WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.760


00:00:00.760 --> 00:00:03.130
지금까지 저는 내적과 외적에 대해 얘기할 때

00:00:03.130 --> 00:00:08.200
크기에 대한 정의로는 두 벡터가 이루는 각의

00:00:08.200 --> 00:00:08.700
코사인 또는 사인값을

00:00:08.700 --> 00:00:09.700
곱한 값이라고 했습니다

00:00:09.700 --> 00:00:12.420
그런데 벡터가 시각적으로 주어지지 않았다면
어떻게 할까요?

00:00:12.430 --> 00:00:14.210
두 벡터가 이루는 각도가 
주어지지 않았다면 어떻게 할까요?

00:00:14.210 --> 00:00:17.240
내적과 외적을 어떻게 계산할까요?

00:00:17.240 --> 00:00:19.160
음, 이미 말하고 있지만

00:00:19.160 --> 00:00:20.000
한 가지 정의를 더 알아봅시다

00:00:20.000 --> 00:00:26.710
a와 b의 내적을 계산한다고 해봅시다

00:00:26.710 --> 00:00:31.610
그 크기는 a의 크기와 b의 크기를 곱한 값에

00:00:31.610 --> 00:00:34.200
두 벡터가 이루는 각의 코사인을 곱한 값입니다

00:00:34.200 --> 00:00:39.730
a와 b의 외적의 크기는

00:00:39.730 --> 00:00:44.670
두 벡터 a와 b의 크기를 곱한 값에 두 벡터가 이루는 각의 사인값을 곱한 값입니다

00:00:44.670 --> 00:00:48.360
따라서 그들을 수직 사영한 값에

00:00:48.360 --> 00:00:53.540
그 두 벡터와 동시에 수직인 벡터의 곱입니다

00:00:53.740 --> 00:00:56.120
그리고 수직인 두 벡터가 무엇인지 알아내기 위해서는

00:00:56.120 --> 00:00:56.620
오른손 법칙을 사용합니다

00:00:56.620 --> 00:01:00.170
그런데 두 벡터의 사잇각 세타를

00:01:00.170 --> 00:01:01.320
알 수 없다면 어떻게 해야 할까요?

00:01:01.320 --> 00:01:04.760
이런 경우에는 어떻게 될까요?
하나의 벡터 a를 예시로 들어 봅시다

00:01:04.760 --> 00:01:09.990
제가 이것을 공학적인 표기법으로 제시해 준다면

00:01:09.990 --> 00:01:12.090
공학적인 표기법에서는 벡터를 기본적으로

00:01:12.090 --> 00:01:16.270
그들의 x, y, z 성분으로 분해합니다

00:01:16.270 --> 00:01:23.580
a를 단위벡터 표기법으로 표기한다면 5i
-i는 x축 방향으로의 단위벡터입니다

00:01:23.580 --> 00:01:31.890
-6j + 3k가 됩니다

00:01:31.890 --> 00:01:34.740


00:01:34.740 --> 00:01:37.790
i, j, k는 각각 x, y, z방향

00:01:37.790 --> 00:01:38.310
단위벡터 입니다

00:01:38.310 --> 00:01:40.700
5는 벡터의 x축 방향 크기를 알려주고

00:01:40.700 --> 00:01:43.400
-6은 벡터의 y축 방향 크기를 알려주며

00:01:43.400 --> 00:01:45.890
3은 벡터의 z축 방향 크기를 알려줍니다

00:01:45.890 --> 00:01:47.040
이를 그래프로 그려볼 수 있습니다

00:01:47.040 --> 00:01:48.960
그리고 실제로 그래프를 그릴 수 있는 계산기를 찾아보고 있습니다

00:01:48.960 --> 00:01:51.370
이를 이용하면 이 비디오에서 그래프를 그려주면서

00:01:51.370 --> 00:01:52.360
직관력을 보다 더 키울 수 있겠죠

00:01:52.360 --> 00:01:53.830
그러나 이것이 주어진 모든 것이라고 합시다

00:01:53.830 --> 00:02:00.100
그리고 벡터 b가
-저는 숫자를 그냥 만들고 있습니다

00:02:00.100 --> 00:02:04.170
-2i라고 합시다
-물론 3차원 공간에서의 벡터를 다루고 있기 때문에

00:02:04.170 --> 00:02:14.480
+7j +4k라고 합시다

00:02:14.480 --> 00:02:15.300
이를 그릴 수 있습니다

00:02:15.300 --> 00:02:19.030
그러나 당연히 문제가 주어지고

00:02:19.030 --> 00:02:22.270
컴퓨터 시뮬레이션을를 이용해서 벡터를 모델링하는것이

00:02:22.270 --> 00:02:23.510
여러분이 할 수 있는 방법입니다

00:02:23.510 --> 00:02:25.690
벡터를 x,y,z 성분으로 분해하고

00:02:25.690 --> 00:02:26.780
벡터의 합에 의하면

00:02:26.780 --> 00:02:28.600
단순히 각각 요소를 더하면 됩니다

00:02:28.600 --> 00:02:31.210
그러나 외적 또는 내적을 이용해서

00:02:31.210 --> 00:02:32.340
이들을 곱하려면 어떻게 해야 할까요?

00:02:32.340 --> 00:02:34.580
이를 여기서 증명하지는 않겠지만

00:02:34.580 --> 00:02:35.400
어떻게 할 수 있는지를 알려주겠습니다

00:02:35.400 --> 00:02:38.100
이러한 표기법으로 벡터가 주어진다면

00:02:38.100 --> 00:02:39.330
내적은 매우 쉽습니다

00:02:39.330 --> 00:02:40.880
그리고 이 표기법을 다른 방법으로 적는 방법은

00:02:40.880 --> 00:02:42.360
브라켓 표기법을 이용합니다

00:02:42.360 --> 00:02:46.955
이를 <5, -6, 3>으로 표기합니다

00:02:46.955 --> 00:02:49.455
이는 벡터의 x, y, z방향 크기입니다

00:02:49.455 --> 00:02:53.170
이런 다양한 표기법에

00:02:53.170 --> 00:02:54.270
익숙해졌으면 좋겠습니다

00:02:54.270 --> 00:02:57.360
b를 <-2, 7, 4>라고 쓸 수 있습니다

00:02:57.360 --> 00:02:58.380
모두 같은 것을 나타내는 것입니다

00:02:58.380 --> 00:03:00.360
서로 다른 표기법을 본다고 당황하지 않아야 합니다

00:03:00.360 --> 00:03:05.430
그래서, a와 b의 내적을 어떻게 계산할까요?

00:03:05.430 --> 00:03:08.110


00:03:08.110 --> 00:03:10.670
꽤 즐거운 일일 겁니다

00:03:10.670 --> 00:03:15.410
여러분들이 하는 일은
벡터의 i성분끼리 곱하고,

00:03:15.410 --> 00:03:18.270
그 값에 j성분과 k성분을 곱한 값을

00:03:18.270 --> 00:03:20.210
각각 더해주면 됩니다

00:03:20.210 --> 00:03:34.350
이 예시에서는 (5*-2) + (-6*7)+(3*4)

00:03:34.350 --> 00:03:45.260
이므로 -10-42+12가 됩니다

00:03:45.260 --> 00:03:52.020
따라서 이는 -52+12이고, 그 결과는 -40입니다

00:03:52.020 --> 00:03:52.460
이것이 모든 과정입니다

00:03:52.460 --> 00:03:54.840
결과값은 숫자로 나타납니다

00:03:54.840 --> 00:03:57.090
그러면 이 결과를 3차원 그래프로 그려 결과값이

00:03:57.090 --> 00:04:00.980
-40인 이유를 알아보고 싶어집니다

00:04:00.980 --> 00:04:03.600
그 벡터들은 분명히 반대 방향으로 갈 것이고

00:04:03.600 --> 00:04:05.680
그들의 투영은 각각

00:04:05.680 --> 00:04:06.070
그들의 반대 방향을 향하게 됩니다

00:04:06.070 --> 00:04:07.770
이로 인해 결과값이 음수가 되는 것입니다

00:04:07.770 --> 00:04:11.000


00:04:11.000 --> 00:04:13.030
이것의 목적은, 직관을 과도하게 사용하고 싶지는 않지만

00:04:13.030 --> 00:04:15.050
그냥 계산하는 방법입니다

00:04:15.050 --> 00:04:15.900
이 방법은 꽤 간단합니다

00:04:15.900 --> 00:04:18.930
벡터의 x축 성분을 곱하고

00:04:18.930 --> 00:04:22.029
그 값에 y축 성분끼리 곱한 값과

00:04:22.029 --> 00:04:23.450
z축 성분끼리 곱한 값을 더하면 됩니다

00:04:23.450 --> 00:04:25.710
그러므로 공학적인 표기법으로 벡터가 주어지던지

00:04:25.710 --> 00:04:28.470
브라켓 표기법으로 벡터가 주어지던지 
내적을 구하는 과정은

00:04:28.470 --> 00:04:33.680
매우 쉽고, 오류 발생이 쉽지 않습니다

00:04:33.680 --> 00:04:37.390
그러나 지금 보게 될 두개의 벡터가
두 가지 표기법으로 표현되고

00:04:37.390 --> 00:04:40.160
그들의 외적을 구하는 법은

00:04:40.160 --> 00:04:41.490
그리 간단하지 않습니다

00:04:41.490 --> 00:04:43.020
알고 있어야 할 것은,

00:04:43.020 --> 00:04:44.590
이를 해낼 수 있는 또 다른 방법이지만
각 벡터의 크기를 구하고

00:04:44.590 --> 00:04:49.470
화려한 삼각함수를 이용해 두 벡터가 이루는
각 θ를 구한 다음에

00:04:49.470 --> 00:04:51.770
이 정의를 이용하는

00:04:51.770 --> 00:04:52.370
방법입니다

00:04:52.370 --> 00:04:56.230
그러나 이 방법이 훨씬 간단한 방법이라는 사실을

00:04:56.230 --> 00:04:57.350
고맙게 생각할 것입니다

00:04:57.350 --> 00:04:59.140
내적은 꽤 재밌는 과정입니다

00:04:59.140 --> 00:05:02.570
이제 외적을 할 수 있는지 봅시다

00:05:02.570 --> 00:05:04.450
다시 한번 말하지만, 이를 증명하지 않을 것입니다

00:05:04.450 --> 00:05:06.230
어떻게 하는지, 그 과정을 보여줄 것입니다

00:05:06.230 --> 00:05:09.370
앞으로 있을 영상에서는 증명에 대한
요청을 받게 될 것이 확실하고,

00:05:09.370 --> 00:05:11.710
결국은 이를 증명하게 되겠죠

00:05:11.710 --> 00:05:15.270
그러나 외적은 더 복잡합니다

00:05:15.270 --> 00:05:18.210
그리고 공학적인 표기법으로
두 벡터의 외적을 구한는 것은

00:05:18.210 --> 00:05:20.290
절대 기대하지 않습니다

00:05:20.290 --> 00:05:22.700
a와 b의 외적은

00:05:22.700 --> 00:05:23.760
다음과 같습니다

00:05:23.760 --> 00:05:27.530
이는 행렬의 활용입니다

00:05:27.530 --> 00:05:31.850
그래서 그 행렬식을 구할 것입니다

00:05:31.850 --> 00:05:34.120
큰 행렬식 기호를 그리고 - 그 위에는

00:05:34.120 --> 00:05:35.190
이 방법은 단지 이를 어떻게 하는지

00:05:35.190 --> 00:05:37.090
외우도록 하기 위한 방법입니다

00:05:37.090 --> 00:05:39.240
그리 직관적이지 않지만, 실제 정의는

00:05:39.240 --> 00:05:41.690
직관적입니다

00:05:41.690 --> 00:05:44.010
두 벡터가 서로에 대해 얼마나 수직인지

00:05:44.010 --> 00:05:45.050
그 값을 곱해줍니다

00:05:45.050 --> 00:05:47.210
오른손법칙은 가리키고 있는 벡터의

00:05:47.210 --> 00:05:48.360
방향을 알 수 있게 해줍니다

00:05:48.360 --> 00:05:51.380
그러나 벡터가 공학적인 표기법으로 주어진 경우
이를 하는 방법은

00:05:51.380 --> 00:05:55.763
맨 윗열에 i, j, k단위벡터를

00:05:55.763 --> 00:06:00.080
적은 다음에

00:06:00.080 --> 00:06:02.230
외적을 할 첫 번째 벡터를 적어줍니다

00:06:02.230 --> 00:06:03.560
순서가 상관이 있기 때문입니다

00:06:03.560 --> 00:06:09.550
5, -6, 3

00:06:09.550 --> 00:06:12.320
그 다음에는 두 번째 벡터를 적어줍니다

00:06:12.320 --> 00:06:16.970
-2, 7, 4

00:06:16.970 --> 00:06:19.880
이 3X3 행렬의 행렬식을 구하면 됩니다

00:06:19.880 --> 00:06:21.350
어떻게 할까요?

00:06:21.350 --> 00:06:25.930
이는 i의 소행렬식과 같습니다

00:06:25.930 --> 00:06:28.460
i의 소행렬식을 구할 때에는 이 행과 열을 없앤 다음에

00:06:28.460 --> 00:06:31.920
왼쪽에 남은 행렬의 행렬식을 구하면 됩니다

00:06:31.920 --> 00:06:40.760
i에 -6, 3, 7, 4로 이루어진 행렬의 행렬식을 곱하면 됩니다

00:06:40.760 --> 00:06:42.430
어떻게 하는지 기억이 나지 않는다면 
행렬식 부분을 복습해야 할수도 있겠네요

00:06:42.430 --> 00:06:47.770
이렇게 하다 보면 그 기억을 되살려줄 것입니다

00:06:47.770 --> 00:06:50.590
기억하세요, +, -, + 입니다

00:06:50.590 --> 00:06:53.550
다음에는 j의 소행렬식을 뺍니다

00:06:53.550 --> 00:06:55.500
j의 소행렬식은 무엇일까요?

00:06:55.500 --> 00:06:57.470
j의 행과 열을 지웁니다

00:06:57.470 --> 00:07:01.065
5, 3, -2, 4가 남죠

00:07:01.065 --> 00:07:05.030


00:07:05.030 --> 00:07:07.650
방금 j의 행과 열을 지웠습니다

00:07:07.650 --> 00:07:09.770
무엇이 남아있던지, 남아있는 숫자가

00:07:09.770 --> 00:07:11.470
행렬식입니다

00:07:11.470 --> 00:07:13.420
저는 그렇게 부릅니다

00:07:13.420 --> 00:07:18.136
j 더하기 -이 모든 과정을 보다 깔끔하게 보이도록

00:07:18.136 --> 00:07:19.870
한 줄에 하면 좋겠네요- j에 k의

00:07:19.870 --> 00:07:20.840
소행렬식을 더해줍니다

00:07:20.840 --> 00:07:23.290
k의 행과 열을 지운 다음에

00:07:23.290 --> 00:07:35.010
5, -6, -2, 7의 행렬식에 k를 곱해줍니다

00:07:35.010 --> 00:07:36.980
이제 계산해 봅시다

00:07:36.980 --> 00:07:39.440
앞의 과정을 너무 크게 써놓아서

00:07:39.440 --> 00:07:41.130
약간의 공간을 만듭시다

00:07:41.130 --> 00:07:43.790
이것이 다시 필요할 것 같지 않습니다

00:07:43.790 --> 00:07:46.460
무엇을 얻었나요?

00:07:46.460 --> 00:07:49.400
이 행렬을 위로 가져오면

00:07:49.400 --> 00:07:51.090
2X2 행렬의 행렬식은 꽤 쉽습니다

00:07:51.090 --> 00:07:58.690
-6*4 - 7*3 입니다

00:07:58.690 --> 00:08:00.180
이곳에서 항상 부주의한 실수가 일어납니다

00:08:00.180 --> 00:08:10.770
(-24-21)*i - 5*4는 20이고, 이 값에

00:08:10.770 --> 00:08:23.270
-2*3이므로 --6j가 되고, 이곳에 5*7, 35

00:08:23.270 --> 00:08:25.640
에 (-2)*(-6)을 빼주면

00:08:25.640 --> 00:08:29.330
-12k가 됩니다

00:08:29.330 --> 00:08:34.330
이를 간단히 할 수 있습니다 -24-21은

00:08:34.330 --> 00:08:40.830
-35이고, --괄호를 할 필요는 없습니다--

00:08:40.830 --> 00:08:43.720
20 -- 6은 무엇일까요?

00:08:43.720 --> 00:08:46.600
이는 20+6이므로 26입니다

00:08:46.600 --> 00:08:47.590
바깥쪽에 -가 있으므로 그 결과는

00:08:47.590 --> 00:08:51.640
-26j입니다

00:08:51.640 --> 00:08:54.340
35-12는 무엇일까요? 23입니다

00:08:54.340 --> 00:08:57.190
+23k를 더합니다

00:08:57.190 --> 00:08:58.690
이것이 외적입니다

00:08:58.690 --> 00:09:01.150
그리고 여러분이 이것을 3차원상에서 그릴 때
여러분이 보게 될

00:09:01.150 --> 00:09:03.710
--그리고 꽤 흥미로운 점은-- 그 벡터가

00:09:03.710 --> 00:09:09.410
-35i-26j+23k가 두 벡터에

00:09:09.410 --> 00:09:15.750
모두 수직일겁니다

00:09:15.750 --> 00:09:19.440
지금은 여기까지만 하고

00:09:19.440 --> 00:09:20.050
다음 비디오에서 봅시다

00:09:20.050 --> 00:09:22.140
벡터를 그려주는 프로그램을 찾을 수 있으면 좋겠습니다

00:09:22.140 --> 00:09:25.880
내적과 외적을 모두 앞의 방법으로 계산하고

00:09:25.880 --> 00:09:29.130
이를 그래프로 그리는 과정은

00:09:29.130 --> 00:09:29.840
재밌을 것 같기 때문입니다

00:09:29.840 --> 00:09:31.320
그리고 실제로 계산법이 맞다는 것을
보여주기 위해서입니다

00:09:31.320 --> 00:09:36.930
이 벡터가 정말로 이 두 백터와 수직이고

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여러분들이 오른손 법칙을 통해 예측한 방향을

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가르킨다는 사실을 보여주면 좋겠습니다

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다음 비디오에서 봅시다

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