Calculating dot and cross products with unit vector notation

지금까지 저는 내적과 외적에 대해 얘기할 때

크기에 대한 정의로는 두 벡터가 이루는 각의

코사인 또는 사인값을

곱한 값이라고 했습니다

그런데 벡터가 시각적으로 주어지지 않았다면
어떻게 할까요?

두 벡터가 이루는 각도가
주어지지 않았다면 어떻게 할까요?

내적과 외적을 어떻게 계산할까요?

음, 이미 말하고 있지만

한 가지 정의를 더 알아봅시다

a와 b의 내적을 계산한다고 해봅시다

그 크기는 a의 크기와 b의 크기를 곱한 값에

두 벡터가 이루는 각의 코사인을 곱한 값입니다

a와 b의 외적의 크기는

두 벡터 a와 b의 크기를 곱한 값에 두 벡터가 이루는 각의 사인값을 곱한 값입니다

따라서 그들을 수직 사영한 값에

그 두 벡터와 동시에 수직인 벡터의 곱입니다

그리고 수직인 두 벡터가 무엇인지 알아내기 위해서는

오른손 법칙을 사용합니다

그런데 두 벡터의 사잇각 세타를

알 수 없다면 어떻게 해야 할까요?

이런 경우에는 어떻게 될까요?
하나의 벡터 a를 예시로 들어 봅시다

제가 이것을 공학적인 표기법으로 제시해 준다면

공학적인 표기법에서는 벡터를 기본적으로

그들의 x, y, z 성분으로 분해합니다

a를 단위벡터 표기법으로 표기한다면 5i
-i는 x축 방향으로의 단위벡터입니다

-6j + 3k가 됩니다

i, j, k는 각각 x, y, z방향

단위벡터 입니다

5는 벡터의 x축 방향 크기를 알려주고

-6은 벡터의 y축 방향 크기를 알려주며

3은 벡터의 z축 방향 크기를 알려줍니다

이를 그래프로 그려볼 수 있습니다

그리고 실제로 그래프를 그릴 수 있는 계산기를 찾아보고 있습니다

이를 이용하면 이 비디오에서 그래프를 그려주면서

직관력을 보다 더 키울 수 있겠죠

그러나 이것이 주어진 모든 것이라고 합시다

그리고 벡터 b가
-저는 숫자를 그냥 만들고 있습니다

-2i라고 합시다
-물론 3차원 공간에서의 벡터를 다루고 있기 때문에

+7j +4k라고 합시다

이를 그릴 수 있습니다

그러나 당연히 문제가 주어지고

컴퓨터 시뮬레이션을를 이용해서 벡터를 모델링하는것이

여러분이 할 수 있는 방법입니다

벡터를 x,y,z 성분으로 분해하고

벡터의 합에 의하면

단순히 각각 요소를 더하면 됩니다

그러나 외적 또는 내적을 이용해서

이들을 곱하려면 어떻게 해야 할까요?

이를 여기서 증명하지는 않겠지만

어떻게 할 수 있는지를 알려주겠습니다

이러한 표기법으로 벡터가 주어진다면

내적은 매우 쉽습니다

그리고 이 표기법을 다른 방법으로 적는 방법은

브라켓 표기법을 이용합니다

이를 <5, -6, 3>으로 표기합니다

이는 벡터의 x, y, z방향 크기입니다

이런 다양한 표기법에

익숙해졌으면 좋겠습니다

b를 <-2, 7, 4>라고 쓸 수 있습니다

모두 같은 것을 나타내는 것입니다

서로 다른 표기법을 본다고 당황하지 않아야 합니다

그래서, a와 b의 내적을 어떻게 계산할까요?

꽤 즐거운 일일 겁니다

여러분들이 하는 일은
벡터의 i성분끼리 곱하고,

그 값에 j성분과 k성분을 곱한 값을

각각 더해주면 됩니다

이 예시에서는 (5*-2) + (-6*7)+(3*4)

이므로 -10-42+12가 됩니다

따라서 이는 -52+12이고, 그 결과는 -40입니다

이것이 모든 과정입니다

결과값은 숫자로 나타납니다

그러면 이 결과를 3차원 그래프로 그려 결과값이

-40인 이유를 알아보고 싶어집니다

그 벡터들은 분명히 반대 방향으로 갈 것이고

그들의 투영은 각각

그들의 반대 방향을 향하게 됩니다

이로 인해 결과값이 음수가 되는 것입니다

이것의 목적은, 직관을 과도하게 사용하고 싶지는 않지만

그냥 계산하는 방법입니다

이 방법은 꽤 간단합니다

벡터의 x축 성분을 곱하고

그 값에 y축 성분끼리 곱한 값과

z축 성분끼리 곱한 값을 더하면 됩니다

그러므로 공학적인 표기법으로 벡터가 주어지던지

브라켓 표기법으로 벡터가 주어지던지
내적을 구하는 과정은

매우 쉽고, 오류 발생이 쉽지 않습니다

그러나 지금 보게 될 두개의 벡터가
두 가지 표기법으로 표현되고

그들의 외적을 구하는 법은

그리 간단하지 않습니다

알고 있어야 할 것은,

이를 해낼 수 있는 또 다른 방법이지만
각 벡터의 크기를 구하고

화려한 삼각함수를 이용해 두 벡터가 이루는
각 θ를 구한 다음에

이 정의를 이용하는

방법입니다

그러나 이 방법이 훨씬 간단한 방법이라는 사실을

고맙게 생각할 것입니다

내적은 꽤 재밌는 과정입니다

이제 외적을 할 수 있는지 봅시다

다시 한번 말하지만, 이를 증명하지 않을 것입니다

어떻게 하는지, 그 과정을 보여줄 것입니다

앞으로 있을 영상에서는 증명에 대한
요청을 받게 될 것이 확실하고,

결국은 이를 증명하게 되겠죠

그러나 외적은 더 복잡합니다

그리고 공학적인 표기법으로
두 벡터의 외적을 구한는 것은

절대 기대하지 않습니다

a와 b의 외적은

다음과 같습니다

이는 행렬의 활용입니다

그래서 그 행렬식을 구할 것입니다

큰 행렬식 기호를 그리고 - 그 위에는

이 방법은 단지 이를 어떻게 하는지

외우도록 하기 위한 방법입니다

그리 직관적이지 않지만, 실제 정의는

직관적입니다

두 벡터가 서로에 대해 얼마나 수직인지

그 값을 곱해줍니다

오른손법칙은 가리키고 있는 벡터의

방향을 알 수 있게 해줍니다

그러나 벡터가 공학적인 표기법으로 주어진 경우
이를 하는 방법은

맨 윗열에 i, j, k단위벡터를

적은 다음에

외적을 할 첫 번째 벡터를 적어줍니다

순서가 상관이 있기 때문입니다

5, -6, 3

그 다음에는 두 번째 벡터를 적어줍니다

-2, 7, 4

이 3X3 행렬의 행렬식을 구하면 됩니다

어떻게 할까요?

이는 i의 소행렬식과 같습니다

i의 소행렬식을 구할 때에는 이 행과 열을 없앤 다음에

왼쪽에 남은 행렬의 행렬식을 구하면 됩니다

i에 -6, 3, 7, 4로 이루어진 행렬의 행렬식을 곱하면 됩니다

어떻게 하는지 기억이 나지 않는다면
행렬식 부분을 복습해야 할수도 있겠네요

이렇게 하다 보면 그 기억을 되살려줄 것입니다

기억하세요, +, -, + 입니다

다음에는 j의 소행렬식을 뺍니다

j의 소행렬식은 무엇일까요?

j의 행과 열을 지웁니다

5, 3, -2, 4가 남죠

방금 j의 행과 열을 지웠습니다

무엇이 남아있던지, 남아있는 숫자가

행렬식입니다

저는 그렇게 부릅니다

j 더하기 -이 모든 과정을 보다 깔끔하게 보이도록

한 줄에 하면 좋겠네요- j에 k의

소행렬식을 더해줍니다

k의 행과 열을 지운 다음에

5, -6, -2, 7의 행렬식에 k를 곱해줍니다

이제 계산해 봅시다

앞의 과정을 너무 크게 써놓아서

약간의 공간을 만듭시다

이것이 다시 필요할 것 같지 않습니다

무엇을 얻었나요?

이 행렬을 위로 가져오면

2X2 행렬의 행렬식은 꽤 쉽습니다

-6*4 - 7*3 입니다

이곳에서 항상 부주의한 실수가 일어납니다

(-24-21)*i - 5*4는 20이고, 이 값에

-2*3이므로 --6j가 되고, 이곳에 5*7, 35

에 (-2)*(-6)을 빼주면

-12k가 됩니다

이를 간단히 할 수 있습니다 -24-21은

-35이고, --괄호를 할 필요는 없습니다--

20 -- 6은 무엇일까요?

이는 20+6이므로 26입니다

바깥쪽에 -가 있으므로 그 결과는

-26j입니다

35-12는 무엇일까요? 23입니다

+23k를 더합니다

이것이 외적입니다

그리고 여러분이 이것을 3차원상에서 그릴 때
여러분이 보게 될

--그리고 꽤 흥미로운 점은-- 그 벡터가

-35i-26j+23k가 두 벡터에

모두 수직일겁니다

지금은 여기까지만 하고

다음 비디오에서 봅시다

벡터를 그려주는 프로그램을 찾을 수 있으면 좋겠습니다

내적과 외적을 모두 앞의 방법으로 계산하고

이를 그래프로 그리는 과정은

재밌을 것 같기 때문입니다

그리고 실제로 계산법이 맞다는 것을
보여주기 위해서입니다

이 벡터가 정말로 이 두 백터와 수직이고

여러분들이 오른손 법칙을 통해 예측한 방향을

가르킨다는 사실을 보여주면 좋겠습니다

다음 비디오에서 봅시다