Trig Implicit Differentiation Example

Implicit differentiation example that involves the tangent function

Jag har blivit ombedd att implicit derivera ekvationen

tangens av x delat med y är lika med x plus y.

Jag har gjort ett flertal videor om implicit derivering, men

det här ämnet brukar vara en av de största källorna till smärta för

studenter som studerar kalkyl första året.

Så, därför tänkte jag ge minst ett till exempel.

Det skadar aldrig att se så många som möjligt.

Så låt oss göra detta.

För att implicit derivera det här, så tillämpar vi

derivatan med avseende på x på båda sidorna

av ekvationen.

Derivatan med detta avseende på x - derivatan

av vänstra sidan med avseende på x är lika med

derivatan av den högra sidan med avseende på x.

Det högra ledet kommer att vara väldigt enkelt, men

det vänstra ledet är lite knepigt.

Så vi gör det här på sidan.

Låt mig skriva om det vänstra ledet på ett enklare sätt.

Jag kommer att göra det i en annan färg.

Jag kommer att säga att a är lika med tangens av b.

Och låt mig säga att b är lika med x över y.

Då är a naturligtvis samma sak.

Om jag skulle gå tillbaka och ersätta b, så hade jag kunnat

uttrycka det här som a istället.

Så om vi tar derivatan av a med avseende

på x, det är det vi ska göra här.

Låt mig bara hitta derivatan av båda leden.

Detta skulle vara derivat av en med avseende på x är lika med

derivatan av x med avseende på x.

Det är ju ganska enkelt, det blir bara 1.

Plus derivatan av y med avseende på x.

Så, låt mig skriva det så här.

???

av y med avseende på x.

Det är allt vi gjorde.

Vi tillämpade bara ??? till y, och vi

vet inte vad det här är, vi ska lösa det.

Men uppenbarligen så kan jag inte bara lämna uttrycket så här, derivatan

av a med avseende på x.

Vi hittade precis a, och a är bara uttrycket

här, eller hur?

a är lika med tangens av b, och b är lika med y delat med x.

Anledningen till att jag skrev det såhär är för att jag ville visa

dig att när du tar derivatan av det här uttrycket, så kommer

det bara ut ur kedjeregeln.

Det är inte någon sorts voodoo-magi som du

inte har lärt dig ännu.

Så, till derivatan - låt mig skriva ner

kedjeregeln här.

Derivatan av a med avseende på x är lika med

derivatan av a med avseende på b multiplicerat med derivatan

av b med avseende på x.

Här använder vi bara kedjeregeln och den är väldigt lätt att komma ihåg,

eftersom att de två "db" tar ut varandra och det enda du har kvar är

derivatan av a med avseende på x, om du bara bearbetar dem

som vanliga bråktal.

Så, vad är derivatan av a med avseende på b?

Ja, det blir bara 1 över cosinus kvadrat av b.

Om du inte kan komma ihåg det här, så är det faktiskt inte

så svårt att bevisa det här för dig själv om du bara skriver om det här som sinus

av b delat med cosinus av b, men det här är en av de derivator

till trigonometriska funktioner som de flesta brukar komma ihåg.

Jag tror att jag redan har gjort en video där jag bevisade det här.

Vissa böcker skriver fortfarande om det här

vet att Sekant kvadratvärdet är samma sak som 1 över

cosinus kvadrat.

Jag vill hålla in natura om de grundläggande trig-funktionerna,

eller trig förhållanden i motsats till saker som Sekant

och cosecant.

Vad är derivat av b med avseende på x?

Så är det ganska intressant.

Låt mig skriva b, faktiskt.

Låt mig skriva b är lika med x gånger y till minus 1.

Så derivat av b med avseende på x, skulle vi kunna göra en

liten bit av kedjan regel just här.

Vi skulle kunna säga--Låt mig skriva--derivat av b

med avseende på x är lika med derivatan av x gånger

y till negativa 1.

Derivatan av x är 1.

gånger y de negativa 1 plus derivat av y--så

Låt mig bara skriva detta.

Plus derivat med avseende på x av y

Det minus 1 gånger första mandatperiod, alltid x.

Så här sak rätt här, och klart jag har inte helt

förenklad ännu.

Jag har fortfarande att räkna ut vad denna sak är här.

Men jag bara använt produkten regeln här.

Din derivat av första mandatperiod, derivat i x är 1

gånger den andra termen plus derivat av andra

Termen gånger första mandatperiod.

Det är allt jag gjorde det inte.

Derivat av b med avseende på x är alltså bara

denna sak rätt där.

Så det är lika med--Låt mig göra det i gula--så det är gånger--

Åh, ska jag göra det i blå eftersom jag skrev det redan.

Detta är blå är derivat av b med avseende på x y till den

minus 1 eller 1 över y plus derivat med avseende på

x 1 över y gånger x.

Så låt mig skriva som här nere.

Så vi tänkte bara, eller om vi är nästan klar kvantitetsenheter

ut, vilka derivatan av en med avseende på x är, och vi

kunde kasta som finns.

Men vi är inte klar.

Vad är derivat av 1 över y med avseende på x?

Tja, göra regeln kedjan igen.

Och jag vill vara mycket tydliga med detta.

Jag vet att detta kan verka lite besvärlig vad jag gör

här, men jag tror att det kan göra lite känsla.

Låt mig bara ställa in c är lika med 1 över y.

Så bara för derivat av c med avseende på x, från den

kedja regeln, är lika med derivat av c med respekt

till y gånger derivat av y på x.

Vad är derivat av c med avseende på y?

Även är detta samma sak som--jag kunde skriva

Detta är y till minus 1.

Det är alltså minus y minus 2 makt.

Det är vad detta är.

Denna sak är att direkt.

Och jag vet inte vad derivatan av y med

respekt till x är.

Det är vad vi försöker lösa för.

Så det är som alltid derivat av y

med avseende på x.

Bara kommer ut av regeln om kedjan.

Så här sak rätt här, är detta derivat av denna sak

med avseende på x, vilket är samma sak som derivat

c med avseende på x.

Så jag kan skriva detta lilla stycke här, kan jag

skriva detta lilla stycke minus y till minus 2 dy

DX, och sedan naturligtvis finns alltid x.

Och sedan hade vi det plus 1 över y, och allt detta var gånger

1 över cosinus squared b.

Så lite bra nu vi har förenklat detta.

Jag hoppas att gå in på kedjan regeln inte förvirrar för dig,

eftersom jag verkligen vill träffa punkten hem som alla

problemen underförstådd differentiering dessa dy dx är bara

inte, det är inte någon regel som du bör hålla i minnet.

De kommer naturligt från kedjan regeln.

Så löste vi da dx, som är lika med detta

uttryck just här.

Låt mig skriva det, det är lika med 1 över cosinus squared b.

Vad är väl b?

Jag skrev det är cos x över y.

Cosinus squared x över y gånger alla här grejer över

gånger här, alla här röran.

1 över y plus, eller kanske jag ska säga minus, minus--om jag

bara förenkla detta, detta är x över y squared gånger dy dx.

Då är det lika med höger sida.

Det är lika med 1 plus dy dx.

Och nu är allt vi behöver göra är att lösa för dy dx.

Så låt mig bara granska hur vi har kommit hit.

Jag gick igenom kedjan regeln vid varje steg på vägen, men

När du får en introduktion till det, kan du bokstavligen bara gå

rakt ner på det viset.

Det sättet som du tycker om det är--högra hand

sida som jag tror du får den.

Derivatan av x är 1, derivat av y med respekt

för x är det väl bara dy dx.

Men den vänstra sidan, du ta derivat av

hela med avseende på x över y.

Så det är bara derivat av tangens är 1 över

cosinus kvadrat.

Det är alltså 1 över cosinus squared x över y, och du multiplicera

som gånger derivatan av x över y med avseende på x.

Och derivatan av x över y med avseende på x är den

derivat av-- och det blir komplicerat, det är därför det har

bra att göra det på sidan här-- men det är derivat av

x, som är 1 gånger 1 över y.

Vilken är denna termin plus derivat av 1 över y med

respekt till X, som är minus 1 över y squared dy dx, från

regeln kedjan gånger dx.

Det är därför det var bra att göra till sidan så vi inte

göra en slarvig misstag.

Men när du vänjer det du faktiskt kan göra det i ditt

chef, och naturligtvis, som är lika med den högra sidan.

Så är här på ut det bara ren algebra.

Bara för att lösa för våra dy dx.

Så ett bra ställe att börja är att multiplicera båda sidor av detta

ekvation gånger cosinus squared x över y.

Så uppenbart som ska vända sig till 1 på denna sida.

Och den vänstra sidan kommer att vara 1 över y minus x över y squared

dy dx är lika med--jag har att multiplicera både sida av den

ekvationen gånger denna nämnare här--är lika med

cosinus squared x över y plus cosinus kvadrat av

x över y dy dx.

Nu kan vad vi göra.

Vi kan ta bort denna cosinus squared x över y från båda

sidor av ekvationen, och vi får 1 över y minus cosinus

squared x över y.

Allt jag gjorde jag dras det från båda sidor av den

ekvation, så i huvudsak jag flyttade till den

den vänstra sidan.

Vad jag försöker göra är kommer jag att försöka skilja på

icke dy dx termer från dy dx termer.

Så vill jag föra denna dy dx sikt

till höger.

Så låt mig lägga till x över y squared dy dx för båda sidor.

Så det är lika med x över y--Låt mig skriva som den

färg som ursprungligen skrev jag det i en något

olika färg.

Så det är x över y squared--ska jag skriva dy dx i orange.

dy dx, och sedan du har denna termin plus cosinus squared

x över y dy dx.

Jag tror att vi arbetar i hem-stretch.

Låt oss faktor här dy dx ut från höger sida.

Så detta är lika med dy dx gånger x över y kvadraten plus

cosinus squared x över y.

Och som är lika med denna sak här, det är lika med

1 över y minus cosinus squared x över y.

För att lösa för dy dx, nu vi bara att dela upp båda sidor av

denna ekvation av detta uttryck just här.

Och sedan vad vi får?

Vi får, om vi bara delar båda sidor genom att vi får 1 över y

minus cosinus squared x över y dividerat med detta hela

verksamhet rätt.

x över y kvadrat plus cosinus squared x över y är

motsvarar våra dy dx.

Och sedan vi är klar.

Vi tillämpas bara regeln kedjan flera gånger och vi kunde

att skilja implicit tangens för y över x är

lika med x och y.

Den hårda del verkligen är att få till detta steg just här.

Efter detta steg är det bokstavligen bara ren algebra bara att lösa

för dy dx och sedan få svaret direkt.

Hur som helst, förhoppningsvis du hittat som användbar.