Subtracting rational expressions with factored denominators

잠시 동영상을 멈춰보시고

한 번 보세요

자주색 유리수를 노란색에서 뺄 수 있다면 말입니다

자, 이제 같이 해봅시다

여러분은 분명히

둘의 분모가 같지 않다는 것을 알아차리실 겁니다

또 둘의 분모가 같기를 바라실 겁니다

다시 써보죠

바로 두 항이 공통 분모를 가지도록 말입니다

이는 분모들로 나누어 떨어질 것입니다

즉 각각의 인수들을 모두 가지고 있는 것이죠

다행히도 이 분모들은 이미 인수분해가 되어있습니다

그래서 저는 그냥 공통 분모만 적어보도록 하겠습니다

노란색 표현을 다시 쓰는 것부터 시작할 겁니다

여러분은 이 노란색 표현을 알고 있고

사실은 분명히 해보자면

두 표현 모두 쓰게 될 것이지만

여러분은 노란색에서 자주색 표현을 뺄 것입니다

오 제가 노란색을 말했는데 자주색으로 써버렸군요

여러분은 노란색 표현을 알고 있습니다

제가 다시 쓰고 있는 것 말입니다

더 길게 그려야겠군요

노란색 표현에서 자주색 표현을 빼주고

바로 이것처럼 말입니다

우리는 모든 것을 가지고 있는 분모를 가지길 원합니다

여기 노란색과 자주색으로 나누어떨어지는

공통 분모를 말이죠

그 분모는 (z+8)과 (9z-5)를 가지고 있고

이 둘도 가지고 있을 겁니다

우리는 이미 (9z-5)를 적었습니다

그래서 (z+6)로 나누어 떨어지기만 하면 됩니다

우리는 노란색의 분모에 그저 (z+6)를 곱한 겁니다

우린 이 인수들로 나누거나

이 인수들로 나누지 않았죠

(9z-5)는 이 둘의 공통 인수이기 때문이죠

여러분이 숫자를 이용하여

분수를 더하고 빼보셨다면

이것도 같은 방법입니다

자 그렇다면 분자는 어떻게 될까요?

분모에 (z+6)를 곱했는데

분자에도 똑같이 할 겁니다

여기에 (z+6)를 곱해줍니다

자 이제 여기에 집중해봅시다

우리는 같은 분모를 가지길 원합니다

그래서 (z+8)를 적고

(z+8)에 (z+6)을 곱하고

(z+6)에 (9z-5)도 곱합니다

이 둘은 같아졌습니다

방금 분모에 곱한 것을 적은 위치는 다르지만

그렇다고 이들의 크기가 변한 것은 아닙니다

원래 분자는 3을 가지고 있었는데

그리고 우리가 분모에 (z+8)을 곱했다면

분자에도 마찬가지로 (z+8)을 곱해야합니다

자 봅시다

이것은 똑같아졌습니다

여기다 긴 줄을 긋습니다

이것들은 모두 같아질 것입니다

아마 많은 공간을 필요없을 것 같네요

어디 보자
이 정도면 되겠군요

전 이 둘과 같은 분모를 적을 것입니다

여기다가 이 색으로 적어보도록 하겠습니다

(z+8)에 (9z-5)와 (z+6)을 곱합니다

자 여기 파란색 부분을 보세요

우리는 이 -z³을 이 둘에 분배할 것입니다

-z³에 z를 곱하면 -z⁴이 되고

여기 마이너스 부호는

-z가 되고

나머지 것들을 음수로 만듭니다

그저 음수를 더하는 것이죠

뭐 아니면 다르게 생각해도 됩니다

여기 3이 -3이 되어 (z+8)에 곱해지는 것입니다

그 후 이걸 분배합니다

한 번 해봅시다

-3이 z와 곱해서 -3z가 되고

-3을 8과 곱하면 -24가 됩니다

자 됐습니다

우리가 해냈네요

우리는 공통 분모를 찾았습니다

이러한 공통 분모를 가지게 되면

여러분은 그저 분자를 빼거나 더하면 됩니다

그리고 이 마이너스 부호를

덧셈으로 볼 수 있고

분자는 -3을 가지게 됩니다

이를 분배하고 나면

이보다 더 간단하게 할 수가 없네요

언젠가 여러분은 이런 유형의 문제를 풀게 될 것입니다

2개의 2차항이나 2개의 1차항

또는 2개의 상수나 뭐든

그 땐 간단하게 하기 위해 더하거나 빼면 됩니다

이들은 모두 다른 차수를 가지므로

전 더 이상 간단히 할 수가 없습니다
우린 해냈습니다