Φανταστείτε ότι ζούμε σε προϊστορικoύς χρόνους.
Τώρα, σκεφτείτε το εξής:
Πώς μετρούσαμε το πέρασμα του χρόνου χωρίς ρολόι;
Όλα τα ρολόγια βασίζονται σε κάποιο επαναλαμβανόμενο μοτίβο
το οποίο μοιράζει την ροή του χρόνου σε ίσα μέρη.
Για να βρούμε αυτά τα επανα- λαμβανόμενα μοτίβα,
κοιτάμε προς τον ουρανό.
Ο ήλιος που ανατέλει και δύει κάθε μέρα
είναι το προφανές μοτίβο.
Ωστόσο, για να μετρήσουμε το πέρασμα του χρόνου για μεγαλύτερες περιόδους
κοιτάμε για μεγαλύτερης διάρκειας κυκλικά φαινόμενα.
Γι'αυτό, κοιτάξαμε προς το φεγγάρι
το οποίο μοιάζει να μεγαλώνει και να μικραίνει
σταδιακά σε διάστημα πολλών ημερών.
Όταν μετράμε τις μέρες
ανάμεσα σε δύο πανσελήνους,
βρίσκουμε τον αριθμό 29.
Αυτός ο αριθμός είναι η προέλευση του μήνα.
Ωστόσο, αν προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 29 σε ίσα μέρη,
πέφτουμε πάνω σε ένα πρόβλημα: είναι αδύνατο.
Ο μόνος τρόπος να χωρίσουμε το 29 σε ίσα μέρη
είναι να το χωρίσουμε σε μονάδες.
Το 29 είναι πρώτος αριθμός.
Θεωρείστε τον ως αδιάσπαστο.
Άν ένας αριθμός μπορεί να διασπαστεί
σε ίσα μέρη μεγαλύτερα του ενός,
τότε τον λέμε σύνθετο.
Τώρα αν είμαστε περίεργοι, μπορεί να αναρωτηθούμε:
"Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν;
και πόσο μπορούν να αυξηθούν;"
Ας αρχίσουμε διαιρώντας όλους τους αριθμούς σε δύο κατηγορίες.
Παραθέτουμε τους πρώτους στα αριστερά
και τους σύνθετους στα δεξιά.
Αρχικά, μοιάζουν να χορεύουνε πέρα δώθε.
Δεν υπάρχει κάποιο προφανές μοτίβο εδώ.
Οπότε ας χρησιμοποιήσουμε μία σύγχρονη τεχνική
για να δούμε τη μεγαλύτερη εικόνα.
Το κόλπο είναι να χρησιμοποιήσουμε το σπιράλ του Ulam.
Πρώτα παραθέτουμε όλους του αριθμούς στη σειρά
σε αυξανόμενο σπιράλ.
Μετά, χρωματίζουμε όλους τους πρώτους αριθμούς με μπλε.
Τέλος, απομακρυνόμαστε και βλέπουμε εκατομμύρια αριθμούς.
Αυτό είναι το μοτίβο των πρώτων αριθμών
το οποίο συνεχίζεται για πάντα.
Είναι απίστευτο ότι η συνολική δομή αυτού του μοτίβου
δεν έχει λυθεί μέχρι σήμερα.
Υπάρχει λοιπόν κάτι ενδιαφέρον.
Ας μεταφερθούμε λοιπόν
γύρω στο 300 π.χ. στην Αρχαία Ελλάδα.
Ένας φιλόσοφος ονόματι Ευκλείδης ο Αλεξανδρινός
κατάλαβε ότι όλοι οι αριθμοί
μπορούσαν να χωριστούν σε αυτές τις δύο κατηγορίες.
Συνειδητοποίησε ότι κάθε αριθμός
μπορεί να χωριστεί ξανά και ξανά
μέχρι να φτάσουμε σε ένα σύνολο από ίσους μικρούς αριθμούς.
Εξ΄ορισμού, αυτοί οι μικροί αριθμοί
είναι πάντα πρώτοι αριθμοί.
Έτσι, ήξερε ότι όλοι οι αριθμοί
είναι κάπως φτιαγμένοι από μικρότερους πρώτους.
Για να είμαστε ξεκάθαροι, φανταστείτε ένα σύμπαν από όλους τους αριθμούς
και αγνοήστε τους πρώτους.
Τώρα, διαλέξτε έναν σύνθετο αριθμό,
χωρίστε τον σε μικρότερους,
και θα καταλήγετε πάντα με πρώτους αριθμούς.
Έτσι, ο Ευκλείδης ήξερε ότι κάθε αριθμός
μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας ένα σύνολο από μικρότερους πρώτους.
Σκεφτείτε τους ώς ένα σύνολο δομικών στοιχείων.
Ανεξάρτητα με το ποιον αριθμό θα διαλέξεις,
αυτός μπορεί πάντα να κατασκευαστεί με την προσθήκη μικρότερων πρώτων.
Αυτή είναι η βάση αυτής της ανακάλυψης,
γνωστή ώς το " Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής"
οπώς ακολουθεί:
Διαλέξτε εναν αριθμό, ας πούμε το 30,
και βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς
στους οποίους διαιρείται σε ίσα μέρη.
Αυτή η διαδικασία είναι γνωστή ώς παραγοντοποίηση.
Μας δίνει όλους τους πρώτους παράγοντες,
σε αυτή την περίπτωση, το 2, 3 και 5 είναι οι πρώτοι παράγοντες του 30.
Ο Ευκλείδης συνειδητοποίησε ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε
αυτούς τους πρώτους παράγοντες συγκεκριμένες φορές
για να βρούμε τον αρχικό αριθμό.
Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει απλά
να πολλαπλασιάσουμε κάθε παράγοντα μία φορά για να κατασκευάσουμε το 30.
2 φορές το 3 φορές το 5, είναι η παραγοντοποίηση του 30.
Σκεφτείτε το σαν ένα ειδικό κωδικό ή συνδυασμό.
Δεν υπάρχει άλλος τρόπος να κατασκευάσουμε το 30
χρησιμοποιώντας κάποιο άλλο συνολο απο πρώτους αριθμούς
και πολλαπλασιάζοντάς τα μαζί.
Οπότε κάθε αριθμός έχει μία
και μόνο μία παραγοντοποίηση σε πρώτους αριθμούς.
Μία καλή αναλογία είναι να φανταστούμε κάθε αριθμό
σαν μία διαφορετική κλειδαριά.
Το κλειδί που ανοίγει αυτή την κλειδαριά
είναι η παραγοντοποίησή του.
Δεν υπάρχουν δύο κλειδαριές που να ανοίγουν με το ίδιο κλειδί.
Δεν υπάρχουν δύο αριθμοί που να έχουν την ίδια παραγοντοποίηση.