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2:41 - 2:43还可以写在括号里
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2:43 - 2:47有时候可以把这写成（5，-6，3）
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2:47 - 2:50只是在x y z方向内分量的长度
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2:50 - 2:51只是想让大家
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2:51 - 2:54熟悉所有这些表示方法
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2:54 - 2:58你可以把b写成（-2，7，4）
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2:58 - 2:58表示的向量都是一样的
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2:58 - 3:00看到其中任何一种你都不应该不认识
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3:00 - 3:06好吧 a点乘b到底要怎么做呢？
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3:08 - 3:11这个方法我相信大家肯定会喜欢的
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3:11 - 3:15你需要做的就是 把两者i分量长度相乘
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3:15 - 3:17加上两者j分量相乘
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3:17 - 3:20再加两者k分量相乘
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3:20 - 3:26所以应该是5乘以-2
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3:26 - 3:38加上-6乘以7加上3乘以4
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3:38 - 3:45等于-10-42+12
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3:45 - 3:52等于-52+12 即-40
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3:52 - 3:54这就是结果 只是一个数字而已
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3:54 - 3:57其实我很想在三维画图器上画画
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3:57 - 4:01看看为什么最后等于-40
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4:01 - 4:03a b一定是反向的
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4:03 - 4:05它们各自在对方上的射影
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4:05 - 4:06是相反的
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4:06 - 4:10所以我们最后得到一个负数
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4:10 - 4:12我们这么做
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4:12 - 4:14是因为我也不想太直观
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4:14 - 4:15这就是点乘的计算方法
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4:15 - 4:16非常简单
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4:16 - 4:18仅仅把x方向分量乘起来
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4:18 - 4:21加上y分量乘积
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4:21 - 4:24再加上所有z分量乘积
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4:24 - 4:26所以每当题给条件是工程表示符号
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4:26 - 4:28而我要做点乘时
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4:28 - 4:34这个方法非常好用 而且不容易犯错
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4:34 - 4:35但是 接下来你会看到
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4:35 - 4:38求这种形式的向量的叉乘积
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4:38 - 4:41将比较麻烦
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4:41 - 4:42当然了 对于点乘
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4:42 - 4:43还有其他做法
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4:43 - 4:44你可以求出
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4:44 - 4:46每个向量的模
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4:46 - 4:50然后用三角学的知识
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4:50 - 4:52求出θ 使用点乘定义式来计算
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4:52 - 4:56说到这我相信你会认为
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4:56 - 4:58第一种方法是相对更简单的
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4:58 - 4:59所以做点乘是没什么难的
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4:59 - 5:01现在来看如何做叉乘
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5:01 - 5:05重申一下 这里我不进行证明
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5:05 - 5:06只是向大家介绍方法
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5:06 - 5:07在以后的视频里
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5:07 - 5:10我相信大家总会让我证明的
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5:10 - 5:11那时候我会给出证明
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5:11 - 5:15但是叉乘确实是更复杂一些
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5:15 - 5:18并且我也从不希望用这种工程符号表示
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5:18 - 5:20来做叉乘（太麻烦了）
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5:20 - 5:24a x b就等于
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5:24 - 5:27这时候要用到矩阵的知识了
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5:27 - 5:31你需要取行列式
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5:31 - 5:33先画一条长行列式线
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5:33 - 5:34在行列式的顶端-
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5:34 - 5:37介绍这种方法只是让你记住怎么做
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5:37 - 5:39没有给很出直观的解释为什么要这么做
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5:39 - 5:41不过在叉乘的实际定义中直观概念已经给出了
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5:41 - 5:44那就是向量的哪部分是跟另一个正交的
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5:44 - 5:45将这两部分相乘
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5:45 - 5:47这时右手定则来决定
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5:47 - 5:48向量指向的方向
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5:48 - 5:52如果给出的是工程表示
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5:52 - 5:55在行列式第一行写 i j k这三个单位向量
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5:58 - 6:02然后写叉乘中第一个向量
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6:02 - 6:04因为对叉乘来说向量顺序是不能变的
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6:04 - 6:09所以第二行是 5 -6 3
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6:09 - 6:12然后写第二个向量b
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6:12 - 6:17所以第三行是 -2 7 4
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6:17 - 6:20接下来要对这个3x3矩阵取行列式
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6:20 - 6:21应该怎么做呢？
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6:21 - 6:26等于i的子行列式（即余子式）（未完）
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6:26 - 6:27要求i的余子式
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6:27 - 6:29去掉i所在的行和列
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6:29 - 6:31行列式剩下的部分就是i的余子式
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6:31 - 6:39-6 3 7 4（如视频所示）行列式乘i
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6:39 - 6:41说到这如果你记不清如何做行列式运算
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6:41 - 6:43最好复习一下行列式部分的知识
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6:43 - 6:48看接下来的运算应该可以唤起你的学习记忆
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6:48 - 6:51三个子行列式前的符号 是+ - +
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6:51 - 6:54所以j的余子式符号是-
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6:54 - 6:55那j的余子式是什么呢
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6:55 - 6:58去掉j所在的行和列
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6:58 - 7:01就得到了5 3 -2 4（如视频所示）
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7:05 - 7:08先去掉j所在的行与列
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7:08 - 7:09不管剩下什么
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7:09 - 7:12这就是j的余子式中的数字
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7:12 - 7:13我这么称呼
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7:13 - 7:18j 然后+ 我想把这些都写在一行里
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7:18 - 7:19看起来会整齐一点
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7:19 - 7:21加k的余子式
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7:21 - 7:23去掉k所在的行和列
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7:23 - 7:35剩下的是5 -6 -2 7（如视频所示） 乘以k
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7:35 - 7:37现在来计算一下
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7:37 - 7:39先腾一些运算空间出来
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7:39 - 7:41这些写的太大了
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7:41 - 7:43现在不需要这些了 擦掉
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7:43 - 7:45那么运算结果是什么呢？
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7:45 - 7:50来上边这里运算吧
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7:50 - 7:51这些2x2行列式是蛮简单的
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7:51 - 7:57这个是-6x4-7x3
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7:57 - 8:01这里我经常粗心算错 也给大家提个醒
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8:01 - 8:09-24-21 乘i 减 5x4是20
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8:09 - 8:17- -2x3 所以是--6 得到（20--6）j
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8:17 - 8:26+5x7 得35 再减-2x（-6）
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8:26 - 8:30所以是减12 得（35-12）k
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8:30 - 8:35我们可以化简一下 这里等于-24-21
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8:35 - 8:40是-35（算错了 是-45） 其实不用放括号里的
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8:40 - 8:44然后是20--6
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8:44 - 8:47也就是20+6 得到26
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8:47 - 8:48前边还有一个负号
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8:48 - 8:51所以是-26j
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8:51 - 8:55这里是35-12 得到23
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8:57 - 8:59这就是叉乘的结果
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8:59 - 9:01如果在三维空间里画图表示
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9:01 - 9:03你会看到这个是非常有趣的
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9:01 - 9:07如果我没算错的话（其实i分量算错了）
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9:07 - 9:11-35i-26j+23k 这个向量
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9:11 - 9:15跟向量a和b都是垂直的
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9:15 - 9:18现在我就讲到这
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9:18 - 9:20下段视频再见了
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9:20 - 9:22希望我能找到一个向量画图程序吧
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9:22 - 9:24那样的话做点乘和叉乘运算
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9:24 - 9:27就有趣多了
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9:27 - 9:30用我刚教的方法运算然后画出来看看
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9:30 - 9:32看看结果是不是满足我们预期
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9:32 - 9:36看看是不是这个向量真的
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9:36 - 9:38是像大家用右手定则判断的那个方向一样
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9:38 - 9:42跟两个向量都垂直
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9:42 - 9:45下段视频见
- Title:
- Calculating dot and cross products with unit vector notation
- Description:
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- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 09:47
|
Fran Ontanaya edited Chinese (Simplified, China) subtitles for Calculating dot and cross products with unit vector notation |