Integrals: Trig Substitution 1

我们

假设我有一个不定积分1除与平方根

3 - 2x^2

当然我这有一个dx.

当我们看这道题的时候，并没有很明显的

传统的方法可以用来找这个不定积分

我没有这个的微分包含在

这个不定积分里面，所以不可以用传统的换元法

但是我可以说，嗯，这个差不多看起来

好像一些我已经知道的三角函数, 所以我可能

可以用三角函数来代替。

现在我们来找一个三角函数

跟这个看起来差不多的。

我们最基本的三角函数--这个

是从单位圆定义来的--是正弦

平方的 theta 加余弦值的平方

theta 等于 1。

然后如果我们减去的 theta 从两个平方的余弦

我们得到双方 — — 或如果我们减去正弦平方的 theta

从两侧，我们可以这样做要么-我们能得到余弦

平方的 theta 等于正弦平方的 theta 减去 1。

我们可以做两种方法。

但这个，突然间，这件事就在这里开始

看上去有点像这样。

也许我可以做一点点的代数的手法，使

这看起来像这样。

第一件事，所以我想在 1 到这儿-

至少，这就是我的大脑是如何工作的 — — 让我们出去因子

从这个分母 3。

因此，这是作为的积分 1 以上同样的事情

平方根的 — — 让我出 3 出此表达式的因素。

3 倍 1 负 2/3 x 平方。

我做了什么也不想在这里。

我只被考虑了此表达式 3

这是我做的全部工作。

但现在整齐的事就是，此表达式查找

多像这样的表达。

事实上，如果替换，如果我说这个东西就在这里

这 2/3 x 平方，如果我将它设置为等于正弦平方 theta 我

将能够使用该标识。

现在，让我们做的。

让我们设置 2/3 x 平方，让我们将设置为这等于正弦

theta 的平方。

因此，如果我们采取的这个方程式中，双方的平方根

获得 3 次 x 的平方根是 2 以上的平方根

等于 theta 的正弦值。

如果我想要解决 x，我得到什么呢？

并且，好吧，我们要有两个解决

x 和 theta，所以让我们做到这两种方法。

首先，让我们为 theta 解决。

如果我们能解决的 theta，你得到的 theta 等于

反正弦或超过 2 的平方根的反正弦值，

3 x 的平方根。

这就是如果 theta 为您解决。

现在，如果你解决 x，你只是乘两边的

这和你的逆获取此方程倍 x 等于

--除以这个方程的双方或将它乘以

由逆 — — 等于超过 3 的平方根

2 倍的 theta 正弦值的平方根。

我们打算用正弦平方的替代这

theta，但我们不能在外面离开此 dx。

所以就 theta x 的导数等于

3 对 2 的平方根的平方根。

这对于 theta 导数是公正余弦值的

theta，如果我们想要将此写的 dx，我们可以

只是写的 dx 等于超过 3 的平方根

2 余弦值的 theta 的平方根 d theta。

现在我们准备来代替。

因此，我们可以重写此表达式在这里 — — 会做

在这金色的颜色-我正在使用，让我做

它采用的是蓝色的颜色。

我们可以重写此表达式现在在这里。

它是不定积分的--dx 上

分子，正确吗？

而不是编写这 1 倍 dx，我可能会有

只是写在这里 dx。

这类似的可能只是 dx。

你只乘以它 dx 倍。

那么什么是 dx？

dx 是这项业务。

我会做它的黄色。

dx 是这项权利。

所以，求平方根的 3 以上的平方根

2 余弦 theta d theta。

那是什么 dx 是。

现在，我的公式中的分母有广场

3 倍 — — 现在是 1 负的根。

现在我说 2/3 x 平方等于正弦的 theta 平方。

93 00:04:47、 64--> 00:04:49，现在可以怎样简化这 75 吗？

嗯，正弦平方减去 1 是 theta 的什么？

余弦值的平方的 theta。

所以这个东西就在这里是余弦值的平方的 theta。

所以我不定积分变为 3 的平方根

过去的 2 余弦 theta 平方根 d theta，所有的

平方根的余弦值的 3 倍以上，

theta 的平方。

这只是成为了余弦的 theta 平方。

现在，让我们只是采取本部底部的平方根。

所以这是等于 — — 我会做任意

变化的颜色 — — 3 对 2 的平方根的平方根

余弦值的 theta d theta 一切过去 — — 什么都有

广场的这根呢？

它等于平方根的平方根的 3 倍

余弦值的平方，所以时间的 theta 余弦值。

现在，这就简化了的东西好一点。

我有的余弦值的 theta，除以 theta 余弦的值

那些取消了，我们去拿 1，于是便广场

这里的 3 根除以平方根 3，所以对这这两个

你们都要取消出，因此简化了我的积分

很好地为超过 2 d theta 平方根的 1。

或者更好，我能写这，这是只是一个常量

长远来说，可以从我的积分 — — 它等于 1 对

2 倍于我的积分的只是 d theta 的平方根。

而这是超级简单。

这是等于 1 对 2 的平方根

倍 theta 加 c。

加上一些常量。

我的意思是，你可能会说这个积分是 theta 加

c，然后你会相乘的常数时间，但它是

仍会一些任意常数。

你知道如何采取这反导数。

但是，我们做吗？

哦，不。

我们想要知道我们不定积分 x。

所以，现在我们要扭转替代。

那么什么是 theta？

我们想到了这里。theta 等于反正弦广场

2 超过 3 倍的平方根的根。

所以我们原始的不定积分，所有这一切都是

在这里，现在，执行反向 theta 替代愚蠢或

把 x 回到那里，它比 1 平方根

theta 2 倍。

theta 是只是这样，是 2 的平方根的只是反正弦值

超过 3 倍的平方根，便此常数

出在这里，再加上 c。

所以这就在这里是的反导数

平方根的减 2 x 3 对 1 的平方。

希望你觉得是有帮助的。

我要做更多的视频，让我们经历

一些例子，这样，你可以更

熟悉他们。