-
Φανταστείτε ότι ζούμε σε προϊστορικoύς
χρόνους.
-
Τώρα, σκεφτείτε το εξής:
-
Πώς μετρούσαμε το πέρασμα του χρόνου
χωρίς ρολόι;
-
Όλα τα ρολόγια βασίζονται σε κάποιο
επαναλαμβανόμενο μοτίβο
-
το οποίο μοιράζει την ροή του χρόνου
σε ίσα μέρη.
-
Για να βρούμε αυτά τα επανα-
λαμβανόμενα μοτίβα,
-
κοιτάμε προς τον ουρανό.
-
Ο ήλιος που ανατέλει και δύει κάθε μέρα
-
είναι το προφανές μοτίβο.
-
Ωστόσο, για να μετρήσουμε το πέρασμα του χρόνου για μεγαλύτερες περιόδους
-
κοιτάμε για μεγαλύτερης διάρκειας κυκλικά φαινόμενα.
-
Γι'αυτό, κοιτάξαμε προς το φεγγάρι
-
το οποίο μοιάζει να μεγαλώνει και να μικραίνει
-
σταδιακά σε διάστημα πολλών ημερών.
-
Όταν μετράμε τις μέρες
-
ανάμεσα σε δύο πανσελήνους,
-
βρίσκουμε τον αριθμό 29.
-
Αυτός ο αριθμός είναι η προέλευση του μήνα.
-
Ωστόσο, αν προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 29 σε ίσα μέρη,
-
πέφτουμε πάνω σε ένα πρόβλημα: είναι αδύνατο.
-
Ο μόνος τρόπος να χωρίσουμε το 29 σε ίσα μέρη
-
είναι να το χωρίσουμε σε μονάδες.
-
Το 29 είναι πρώτος αριθμός.
-
Θεωρείστε τον ως αδιάσπαστο.
-
Άν ένας αριθμός μπορεί να διασπαστεί
-
σε ίσα μέρη μεγαλύτερα του ενός,
-
τότε τον λέμε σύνθετο.
-
Τώρα αν είμαστε περίεργοι, μπορεί να αναρωτηθούμε:
-
"Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν;
-
και πόσο μπορούν να αυξηθούν;"
-
Ας αρχίσουμε διαιρώντας όλους τους αριθμούς σε δύο κατηγορίες.
-
Παραθέτουμε τους πρώτους στα αριστερά
-
και τους σύνθετους στα δεξιά.
-
Αρχικά, μοιάζουν να χορεύουνε πέρα δώθε.
-
Δεν υπάρχει κάποιο προφανές μοτίβο εδώ.
-
Οπότε ας χρησιμοποιήσουμε μία σύγχρονη τεχνική
-
για να δούμε τη μεγαλύτερη εικόνα.
-
Το κόλπο είναι να χρησιμοποιήσουμε το σπιράλ του Ulam.
-
Πρώτα παραθέτουμε όλους του αριθμούς στη σειρά
-
σε αυξανόμενο σπιράλ.
-
Μετά, χρωματίζουμε όλους τους πρώτους αριθμούς με μπλε.
-
Τέλος, απομακρυνόμαστε και βλέπουμε εκατομμύρια αριθμούς.
-
Αυτό είναι το μοτίβο των πρώτων αριθμών
-
το οποίο συνεχίζεται για πάντα.
-
Είναι απίστευτο ότι η συνολική δομή αυτού του μοτίβου
-
δεν έχει λυθεί μέχρι σήμερα.
-
Υπάρχει λοιπόν κάτι ενδιαφέρον.
-
Ας μεταφερθούμε λοιπόν
-
γύρω στο 300 π.χ. στην Αρχαία Ελλάδα.
-
Ένας φιλόσοφος ονόματι Ευκλείδης ο Αλεξανδρινός
-
κατάλαβε ότι όλοι οι αριθμοί
-
μπορούσαν να χωριστούν σε αυτές τις δύο κατηγορίες.
-
Συνειδητοποίησε ότι κάθε αριθμός
-
μπορεί να χωριστεί ξανά και ξανά
-
μέχρι να φτάσουμε σε ένα σύνολο από ίσους μικρούς αριθμούς.
-
Εξ΄ορισμού, αυτοί οι μικροί αριθμοί
-
είναι πάντα πρώτοι αριθμοί.
-
Έτσι, ήξερε ότι όλοι οι αριθμοί
-
είναι κάπως φτιαγμένοι από μικρότερους πρώτους.
-
Για να είμαστε ξεκάθαροι, φανταστείτε ένα σύμπαν από όλους τους αριθμούς
-
και αγνοήστε τους πρώτους.
-
Τώρα, διαλέξτε έναν σύνθετο αριθμό,
-
χωρίστε τον σε μικρότερους,
-
και θα καταλήγετε πάντα με πρώτους αριθμούς.
-
Έτσι, ο Ευκλείδης ήξερε ότι κάθε αριθμός
-
μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας
ένα σύνολο από μικρότερους πρώτους.
-
Σκεφτείτε τους ώς ένα σύνολο δομικών στοιχείων.
-
Ανεξάρτητα με το ποιον αριθμό θα διαλέξεις,
-
αυτός μπορεί πάντα να κατασκευαστεί
με την προσθήκη μικρότερων πρώτων.
-
Αυτή είναι η βάση αυτής της ανακάλυψης,
-
γνωστή ώς το " Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής"
-
οπώς ακολουθεί:
-
Διαλέξτε εναν αριθμό, ας πούμε το 30,
-
και βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς
-
στους οποίους διαιρείται σε ίσα μέρη.
-
Αυτή η διαδικασία είναι γνωστή ώς παραγοντοποίηση.
-
Μας δίνει όλους τους πρώτους παράγοντες,
-
σε αυτή την περίπτωση, το 2, 3 και 5 είναι οι πρώτοι παράγοντες του 30.
-
Ο Ευκλείδης συνειδητοποίησε ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε
-
αυτούς τους πρώτους παράγοντες συγκεκριμένες φορές
-
για να βρούμε τον αρχικό αριθμό.
-
Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει απλά
-
να πολλαπλασιάσουμε κάθε παράγοντα μία φορά για να κατασκευάσουμε το 30.
-
2 φορές το 3 φορές το 5, είναι η παραγοντοποίηση του 30.
-
Σκεφτείτε το σαν ένα ειδικό κωδικό ή συνδυασμό.
-
Δεν υπάρχει άλλος τρόπος να κατασκευάσουμε το 30
-
χρησιμοποιώντας κάποιο άλλο συνολο απο
πρώτους αριθμούς
-
και πολλαπλασιάζοντάς τα μαζί.
-
Οπότε κάθε αριθμός έχει μία
-
και μόνο μία παραγοντοποίηση σε πρώτους αριθμούς.
-
Μία καλή αναλογία είναι να φανταστούμε κάθε αριθμό
-
σαν μία διαφορετική κλειδαριά.
-
Το κλειδί που ανοίγει αυτή την κλειδαριά
-
είναι η παραγοντοποίησή του.
-
Δεν υπάρχουν δύο κλειδαριές που να
ανοίγουν με το ίδιο κλειδί.
-
Δεν υπάρχουν δύο αριθμοί που να έχουν
την ίδια παραγοντοποίηση.
