0:00:04.420,0:00:07.221
Φανταστείτε ότι ζούμε σε προϊστορικoύς [br]χρόνους.

0:00:07.221,0:00:09.468
Τώρα, σκεφτείτε το εξής:

0:00:09.468,0:00:12.721
Πώς μετρούσαμε το πέρασμα του χρόνου [br]χωρίς ρολόι;

0:00:12.721,0:00:15.315
Όλα τα ρολόγια βασίζονται σε κάποιο [br]επαναλαμβανόμενο μοτίβο

0:00:15.315,0:00:17.956
το οποίο μοιράζει την ροή του χρόνου [br]σε ίσα μέρη.

0:00:18.897,0:00:20.688
Για να βρούμε αυτά τα επανα- [br]λαμβανόμενα μοτίβα,

0:00:20.688,0:00:22.092
κοιτάμε προς τον ουρανό.

0:00:23.176,0:00:25.180
Ο ήλιος που ανατέλει και δύει κάθε μέρα

0:00:25.180,0:00:26.160
είναι το προφανές μοτίβο.

0:00:26.170,0:00:28.760
Ωστόσο, για να μετρήσουμε το πέρασμα του χρόνου για μεγαλύτερες περιόδους

0:00:28.760,0:00:30.721
κοιτάμε για μεγαλύτερης διάρκειας κυκλικά φαινόμενα.

0:00:31.229,0:00:32.837
Γι'αυτό, κοιτάξαμε προς το φεγγάρι

0:00:32.837,0:00:34.226
το οποίο μοιάζει να μεγαλώνει και να μικραίνει

0:00:34.226,0:00:36.100
σταδιακά σε διάστημα πολλών ημερών.

0:00:36.100,0:00:37.703
Όταν μετράμε τις μέρες

0:00:37.703,0:00:39.306
ανάμεσα σε δύο πανσελήνους,

0:00:39.306,0:00:40.910
βρίσκουμε τον αριθμό 29.

0:00:40.910,0:00:42.833
Αυτός ο αριθμός είναι η προέλευση του μήνα.

0:00:42.833,0:00:45.873
Ωστόσο, αν προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 29 σε ίσα μέρη,

0:00:45.873,0:00:49.227
πέφτουμε πάνω σε ένα πρόβλημα: είναι αδύνατο.

0:00:49.227,0:00:51.676
Ο μόνος τρόπος να χωρίσουμε το 29 σε ίσα μέρη

0:00:51.676,0:00:54.819
είναι να το χωρίσουμε σε μονάδες.

0:00:54.819,0:00:57.102
Το 29 είναι πρώτος αριθμός.

0:00:57.102,0:00:59.061
Θεωρείστε τον ως αδιάσπαστο.

0:00:59.061,0:01:00.914
Άν ένας αριθμός μπορεί να διασπαστεί

0:01:00.914,0:01:02.767
σε ίσα μέρη μεγαλύτερα του ενός,

0:01:02.767,0:01:04.621
τότε τον λέμε σύνθετο.

0:01:04.621,0:01:06.608
Τώρα αν είμαστε περίεργοι, μπορεί να αναρωτηθούμε:

0:01:06.608,0:01:08.450
"Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν;

0:01:08.450,0:01:10.398
και πόσο μπορούν να αυξηθούν;"

0:01:10.398,0:01:13.744
Ας αρχίσουμε διαιρώντας όλους τους αριθμούς σε δύο κατηγορίες.

0:01:13.744,0:01:15.611
Παραθέτουμε τους πρώτους στα αριστερά

0:01:15.611,0:01:17.648
και τους σύνθετους στα δεξιά.

0:01:17.648,0:01:20.379
Αρχικά, μοιάζουν να χορεύουνε πέρα δώθε.

0:01:20.379,0:01:23.017
Δεν υπάρχει κάποιο προφανές μοτίβο εδώ.

0:01:23.017,0:01:24.439
Οπότε ας χρησιμοποιήσουμε μία σύγχρονη τεχνική

0:01:24.439,0:01:26.077
για να δούμε τη μεγαλύτερη εικόνα.

0:01:26.077,0:01:29.047
Το κόλπο είναι να χρησιμοποιήσουμε το σπιράλ του Ulam.

0:01:29.047,0:01:32.011
Πρώτα παραθέτουμε όλους του αριθμούς στη σειρά

0:01:32.011,0:01:34.043
σε αυξανόμενο σπιράλ.

0:01:34.043,0:01:37.164
Μετά, χρωματίζουμε όλους τους πρώτους αριθμούς με μπλε.

0:01:37.164,0:01:41.290
Τέλος, απομακρυνόμαστε και βλέπουμε εκατομμύρια αριθμούς.

0:01:41.290,0:01:42.860
Αυτό είναι το μοτίβο των πρώτων αριθμών

0:01:42.860,0:01:45.365
το οποίο συνεχίζεται για πάντα.

0:01:45.365,0:01:47.967
Είναι απίστευτο ότι η συνολική δομή αυτού του μοτίβου

0:01:47.967,0:01:50.314
δεν έχει λυθεί μέχρι σήμερα.

0:01:50.314,0:01:51.843
Υπάρχει λοιπόν κάτι ενδιαφέρον.

0:01:51.843,0:01:52.987
Ας μεταφερθούμε λοιπόν

0:01:52.987,0:01:55.526
γύρω στο 300 π.χ. στην Αρχαία Ελλάδα.

0:01:55.526,0:01:58.183
Ένας φιλόσοφος ονόματι Ευκλείδης ο Αλεξανδρινός

0:01:58.183,0:01:59.411
κατάλαβε ότι όλοι οι αριθμοί

0:01:59.411,0:02:02.607
μπορούσαν να χωριστούν σε αυτές τις δύο κατηγορίες.

0:02:02.607,0:02:04.896
Συνειδητοποίησε ότι κάθε αριθμός

0:02:04.896,0:02:07.078
μπορεί να χωριστεί ξανά και ξανά

0:02:07.078,0:02:10.599
μέχρι να φτάσουμε σε ένα σύνολο από ίσους μικρούς αριθμούς.

0:02:10.599,0:02:12.921
Εξ΄ορισμού, αυτοί οι μικροί αριθμοί

0:02:12.921,0:02:15.760
είναι πάντα πρώτοι αριθμοί.

0:02:15.760,0:02:17.148
Έτσι, ήξερε ότι όλοι οι αριθμοί

0:02:17.148,0:02:20.542
είναι κάπως φτιαγμένοι από μικρότερους πρώτους.

0:02:20.542,0:02:23.317
Για να είμαστε ξεκάθαροι, φανταστείτε ένα σύμπαν από όλους τους αριθμούς

0:02:23.317,0:02:25.674
και αγνοήστε τους πρώτους.

0:02:25.674,0:02:28.234
Τώρα, διαλέξτε έναν σύνθετο αριθμό,

0:02:28.234,0:02:30.794
χωρίστε τον σε μικρότερους,

0:02:30.794,0:02:33.354
και θα καταλήγετε πάντα με πρώτους αριθμούς.

0:02:33.354,0:02:34.774
Έτσι, ο Ευκλείδης ήξερε ότι κάθε αριθμός

0:02:34.774,0:02:37.675
μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας [br]ένα σύνολο από μικρότερους πρώτους.

0:02:37.675,0:02:40.221
Σκεφτείτε τους ώς ένα σύνολο δομικών στοιχείων.

0:02:40.221,0:02:41.996
Ανεξάρτητα με το ποιον αριθμό θα διαλέξεις,

0:02:41.996,0:02:46.157
αυτός μπορεί πάντα να κατασκευαστεί [br]με την προσθήκη μικρότερων πρώτων.

0:02:46.157,0:02:48.032
Αυτή είναι η βάση αυτής της ανακάλυψης,

0:02:48.032,0:02:50.723
γνωστή ώς το " Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής"

0:02:50.983,0:02:52.282
οπώς ακολουθεί: [br]

0:02:52.282,0:02:54.141
Διαλέξτε εναν αριθμό, ας πούμε το 30,

0:02:54.141,0:02:55.501
και βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς

0:02:55.501,0:02:57.233
στους οποίους διαιρείται σε ίσα μέρη.

0:02:57.233,0:02:59.763
Αυτή η διαδικασία είναι γνωστή ώς παραγοντοποίηση.

0:02:59.763,0:03:01.624
Μας δίνει όλους τους πρώτους παράγοντες,

0:03:01.624,0:03:05.811
σε αυτή την περίπτωση, το 2, 3 και 5 είναι οι πρώτοι παράγοντες του 30.

0:03:05.811,0:03:07.906
Ο Ευκλείδης συνειδητοποίησε ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε

0:03:07.906,0:03:10.714
αυτούς τους πρώτους παράγοντες συγκεκριμένες φορές

0:03:10.714,0:03:12.739
για να βρούμε τον αρχικό αριθμό.

0:03:12.739,0:03:13.780
Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει απλά

0:03:13.780,0:03:16.178
να πολλαπλασιάσουμε κάθε παράγοντα μία φορά για να κατασκευάσουμε το 30.

0:03:16.178,0:03:20.158
2 φορές το 3 φορές το 5, είναι η παραγοντοποίηση του 30.

0:03:20.158,0:03:23.153
Σκεφτείτε το σαν ένα ειδικό κωδικό ή συνδυασμό.

0:03:23.153,0:03:24.887
Δεν υπάρχει άλλος τρόπος να κατασκευάσουμε το 30

0:03:24.887,0:03:27.110
χρησιμοποιώντας κάποιο άλλο συνολο απο[br]πρώτους αριθμούς

0:03:27.110,0:03:28.792
και πολλαπλασιάζοντάς τα μαζί.

0:03:28.792,0:03:31.276
Οπότε κάθε αριθμός έχει μία

0:03:31.276,0:03:34.046
και μόνο μία παραγοντοποίηση σε πρώτους αριθμούς.

0:03:34.046,0:03:36.299
Μία καλή αναλογία είναι να φανταστούμε κάθε αριθμό

0:03:36.299,0:03:38.017
σαν μία διαφορετική κλειδαριά.

0:03:38.033,0:03:39.722
Το κλειδί που ανοίγει αυτή την κλειδαριά

0:03:39.722,0:03:42.054
είναι η παραγοντοποίησή του.

0:03:42.054,0:03:43.937
Δεν υπάρχουν δύο κλειδαριές που να [br]ανοίγουν με το ίδιο κλειδί.

0:03:43.937,0:03:47.889
Δεν υπάρχουν δύο αριθμοί που να έχουν[br]την ίδια παραγοντοποίηση.