0:00:00.070,0:00:02.080
到现在为止

0:00:02.080,0:00:03.530
我告诉大家的关于点乘和叉乘的

0:00:03.530,0:00:06.440
只是作为定义 用向量长度乘以

0:00:06.440,0:00:07.960
夹角余弦

0:00:07.960,0:00:09.900
或者正弦

0:00:09.900,0:00:12.600
但是如果题目给条件不是直观的向量呢？

0:00:12.600,0:00:14.400
如果题目件没有给出夹角θ呢？

0:00:14.400,0:00:17.200
这时应该怎样计算点乘和叉乘呢？

0:00:17.200,0:00:19.200
好吧 我先给出

0:00:19.200,0:00:20.060
之前介绍过的各自的定义式

0:00:20.060,0:00:26.860
假设a点乘b

0:00:26.860,0:00:31.270
要用a的模乘b的模再

0:00:31.270,0:00:33.400
乘以夹角余弦

0:00:33.400,0:00:37.830
a x b将等于

0:00:37.830,0:00:41.710
a的模乘以b的模再

0:00:41.710,0:00:44.150
乘以夹角正弦

0:00:44.150,0:00:47.110
所以它们的垂直投影-

0:00:47.110,0:00:48.810
再乘以

0:00:48.810,0:00:51.100
跟两向量都正交的单位法向量

0:00:51.100,0:00:52.930
至于这个

0:00:52.930,0:00:55.300
单位法向量的方向

0:00:55.300,0:00:56.360
你可以用右手定则知道

0:00:56.360,0:00:59.920
但如果我们没有θ值

0:00:59.920,0:01:01.580
没有向量夹角怎么办呢？

0:01:01.580,0:01:07.590
如果只告诉你向量a

0:01:07.590,0:01:10.450
而且是向量a的工程表示符号 要怎么办呢？

0:01:10.450,0:01:11.610
工程表示符号就是

0:01:11.610,0:01:13.540
把向量 用其在x y z方向

0:01:13.540,0:01:16.070
分解以后得到的三个分量大小来表示

0:01:16.070,0:01:22.020
假设a是5i（式子未完）--

0:01:22.020,0:01:25.310
i就是在x方向的单位向量

0:01:25.310,0:01:33.400
a是5i-6j+3k

0:01:34.070,0:01:36.720
i j k是x y z方向上的

0:01:36.720,0:01:38.430
单位向量

0:01:38.430,0:01:41.450
5是x方向上a的长度

0:01:41.450,0:01:43.360
-6是y方向的分量

0:01:43.360,0:01:46.040
3是z方向的分量

0:01:46.040,0:01:47.340
其实可以画图表示

0:01:47.340,0:01:49.470
实际上我正在找一个图形计算器

0:01:49.470,0:01:51.200
借助它我就可以给大家在视频里展示各种图形了

0:01:51.200,0:01:52.350
让大家有更直观的感觉

0:01:52.350,0:01:53.660
好 假设这就是大家得到的所有的有用条件

0:01:53.660,0:02:00.500
至于b 我再编几个数

0:02:00.500,0:02:03.040
b是-2i（未完）

0:02:03.040,0:02:05.660
当然现在这些都是在三维空间内讨论的

0:02:14.400,0:02:15.510
你可以自己画图看一下

0:02:15.510,0:02:18.150
显然 如果这就是你得到的问题

0:02:18.150,0:02:21.590
并且你要是在电脑仿真中

0:02:21.590,0:02:22.740
模拟这些向量

0:02:22.740,0:02:23.600
你应该会这么做：

0:02:23.600,0:02:25.400
你会把向量分解成x y z三个分量

0:02:25.400,0:02:27.000
因为如果要是做向量相加运算

0:02:27.000,0:02:28.800
只需要分别把各分量相加即可

0:02:28.800,0:02:29.980
但如果要做叉乘或点乘的话

0:02:29.980,0:02:32.090
要怎么相乘呢？

0:02:32.090,0:02:34.540
在这里我不给大家证明原理

0:02:34.540,0:02:35.700
只是告诉大家怎么做

0:02:35.700,0:02:37.700
点乘非常简单

0:02:37.700,0:02:39.430
如果向量是用这种方式给的

0:02:39.430,0:02:41.140
其实还有另一种书写方法

0:02:41.140,0:02:42.700
还可以写在括号里

0:02:42.700,0:02:47.490
有时候可以把这写成（5，-6，3）

0:02:47.490,0:02:50.090
只是在x y z方向内分量的长度

0:02:50.090,0:02:50.600
只是想让大家

0:02:50.600,0:02:54.310
熟悉所有这些表示方法

0:02:54.310,0:02:57.560
你可以把b写成（-2，7，4）

0:02:57.560,0:02:58.450
表示的向量都是一样的

0:02:58.450,0:03:00.450
看到其中任何一种你都不应该不认识

0:03:00.450,0:03:05.820
好吧 a点乘b到底要怎么做呢？

0:03:08.010,0:03:10.700
这个方法我相信大家肯定会喜欢的

0:03:10.700,0:03:14.540
你需要做的就是 把两者i分量长度相乘

0:03:14.540,0:03:17.130
加上两者j分量相乘

0:03:17.130,0:03:20.300
再加两者k分量相乘

0:03:20.300,0:03:25.580
所以应该是5乘以-2

0:03:25.580,0:03:37.930
加上-6乘以7加上3乘以4

0:03:37.930,0:03:45.210
等于-10-42+12

0:03:45.210,0:03:52.100
等于-52+12 即-40

0:03:52.100,0:03:53.580
这就是结果 只是一个数字而已

0:03:53.580,0:03:57.000
其实我很想在三维画图器上画画

0:03:57.000,0:04:01.200
看看为什么最后等于-40

0:04:01.200,0:04:03.350
a b一定是反向的

0:04:03.350,0:04:05.150
它们各自在对方上的射影

0:04:05.150,0:04:06.250
是相反的

0:04:06.250,0:04:09.610
所以我们最后得到一个负数

0:04:09.610,0:04:12.100
我们这么做

0:04:12.100,0:04:13.680
是因为我也不想太直观

0:04:13.680,0:04:14.520
这就是点乘的计算方法

0:04:14.520,0:04:16.120
非常简单

0:04:16.120,0:04:18.000
仅仅把x方向分量乘起来

0:04:18.000,0:04:21.360
加上y分量乘积

0:04:21.360,0:04:23.650
再加上所有z分量乘积

0:04:23.650,0:04:25.950
所以每当题给条件是工程表示符号

0:04:25.950,0:04:28.270
而我要做点乘时

0:04:28.270,0:04:33.750
这个方法非常好用 而且不容易犯错

0:04:33.750,0:04:34.980
但是 接下来你会看到

0:04:34.980,0:04:38.050
求这种形式的向量的叉乘积

0:04:38.050,0:04:41.270
将比较麻烦

0:04:41.270,0:04:42.500
当然了 对于点乘

0:04:42.500,0:04:43.330
还有其他做法

0:04:43.330,0:04:44.050
你可以求出

0:04:44.050,0:04:45.860
每个向量的模

0:04:45.860,0:04:50.370
然后用三角学的知识

0:04:50.370,0:04:52.500
求出θ 使用点乘定义式来计算

0:04:52.500,0:04:55.540
说到这我相信你会认为

0:04:55.540,0:04:57.500
第一种方法是相对更简单的

0:04:57.500,0:04:59.210
所以做点乘是没什么难的

0:04:59.210,0:05:01.350
现在来看如何做叉乘

0:05:01.350,0:05:04.800
重申一下 这里我不进行证明

0:05:04.800,0:05:06.390
只是向大家介绍方法

0:05:06.390,0:05:07.450
在以后的视频里

0:05:07.450,0:05:10.150
我相信大家总会让我证明的

0:05:10.150,0:05:11.070
那时候我会给出证明

0:05:11.070,0:05:15.330
但是叉乘确实是更复杂一些

0:05:15.330,0:05:18.110
并且我也从不希望用这种工程符号表示

0:05:18.110,0:05:20.240
来做叉乘（太麻烦了）

0:05:20.240,0:05:23.780
a x b就等于

0:05:23.780,0:05:26.910
这时候要用到矩阵的知识了

0:05:26.910,0:05:30.810
你需要取行列式

0:05:30.810,0:05:33.030
先画一条长行列式线

0:05:33.030,0:05:34.260
在行列式的顶端-

0:05:34.260,0:05:36.940
介绍这种方法只是让你记住怎么做

0:05:36.940,0:05:38.740
没有给很出直观的解释为什么要这么做

0:05:38.740,0:05:41.380
不过在叉乘的实际定义中直观概念已经给出了

0:05:41.380,0:05:44.030
那就是向量的哪部分是跟另一个正交的

0:05:44.030,0:05:45.150
将这两部分相乘

0:05:45.150,0:05:46.770
这时右手定则来决定

0:05:46.770,0:05:48.490
向量指向的方向

0:05:48.490,0:05:51.590
如果给出的是工程表示

0:05:51.590,0:05:55.480
在行列式第一行写 i j k这三个单位向量

0:05:58.410,0:06:02.340
然后写叉乘中第一个向量

0:06:02.340,0:06:03.630
因为对叉乘来说向量顺序是不能变的

0:06:03.630,0:06:09.030
所以第二行是 5 -6 3

0:06:09.030,0:06:11.900
然后写第二个向量b

0:06:11.900,0:06:17.180
所以第三行是 -2 7 4

0:06:17.180,0:06:20.000
接下来要对这个3x3矩阵取行列式

0:06:20.000,0:06:21.270
应该怎么做呢？

0:06:21.270,0:06:26.240
等于i的子行列式（即余子式）（未完）

0:06:26.240,0:06:27.100
要求i的余子式

0:06:27.100,0:06:29.040
去掉i所在的行和列

0:06:29.040,0:06:30.580
行列式剩下的部分就是i的余子式

0:06:30.580,0:06:38.780
-6 3 7 4（如视频所示）行列式乘i

0:06:38.780,0:06:41.450
说到这如果你记不清如何做行列式运算

0:06:41.450,0:06:42.740
最好复习一下行列式部分的知识

0:06:42.740,0:06:47.580
看接下来的运算应该可以唤起你的学习记忆

0:06:47.580,0:06:50.800
三个子行列式前的符号 是+ - +

0:06:50.800,0:06:53.800
所以j的余子式符号是-

0:06:53.800,0:06:55.480
那j的余子式是什么呢

0:06:55.480,0:06:57.550
去掉j所在的行和列

0:06:57.550,0:07:01.470
就得到了5 3 -2 4（如视频所示）

0:07:05.000,0:07:07.940
先去掉j所在的行与列

0:07:07.940,0:07:09.000
不管剩下什么

0:07:09.000,0:07:11.550
这就是j的余子式中的数字

0:07:11.550,0:07:13.220
我这么称呼

0:07:13.220,0:07:18.500
j 然后+ 我想把这些都写在一行里

0:07:18.500,0:07:19.440
看起来会整齐一点

0:07:19.440,0:07:21.000
加k的余子式

0:07:21.000,0:07:23.360
去掉k所在的行和列

0:07:23.360,0:07:35.060
剩下的是5 -6 -2 7（如视频所示） 乘以k

0:07:35.060,0:07:36.690
现在来计算一下

0:07:36.690,0:07:39.300
先腾一些运算空间出来

0:07:39.300,0:07:41.270
这些写的太大了

0:07:41.270,0:07:43.410
现在不需要这些了 擦掉

0:07:43.410,0:07:45.360
那么运算结果是什么呢？

0:07:45.360,0:07:49.650
来上边这里运算吧

0:07:49.650,0:07:51.400
这些2x2行列式是蛮简单的

0:07:51.400,0:07:56.650
这个是-6x4-7x3

0:07:56.650,0:08:00.510
这里我经常粗心算错 也给大家提个醒

0:08:00.510,0:08:08.930
-24-21 乘i 减 5x4是20

0:08:08.930,0:08:16.590
- -2x3 所以是--6 得到（20--6）j

0:08:16.590,0:08:26.000
+5x7 得35 再减-2x（-6）

0:08:26.000,0:08:29.830
所以是减12 得（35-12）k

0:08:29.830,0:08:34.550
我们可以化简一下 这里等于-24-21

0:08:34.550,0:08:39.710
是-35（算错了 是-45） 其实不用放括号里的

0:08:39.710,0:08:43.840
然后是20--6

0:08:43.840,0:08:46.690
也就是20+6 得到26

0:08:46.690,0:08:47.970
前边还有一个负号

0:08:47.970,0:08:50.640
所以是-26j

0:08:50.640,0:08:54.540
这里是35-12 得到23

0:08:56.800,0:08:59.050
这就是叉乘的结果

0:08:59.050,0:09:00.770
如果在三维空间里画图表示

0:09:00.770,0:09:03.170
你会看到这个是非常有趣的

0:09:00.770,0:09:06.970
如果我没算错的话（其实i分量算错了）

0:09:06.970,0:09:11.100
-35i-26j+23k 这个向量

0:09:11.100,0:09:14.950
跟向量a和b都是垂直的

0:09:14.950,0:09:18.400
现在我就讲到这

0:09:18.400,0:09:20.000
下段视频再见了

0:09:20.000,0:09:22.230
希望我能找到一个向量画图程序吧

0:09:22.230,0:09:24.360
那样的话做点乘和叉乘运算

0:09:24.360,0:09:27.080
就有趣多了

0:09:27.080,0:09:30.100
用我刚教的方法运算然后画出来看看

0:09:30.100,0:09:31.550
看看结果是不是满足我们预期

0:09:31.550,0:09:36.330
看看是不是这个向量真的

0:09:36.330,0:09:38.200
是像大家用右手定则判断的那个方向一样

0:09:38.200,0:09:41.900
跟两个向量都垂直

0:09:41.900,0:09:45.090
下段视频见