지금까지 저는 내적과 외적에 대해 얘기할 때
크기에 대한 정의로는 두 벡터가 이루는 각의
코사인 또는 사인값을
곱한 값이라고 했습니다
그런데 벡터가 시각적으로 주어지지 않았다면 어떻게 할까요?
두 벡터가 이루는 각도가 주어지지 않았다면 어떻게 할까요?
내적과 외적을 어떻게 계산할까요?
음, 이미 말하고 있지만
한 가지 정의를 더 알아봅시다
a와 b의 내적을 계산한다고 해봅시다
그 크기는 a의 크기와 b의 크기를 곱한 값에
두 벡터가 이루는 각의 코사인을 곱한 값입니다
a와 b의 외적의 크기는
두 벡터 a와 b의 크기를 곱한 값에 두 벡터가 이루는 각의 사인값을 곱한 값입니다
따라서 그들을 수직 사영한 값에
그 두 벡터와 동시에 수직인 벡터의 곱입니다
그리고 수직인 두 벡터가 무엇인지 알아내기 위해서는
오른손 법칙을 사용합니다
그런데 두 벡터의 사잇각 세타를
알 수 없다면 어떻게 해야 할까요?
이런 경우에는 어떻게 될까요? 하나의 벡터 a를 예시로 들어 봅시다
제가 이것을 공학적인 표기법으로 제시해 준다면
공학적인 표기법에서는 벡터를 기본적으로
그들의 x, y, z 성분으로 분해합니다
a를 단위벡터 표기법으로 표기한다면 5i -i는 x축 방향으로의 단위벡터입니다
-6j + 3k가 됩니다
i, j, k는 각각 x, y, z방향
단위벡터 입니다
5는 벡터의 x축 방향 크기를 알려주고
-6은 벡터의 y축 방향 크기를 알려주며
3은 벡터의 z축 방향 크기를 알려줍니다
이를 그래프로 그려볼 수 있습니다
그리고 실제로 그래프를 그릴 수 있는 계산기를 찾아보고 있습니다
이를 이용하면 이 비디오에서 그래프를 그려주면서
직관력을 보다 더 키울 수 있겠죠
그러나 이것이 주어진 모든 것이라고 합시다
그리고 벡터 b가 -저는 숫자를 그냥 만들고 있습니다
-2i라고 합시다 -물론 3차원 공간에서의 벡터를 다루고 있기 때문에
+7j +4k라고 합시다
이를 그릴 수 있습니다
그러나 당연히 문제가 주어지고
컴퓨터 시뮬레이션을를 이용해서 벡터를 모델링하는것이
여러분이 할 수 있는 방법입니다
벡터를 x,y,z 성분으로 분해하고
벡터의 합에 의하면
단순히 각각 요소를 더하면 됩니다
그러나 외적 또는 내적을 이용해서
이들을 곱하려면 어떻게 해야 할까요?
이를 여기서 증명하지는 않겠지만
어떻게 할 수 있는지를 알려주겠습니다
이러한 표기법으로 벡터가 주어진다면
내적은 매우 쉽습니다
그리고 이 표기법을 다른 방법으로 적는 방법은
브라켓 표기법을 이용합니다
이를 <5, -6, 3>으로 표기합니다
이는 벡터의 x, y, z방향 크기입니다
이런 다양한 표기법에
익숙해졌으면 좋겠습니다
b를 <-2, 7, 4>라고 쓸 수 있습니다
모두 같은 것을 나타내는 것입니다
서로 다른 표기법을 본다고 당황하지 않아야 합니다
그래서, a와 b의 내적을 어떻게 계산할까요?
꽤 즐거운 일일 겁니다
여러분들이 하는 일은 벡터의 i성분끼리 곱하고,
그 값에 j성분과 k성분을 곱한 값을
각각 더해주면 됩니다
이 예시에서는 (5*-2) + (-6*7)+(3*4)
이므로 -10-42+12가 됩니다
따라서 이는 -52+12이고, 그 결과는 -40입니다
이것이 모든 과정입니다
결과값은 숫자로 나타납니다
그러면 이 결과를 3차원 그래프로 그려 결과값이
-40인 이유를 알아보고 싶어집니다
그 벡터들은 분명히 반대 방향으로 갈 것이고
그들의 투영은 각각
그들의 반대 방향을 향하게 됩니다
이로 인해 결과값이 음수가 되는 것입니다
이것의 목적은, 직관을 과도하게 사용하고 싶지는 않지만
그냥 계산하는 방법입니다
이 방법은 꽤 간단합니다
벡터의 x축 성분을 곱하고
그 값에 y축 성분끼리 곱한 값과
z축 성분끼리 곱한 값을 더하면 됩니다
그러므로 공학적인 표기법으로 벡터가 주어지던지
브라켓 표기법으로 벡터가 주어지던지 내적을 구하는 과정은
매우 쉽고, 오류 발생이 쉽지 않습니다
그러나 지금 보게 될 두개의 벡터가 두 가지 표기법으로 표현되고
그들의 외적을 구하는 법은
그리 간단하지 않습니다
알고 있어야 할 것은,
이를 해낼 수 있는 또 다른 방법이지만 각 벡터의 크기를 구하고
화려한 삼각함수를 이용해 두 벡터가 이루는 각 θ를 구한 다음에
이 정의를 이용하는
방법입니다
그러나 이 방법이 훨씬 간단한 방법이라는 사실을
고맙게 생각할 것입니다
내적은 꽤 재밌는 과정입니다
이제 외적을 할 수 있는지 봅시다
다시 한번 말하지만, 이를 증명하지 않을 것입니다
어떻게 하는지, 그 과정을 보여줄 것입니다
앞으로 있을 영상에서는 증명에 대한 요청을 받게 될 것이 확실하고,
결국은 이를 증명하게 되겠죠
그러나 외적은 더 복잡합니다
그리고 공학적인 표기법으로 두 벡터의 외적을 구한는 것은
절대 기대하지 않습니다
a와 b의 외적은
다음과 같습니다
이는 행렬의 활용입니다
그래서 그 행렬식을 구할 것입니다
큰 행렬식 기호를 그리고 - 그 위에는
이 방법은 단지 이를 어떻게 하는지
외우도록 하기 위한 방법입니다
그리 직관적이지 않지만, 실제 정의는
직관적입니다
두 벡터가 서로에 대해 얼마나 수직인지
그 값을 곱해줍니다
오른손법칙은 가리키고 있는 벡터의
방향을 알 수 있게 해줍니다
그러나 벡터가 공학적인 표기법으로 주어진 경우 이를 하는 방법은
맨 윗열에 i, j, k단위벡터를
적은 다음에
외적을 할 첫 번째 벡터를 적어줍니다
순서가 상관이 있기 때문입니다
5, -6, 3
그 다음에는 두 번째 벡터를 적어줍니다
-2, 7, 4
이 3X3 행렬의 행렬식을 구하면 됩니다
어떻게 할까요?
이는 i의 소행렬식과 같습니다
i의 소행렬식을 구할 때에는 이 행과 열을 없앤 다음에
왼쪽에 남은 행렬의 행렬식을 구하면 됩니다
i에 -6, 3, 7, 4로 이루어진 행렬의 행렬식을 곱하면 됩니다
어떻게 하는지 기억이 나지 않는다면 행렬식 부분을 복습해야 할수도 있겠네요
이렇게 하다 보면 그 기억을 되살려줄 것입니다
기억하세요, +, -, + 입니다
다음에는 j의 소행렬식을 뺍니다
j의 소행렬식은 무엇일까요?
j의 행과 열을 지웁니다
5, 3, -2, 4가 남죠
방금 j의 행과 열을 지웠습니다
무엇이 남아있던지, 남아있는 숫자가
행렬식입니다
저는 그렇게 부릅니다
j 더하기 -이 모든 과정을 보다 깔끔하게 보이도록
한 줄에 하면 좋겠네요- j에 k의
소행렬식을 더해줍니다
k의 행과 열을 지운 다음에
5, -6, -2, 7의 행렬식에 k를 곱해줍니다
이제 계산해 봅시다
앞의 과정을 너무 크게 써놓아서
약간의 공간을 만듭시다
이것이 다시 필요할 것 같지 않습니다
무엇을 얻었나요?
이 행렬을 위로 가져오면
2X2 행렬의 행렬식은 꽤 쉽습니다
-6*4 - 7*3 입니다
이곳에서 항상 부주의한 실수가 일어납니다
(-24-21)*i - 5*4는 20이고, 이 값에
-2*3이므로 --6j가 되고, 이곳에 5*7, 35
에 (-2)*(-6)을 빼주면
-12k가 됩니다
이를 간단히 할 수 있습니다 -24-21은
-35이고, --괄호를 할 필요는 없습니다--
20 -- 6은 무엇일까요?
이는 20+6이므로 26입니다
바깥쪽에 -가 있으므로 그 결과는
-26j입니다
35-12는 무엇일까요? 23입니다
+23k를 더합니다
이것이 외적입니다
그리고 여러분이 이것을 3차원상에서 그릴 때 여러분이 보게 될
--그리고 꽤 흥미로운 점은-- 그 벡터가
-35i-26j+23k가 두 벡터에
모두 수직일겁니다
지금은 여기까지만 하고
다음 비디오에서 봅시다
벡터를 그려주는 프로그램을 찾을 수 있으면 좋겠습니다
내적과 외적을 모두 앞의 방법으로 계산하고
이를 그래프로 그리는 과정은
재밌을 것 같기 때문입니다
그리고 실제로 계산법이 맞다는 것을 보여주기 위해서입니다
이 벡터가 정말로 이 두 백터와 수직이고
여러분들이 오른손 법칙을 통해 예측한 방향을
가르킨다는 사실을 보여주면 좋겠습니다
다음 비디오에서 봅시다