到现在为止

我告诉大家的关于点乘和叉乘的

只是作为定义 用向量长度乘以

夹角余弦

或者正弦

但是如果题目给条件不是直观的向量呢？

如果题目件没有给出夹角θ呢？

这时应该怎样计算点乘和叉乘呢？

好吧 我先给出

之前介绍过的各自的定义式

假设a点乘b

要用a的模乘b的模再

乘以夹角余弦

a x b将等于

a的模乘以b的模再

乘以夹角正弦

所以它们的垂直投影-

再乘以

跟两向量都正交的单位法向量

至于这个

单位法向量的方向

你可以用右手定则知道

但如果我们没有θ值

没有向量夹角怎么办呢？

如果只告诉你向量a

而且是向量a的工程表示符号 要怎么办呢？

工程表示符号就是

把向量 用其在x y z方向

分解以后得到的三个分量大小来表示

假设a是5i（式子未完）--

i就是在x方向的单位向量

a是5i-6j+3k

i j k是x y z方向上的

单位向量

5是x方向上a的长度

-6是y方向的分量

3是z方向的分量

其实可以画图表示

实际上我正在找一个图形计算器

借助它我就可以给大家在视频里展示各种图形了

让大家有更直观的感觉

好 假设这就是大家得到的所有的有用条件

至于b 我再编几个数

b是-2i（未完）

当然现在这些都是在三维空间内讨论的

你可以自己画图看一下

显然 如果这就是你得到的问题

并且你要是在电脑仿真中

模拟这些向量

你应该会这么做：

你会把向量分解成x y z三个分量

因为如果要是做向量相加运算

只需要分别把各分量相加即可

但如果要做叉乘或点乘的话

要怎么相乘呢？

在这里我不给大家证明原理

只是告诉大家怎么做

点乘非常简单

如果向量是用这种方式给的

其实还有另一种书写方法

还可以写在括号里

有时候可以把这写成（5，-6，3）

只是在x y z方向内分量的长度

只是想让大家

熟悉所有这些表示方法

你可以把b写成（-2，7，4）

表示的向量都是一样的

看到其中任何一种你都不应该不认识

好吧 a点乘b到底要怎么做呢？

这个方法我相信大家肯定会喜欢的

你需要做的就是 把两者i分量长度相乘

加上两者j分量相乘

再加两者k分量相乘

所以应该是5乘以-2

加上-6乘以7加上3乘以4

等于-10-42+12

等于-52+12 即-40

这就是结果 只是一个数字而已

其实我很想在三维画图器上画画

看看为什么最后等于-40

a b一定是反向的

它们各自在对方上的射影

是相反的

所以我们最后得到一个负数

我们这么做

是因为我也不想太直观

这就是点乘的计算方法

非常简单

仅仅把x方向分量乘起来

加上y分量乘积

再加上所有z分量乘积

所以每当题给条件是工程表示符号

而我要做点乘时

这个方法非常好用 而且不容易犯错

但是 接下来你会看到

求这种形式的向量的叉乘积

将比较麻烦

当然了 对于点乘

还有其他做法

你可以求出

每个向量的模

然后用三角学的知识

求出θ 使用点乘定义式来计算

说到这我相信你会认为

第一种方法是相对更简单的

所以做点乘是没什么难的

现在来看如何做叉乘

重申一下 这里我不进行证明

只是向大家介绍方法

在以后的视频里

我相信大家总会让我证明的

那时候我会给出证明

但是叉乘确实是更复杂一些

并且我也从不希望用这种工程符号表示

来做叉乘（太麻烦了）

a x b就等于

这时候要用到矩阵的知识了

你需要取行列式

先画一条长行列式线

在行列式的顶端-

介绍这种方法只是让你记住怎么做

没有给很出直观的解释为什么要这么做

不过在叉乘的实际定义中直观概念已经给出了

那就是向量的哪部分是跟另一个正交的

将这两部分相乘

这时右手定则来决定

向量指向的方向

如果给出的是工程表示

在行列式第一行写 i j k这三个单位向量

然后写叉乘中第一个向量

因为对叉乘来说向量顺序是不能变的

所以第二行是 5 -6 3

然后写第二个向量b

所以第三行是 -2 7 4

接下来要对这个3x3矩阵取行列式

应该怎么做呢？

等于i的子行列式（即余子式）（未完）

要求i的余子式

去掉i所在的行和列

行列式剩下的部分就是i的余子式

-6 3 7 4（如视频所示）行列式乘i

说到这如果你记不清如何做行列式运算

最好复习一下行列式部分的知识

看接下来的运算应该可以唤起你的学习记忆

三个子行列式前的符号 是+ - +

所以j的余子式符号是-

那j的余子式是什么呢

去掉j所在的行和列

就得到了5 3 -2 4（如视频所示）

先去掉j所在的行与列

不管剩下什么

这就是j的余子式中的数字

我这么称呼

j 然后+ 我想把这些都写在一行里

看起来会整齐一点

加k的余子式

去掉k所在的行和列

剩下的是5 -6 -2 7（如视频所示） 乘以k

现在来计算一下

先腾一些运算空间出来

这些写的太大了

现在不需要这些了 擦掉

那么运算结果是什么呢？

来上边这里运算吧

这些2x2行列式是蛮简单的

这个是-6x4-7x3

这里我经常粗心算错 也给大家提个醒

-24-21 乘i 减 5x4是20

- -2x3 所以是--6 得到（20--6）j

+5x7 得35 再减-2x（-6）

所以是减12 得（35-12）k

我们可以化简一下 这里等于-24-21

是-35（算错了 是-45） 其实不用放括号里的

然后是20--6

也就是20+6 得到26

前边还有一个负号

所以是-26j

这里是35-12 得到23

这就是叉乘的结果

如果在三维空间里画图表示

你会看到这个是非常有趣的

如果我没算错的话（其实i分量算错了）

-35i-26j+23k 这个向量

跟向量a和b都是垂直的

现在我就讲到这

下段视频再见了

希望我能找到一个向量画图程序吧

那样的话做点乘和叉乘运算

就有趣多了

用我刚教的方法运算然后画出来看看

看看结果是不是满足我们预期

看看是不是这个向量真的

是像大家用右手定则判断的那个方向一样

跟两个向量都垂直

下段视频见