0:00:00.430,0:00:04.050
Jag har blivit ombedd att implicit derivera ekvationen

0:00:04.050,0:00:10.390
tangens av x delat med y är lika med x plus y.

0:00:10.390,0:00:14.150
Jag har gjort ett flertal videor om implicit derivering, men

0:00:14.150,0:00:17.440
det här ämnet brukar vara en av de största källorna till smärta för

0:00:17.440,0:00:18.720
studenter som studerar kalkyl första året.

0:00:18.720,0:00:21.040
Så, därför tänkte jag ge minst ett till exempel.

0:00:21.040,0:00:22.860
Det skadar aldrig att se så många som möjligt.

0:00:22.860,0:00:24.290
Så låt oss göra detta.

0:00:24.290,0:00:26.680
För att implicit derivera det här, så tillämpar vi

0:00:26.680,0:00:29.363
derivatan med avseende på x på båda sidorna

0:00:29.363,0:00:29.970
av ekvationen.

0:00:29.970,0:00:33.290
Derivatan med detta avseende på x - derivatan

0:00:33.290,0:00:35.420
av vänstra sidan med avseende på x är lika med

0:00:35.420,0:00:40.580
derivatan av den högra sidan med avseende på x.

0:00:40.580,0:00:42.790
Det högra ledet kommer att vara väldigt enkelt, men

0:00:42.790,0:00:44.770
det vänstra ledet är lite knepigt.

0:00:44.770,0:00:47.380
Så vi gör det här på sidan.

0:00:47.380,0:00:52.020
Låt mig skriva om det vänstra ledet på ett enklare sätt.

0:00:52.020,0:00:52.990
Jag kommer att göra det i en annan färg.

0:00:52.990,0:01:00.410
Jag kommer att säga att a är lika med tangens av b.

0:01:00.410,0:01:09.380
Och låt mig säga att b är lika med x över y.

0:01:09.380,0:01:11.620
Då är a naturligtvis samma sak.

0:01:11.620,0:01:14.860
Om jag skulle gå tillbaka och ersätta b, så hade jag kunnat

0:01:14.860,0:01:18.090
uttrycka det här som a istället.

0:01:18.090,0:01:20.930
Så om vi tar derivatan av a med avseende

0:01:20.930,0:01:23.740
på x, det är det vi ska göra här.

0:01:23.740,0:01:26.570
Låt mig bara hitta derivatan av båda leden.

0:01:26.570,0:01:36.500
Detta skulle vara derivat av en med avseende på x är lika med

0:01:36.500,0:01:38.610
derivatan av x med avseende på x.

0:01:38.610,0:01:41.210
Det är ju ganska enkelt, det blir bara 1.

0:01:41.210,0:01:44.390
Plus derivatan av y med avseende på x.

0:01:44.390,0:01:45.430
Så, låt mig skriva det så här.

0:01:45.430,0:01:48.820
???

0:01:48.820,0:01:53.770
av y med avseende på x.

0:01:53.770,0:01:54.350
Det är allt vi gjorde.

0:01:54.350,0:01:56.520
Vi tillämpade bara ??? till y, och vi

0:01:56.520,0:01:58.650
vet inte vad det här är, vi ska lösa det.

0:01:58.650,0:02:01.180
Men uppenbarligen så kan jag inte bara lämna uttrycket så här, derivatan

0:02:01.180,0:02:02.360
av a med avseende på x.

0:02:02.360,0:02:04.610
Vi hittade precis a, och a är bara uttrycket

0:02:04.610,0:02:05.930
här, eller hur?

0:02:05.930,0:02:09.450
a är lika med tangens av b, och b är lika med y delat med x.

0:02:09.450,0:02:11.730
Anledningen till att jag skrev det såhär är för att jag ville visa

0:02:11.730,0:02:14.870
dig att när du tar derivatan av det här uttrycket, så kommer

0:02:14.870,0:02:16.500
det bara ut ur kedjeregeln.

0:02:16.500,0:02:18.840
Det är inte någon sorts voodoo-magi som du

0:02:18.840,0:02:20.090
inte har lärt dig ännu.

0:02:20.090,0:02:22.200
Så, till derivatan - låt mig skriva ner

0:02:22.200,0:02:23.990
kedjeregeln här.

0:02:23.990,0:02:30.930
Derivatan av a med avseende på x är lika med

0:02:30.930,0:02:35.280
derivatan av a med avseende på b multiplicerat med derivatan

0:02:35.280,0:02:37.580
av b med avseende på x.

0:02:37.580,0:02:39.720
Här använder vi bara kedjeregeln och den är väldigt lätt att komma ihåg,

0:02:39.720,0:02:43.040
eftersom att de två "db" tar ut varandra och det enda du har kvar är

0:02:43.040,0:02:45.800
derivatan av a med avseende på x, om du bara bearbetar dem

0:02:45.800,0:02:47.470
som vanliga bråktal.

0:02:47.470,0:02:50.275
Så, vad är derivatan av a med avseende på b?

0:02:55.020,0:03:01.570
Ja, det blir bara 1 över cosinus kvadrat av b.

0:03:01.570,0:03:03.570
Om du inte kan komma ihåg det här, så är det faktiskt inte

0:03:03.570,0:03:07.400
så svårt att bevisa det här för dig själv om du bara skriver om det här som sinus

0:03:07.400,0:03:10.670
av b delat med cosinus av b, men det här är en av de derivator

0:03:10.670,0:03:12.130
till trigonometriska funktioner som de flesta brukar komma ihåg.

0:03:12.130,0:03:14.230
Jag tror att jag redan har gjort en video där jag bevisade det här.

0:03:14.230,0:03:16.840
Vissa böcker skriver fortfarande om det här

0:03:16.840,0:03:19.070
vet att Sekant kvadratvärdet är samma sak som 1 över

0:03:19.070,0:03:20.340
cosinus kvadrat.

0:03:20.340,0:03:25.320
Jag vill hålla in natura om de grundläggande trig-funktionerna,

0:03:25.320,0:03:27.360
eller trig förhållanden i motsats till saker som Sekant

0:03:27.360,0:03:28.490
och cosecant.

0:03:28.490,0:03:31.090
Vad är derivat av b med avseende på x?

0:03:37.030,0:03:38.260
Så är det ganska intressant.

0:03:38.260,0:03:39.710
Låt mig skriva b, faktiskt.

0:03:39.710,0:03:45.730
Låt mig skriva b är lika med x gånger y till minus 1.

0:03:45.730,0:03:48.520
Så derivat av b med avseende på x, skulle vi kunna göra en

0:03:48.520,0:03:50.470
liten bit av kedjan regel just här.

0:03:50.470,0:03:53.680
Vi skulle kunna säga--Låt mig skriva--derivat av b

0:03:53.680,0:03:57.530
med avseende på x är lika med derivatan av x gånger

0:03:57.530,0:03:58.790
y till negativa 1.

0:03:58.790,0:04:01.300
Derivatan av x är 1.

0:04:01.300,0:04:07.360
gånger y de negativa 1 plus derivat av y--så

0:04:07.360,0:04:08.030
Låt mig bara skriva detta.

0:04:08.030,0:04:12.320
Plus derivat med avseende på x av y

0:04:12.320,0:04:17.930
Det minus 1 gånger första mandatperiod, alltid x.

0:04:17.930,0:04:20.470
Så här sak rätt här, och klart jag har inte helt

0:04:20.470,0:04:21.190
förenklad ännu.

0:04:21.190,0:04:22.890
Jag har fortfarande att räkna ut vad denna sak är här.

0:04:22.890,0:04:25.010
Men jag bara använt produkten regeln här.

0:04:25.010,0:04:27.990
Din derivat av första mandatperiod, derivat i x är 1

0:04:27.990,0:04:30.380
gånger den andra termen plus derivat av andra

0:04:30.380,0:04:31.310
Termen gånger första mandatperiod.

0:04:31.310,0:04:32.700
Det är allt jag gjorde det inte.

0:04:32.700,0:04:35.170
Derivat av b med avseende på x är alltså bara

0:04:35.170,0:04:36.560
denna sak rätt där.

0:04:36.560,0:04:42.290
Så det är lika med--Låt mig göra det i gula--så det är gånger--

0:04:42.290,0:04:43.520
Åh, ska jag göra det i blå eftersom jag skrev det redan.

0:04:43.520,0:04:47.290
Detta är blå är derivat av b med avseende på x y till den

0:04:47.290,0:04:52.580
minus 1 eller 1 över y plus derivat med avseende på

0:04:52.580,0:04:59.590
x 1 över y gånger x.

0:04:59.590,0:05:01.180
Så låt mig skriva som här nere.

0:05:01.180,0:05:04.330
Så vi tänkte bara, eller om vi är nästan klar kvantitetsenheter

0:05:04.330,0:05:07.400
ut, vilka derivatan av en med avseende på x är, och vi

0:05:07.400,0:05:08.450
kunde kasta som finns.

0:05:08.450,0:05:09.230
Men vi är inte klar.

0:05:09.230,0:05:12.280
Vad är derivat av 1 över y med avseende på x?

0:05:12.280,0:05:14.990
Tja, göra regeln kedjan igen.

0:05:17.520,0:05:18.830
Och jag vill vara mycket tydliga med detta.

0:05:18.830,0:05:21.570
Jag vet att detta kan verka lite besvärlig vad jag gör

0:05:21.570,0:05:24.020
här, men jag tror att det kan göra lite känsla.

0:05:24.020,0:05:28.390
Låt mig bara ställa in c är lika med 1 över y.

0:05:28.390,0:05:32.550
Så bara för derivat av c med avseende på x, från den

0:05:32.550,0:05:35.580
kedja regeln, är lika med derivat av c med respekt

0:05:35.580,0:05:40.090
till y gånger derivat av y på x.

0:05:40.090,0:05:43.140
Vad är derivat av c med avseende på y?

0:05:43.140,0:05:44.930
Även är detta samma sak som--jag kunde skriva

0:05:44.930,0:05:46.350
Detta är y till minus 1.

0:05:46.350,0:05:51.160
Det är alltså minus y minus 2 makt.

0:05:51.160,0:05:52.910
Det är vad detta är.

0:05:52.910,0:05:55.740
Denna sak är att direkt.

0:05:55.740,0:05:57.220
Och jag vet inte vad derivatan av y med

0:05:57.220,0:05:58.020
respekt till x är.

0:05:58.020,0:05:59.690
Det är vad vi försöker lösa för.

0:05:59.690,0:06:02.390
Så det är som alltid derivat av y

0:06:02.390,0:06:03.540
med avseende på x.

0:06:03.540,0:06:05.340
Bara kommer ut av regeln om kedjan.

0:06:05.340,0:06:11.400
Så här sak rätt här, är detta derivat av denna sak

0:06:11.400,0:06:13.830
med avseende på x, vilket är samma sak som derivat

0:06:13.830,0:06:15.770
c med avseende på x.

0:06:15.770,0:06:19.210
Så jag kan skriva detta lilla stycke här, kan jag

0:06:19.210,0:06:25.240
skriva detta lilla stycke minus y till minus 2 dy

0:06:25.240,0:06:28.910
DX, och sedan naturligtvis finns alltid x.

0:06:28.910,0:06:33.910
Och sedan hade vi det plus 1 över y, och allt detta var gånger

0:06:33.910,0:06:38.050
1 över cosinus squared b.

0:06:38.050,0:06:40.660
Så lite bra nu vi har förenklat detta.

0:06:40.660,0:06:42.840
Jag hoppas att gå in på kedjan regeln inte förvirrar för dig,

0:06:42.840,0:06:45.020
eftersom jag verkligen vill träffa punkten hem som alla

0:06:45.020,0:06:48.320
problemen underförstådd differentiering dessa dy dx är bara

0:06:48.320,0:06:50.570
inte, det är inte någon regel som du bör hålla i minnet.

0:06:50.570,0:06:52.890
De kommer naturligt från kedjan regeln.

0:06:52.890,0:06:56.930
Så löste vi da dx, som är lika med detta

0:06:56.930,0:06:59.230
uttryck just här.

0:06:59.230,0:07:07.130
Låt mig skriva det, det är lika med 1 över cosinus squared b.

0:07:07.130,0:07:07.880
Vad är väl b?

0:07:07.880,0:07:10.640
Jag skrev det är cos x över y.

0:07:10.640,0:07:16.920
Cosinus squared x över y gånger alla här grejer över

0:07:16.920,0:07:19.840
gånger här, alla här röran.

0:07:19.840,0:07:25.670
1 över y plus, eller kanske jag ska säga minus, minus--om jag

0:07:25.670,0:07:32.486
bara förenkla detta, detta är x över y squared gånger dy dx.

0:07:36.660,0:07:39.000
Då är det lika med höger sida.

0:07:39.000,0:07:48.490
Det är lika med 1 plus dy dx.

0:07:48.490,0:07:51.420
Och nu är allt vi behöver göra är att lösa för dy dx.

0:07:51.420,0:07:53.990
Så låt mig bara granska hur vi har kommit hit.

0:07:53.990,0:07:56.300
Jag gick igenom kedjan regeln vid varje steg på vägen, men

0:07:56.300,0:07:58.170
När du får en introduktion till det, kan du bokstavligen bara gå

0:07:58.170,0:07:59.360
rakt ner på det viset.

0:07:59.360,0:08:01.380
Det sättet som du tycker om det är--högra hand

0:08:01.380,0:08:02.033
sida som jag tror du får den.

0:08:02.033,0:08:04.380
Derivatan av x är 1, derivat av y med respekt

0:08:04.380,0:08:06.560
för x är det väl bara dy dx.

0:08:06.560,0:08:09.010
Men den vänstra sidan, du ta derivat av

0:08:09.010,0:08:11.630
hela med avseende på x över y.

0:08:11.630,0:08:14.100
Så det är bara derivat av tangens är 1 över

0:08:14.100,0:08:15.020
cosinus kvadrat.

0:08:15.020,0:08:18.620
Det är alltså 1 över cosinus squared x över y, och du multiplicera

0:08:18.620,0:08:23.530
som gånger derivatan av x över y med avseende på x.

0:08:23.530,0:08:26.770
Och derivatan av x över y med avseende på x är den

0:08:26.770,0:08:28.970
derivat av-- och det blir komplicerat, det är därför det har

0:08:28.970,0:08:31.590
bra att göra det på sidan här-- men det är derivat av

0:08:31.590,0:08:34.150
x, som är 1 gånger 1 över y.

0:08:34.150,0:08:39.680
Vilken är denna termin plus derivat av 1 över y med

0:08:39.680,0:08:44.200
respekt till X, som är minus 1 över y squared dy dx, från

0:08:44.200,0:08:46.620
regeln kedjan gånger dx.

0:08:46.620,0:08:48.140
Det är därför det var bra att göra till sidan så vi inte

0:08:48.140,0:08:49.360
göra en slarvig misstag.

0:08:49.360,0:08:51.410
Men när du vänjer det du faktiskt kan göra det i ditt

0:08:51.410,0:08:53.980
chef, och naturligtvis, som är lika med den högra sidan.

0:08:53.980,0:08:56.520
Så är här på ut det bara ren algebra.

0:08:56.520,0:08:59.140
Bara för att lösa för våra dy dx.

0:08:59.140,0:09:01.490
Så ett bra ställe att börja är att multiplicera båda sidor av detta

0:09:01.490,0:09:04.910
ekvation gånger cosinus squared x över y.

0:09:04.910,0:09:07.420
Så uppenbart som ska vända sig till 1 på denna sida.

0:09:07.420,0:09:14.970
Och den vänstra sidan kommer att vara 1 över y minus x över y squared

0:09:14.970,0:09:23.690
dy dx är lika med--jag har att multiplicera både sida av den

0:09:23.690,0:09:26.730
ekvationen gånger denna nämnare här--är lika med

0:09:26.730,0:09:32.530
cosinus squared x över y plus cosinus kvadrat av

0:09:32.530,0:09:35.190
x över y dy dx.

0:09:39.420,0:09:40.190
Nu kan vad vi göra.

0:09:40.190,0:09:44.210
Vi kan ta bort denna cosinus squared x över y från båda

0:09:44.210,0:09:52.110
sidor av ekvationen, och vi får 1 över y minus cosinus

0:09:52.110,0:09:53.710
squared x över y.

0:09:53.710,0:09:55.780
Allt jag gjorde jag dras det från båda sidor av den

0:09:55.780,0:09:57.590
ekvation, så i huvudsak jag flyttade till den

0:09:57.590,0:09:59.040
den vänstra sidan.

0:09:59.040,0:10:01.040
Vad jag försöker göra är kommer jag att försöka skilja på

0:10:01.040,0:10:04.810
icke dy dx termer från dy dx termer.

0:10:04.810,0:10:06.750
Så vill jag föra denna dy dx sikt

0:10:06.750,0:10:07.950
till höger.

0:10:07.950,0:10:11.550
Så låt mig lägga till x över y squared dy dx för båda sidor.

0:10:11.550,0:10:17.260
Så det är lika med x över y--Låt mig skriva som den

0:10:17.260,0:10:21.070
färg som ursprungligen skrev jag det i en något

0:10:21.070,0:10:21.470
olika färg.

0:10:21.470,0:10:27.110
Så det är x över y squared--ska jag skriva dy dx i orange.

0:10:27.110,0:10:34.120
dy dx, och sedan du har denna termin plus cosinus squared

0:10:34.120,0:10:36.880
x över y dy dx.

0:10:40.950,0:10:43.000
Jag tror att vi arbetar i hem-stretch.

0:10:43.000,0:10:46.410
Låt oss faktor här dy dx ut från höger sida.

0:10:46.410,0:10:56.770
Så detta är lika med dy dx gånger x över y kvadraten plus

0:10:56.770,0:11:01.220
cosinus squared x över y.

0:11:01.220,0:11:04.180
Och som är lika med denna sak här, det är lika med

0:11:04.180,0:11:09.250
1 över y minus cosinus squared x över y.

0:11:09.250,0:11:12.240
För att lösa för dy dx, nu vi bara att dela upp båda sidor av

0:11:12.240,0:11:15.450
denna ekvation av detta uttryck just här.

0:11:15.450,0:11:16.900
Och sedan vad vi får?

0:11:16.900,0:11:21.970
Vi får, om vi bara delar båda sidor genom att vi får 1 över y

0:11:21.970,0:11:27.210
minus cosinus squared x över y dividerat med detta hela

0:11:27.210,0:11:28.720
verksamhet rätt.

0:11:28.720,0:11:36.190
x över y kvadrat plus cosinus squared x över y är

0:11:36.190,0:11:42.150
motsvarar våra dy dx.

0:11:42.150,0:11:43.370
Och sedan vi är klar.

0:11:43.370,0:11:46.460
Vi tillämpas bara regeln kedjan flera gånger och vi kunde

0:11:46.460,0:11:50.600
att skilja implicit tangens för y över x är

0:11:50.600,0:11:51.600
lika med x och y.

0:11:51.600,0:11:55.980
Den hårda del verkligen är att få till detta steg just här.

0:11:55.980,0:11:59.470
Efter detta steg är det bokstavligen bara ren algebra bara att lösa

0:11:59.470,0:12:04.730
för dy dx och sedan få svaret direkt.

0:12:04.730,0:12:07.380
Hur som helst, förhoppningsvis du hittat som användbar.