1
00:00:00,430 --> 00:00:04,050
Jag har blivit ombedd att implicit derivera ekvationen

2
00:00:04,050 --> 00:00:10,390
tangens av x delat med y är lika med x plus y.

3
00:00:10,390 --> 00:00:14,150
Jag har gjort ett flertal videor om implicit derivering, men

4
00:00:14,150 --> 00:00:17,440
det här ämnet brukar vara en av de största källorna till smärta för

5
00:00:17,440 --> 00:00:18,720
studenter som studerar kalkyl första året.

6
00:00:18,720 --> 00:00:21,040
Så, därför tänkte jag ge minst ett till exempel.

7
00:00:21,040 --> 00:00:22,860
Det skadar aldrig att se så många som möjligt.

8
00:00:22,860 --> 00:00:24,290
Så låt oss göra detta.

9
00:00:24,290 --> 00:00:26,680
För att implicit derivera det här, så tillämpar vi

10
00:00:26,680 --> 00:00:29,363
derivatan med avseende på x på båda sidorna

11
00:00:29,363 --> 00:00:29,970
av ekvationen.

12
00:00:29,970 --> 00:00:33,290
Derivatan med detta avseende på x - derivatan

13
00:00:33,290 --> 00:00:35,420
av vänstra sidan med avseende på x är lika med

14
00:00:35,420 --> 00:00:40,580
derivatan av den högra sidan med avseende på x.

15
00:00:40,580 --> 00:00:42,790
Det högra ledet kommer att vara väldigt enkelt, men

16
00:00:42,790 --> 00:00:44,770
det vänstra ledet är lite knepigt.

17
00:00:44,770 --> 00:00:47,380
Så vi gör det här på sidan.

18
00:00:47,380 --> 00:00:52,020
Låt mig skriva om det vänstra ledet på ett enklare sätt.

19
00:00:52,020 --> 00:00:52,990
Jag kommer att göra det i en annan färg.

20
00:00:52,990 --> 00:01:00,410
Jag kommer att säga att a är lika med tangens av b.

21
00:01:00,410 --> 00:01:09,380
Och låt mig säga att b är lika med x över y.

22
00:01:09,380 --> 00:01:11,620
Då är a naturligtvis samma sak.

23
00:01:11,620 --> 00:01:14,860
Om jag skulle gå tillbaka och ersätta b, så hade jag kunnat

24
00:01:14,860 --> 00:01:18,090
uttrycka det här som a istället.

25
00:01:18,090 --> 00:01:20,930
Så om vi tar derivatan av a med avseende

26
00:01:20,930 --> 00:01:23,740
på x, det är det vi ska göra här.

27
00:01:23,740 --> 00:01:26,570
Låt mig bara hitta derivatan av båda leden.

28
00:01:26,570 --> 00:01:36,500
Detta skulle vara derivat av en med avseende på x är lika med

29
00:01:36,500 --> 00:01:38,610
derivatan av x med avseende på x.

30
00:01:38,610 --> 00:01:41,210
Det är ju ganska enkelt, det blir bara 1.

31
00:01:41,210 --> 00:01:44,390
Plus derivatan av y med avseende på x.

32
00:01:44,390 --> 00:01:45,430
Så, låt mig skriva det så här.

33
00:01:45,430 --> 00:01:48,820
???

34
00:01:48,820 --> 00:01:53,770
av y med avseende på x.

35
00:01:53,770 --> 00:01:54,350
Det är allt vi gjorde.

36
00:01:54,350 --> 00:01:56,520
Vi tillämpade bara ??? till y, och vi

37
00:01:56,520 --> 00:01:58,650
vet inte vad det här är, vi ska lösa det.

38
00:01:58,650 --> 00:02:01,180
Men uppenbarligen så kan jag inte bara lämna uttrycket så här, derivatan

39
00:02:01,180 --> 00:02:02,360
av a med avseende på x.

40
00:02:02,360 --> 00:02:04,610
Vi hittade precis a, och a är bara uttrycket

41
00:02:04,610 --> 00:02:05,930
här, eller hur?

42
00:02:05,930 --> 00:02:09,450
a är lika med tangens av b, och b är lika med y delat med x.

43
00:02:09,450 --> 00:02:11,730
Anledningen till att jag skrev det såhär är för att jag ville visa

44
00:02:11,730 --> 00:02:14,870
dig att när du tar derivatan av det här uttrycket, så kommer

45
00:02:14,870 --> 00:02:16,500
det bara ut ur kedjeregeln.

46
00:02:16,500 --> 00:02:18,840
Det är inte någon sorts voodoo-magi som du

47
00:02:18,840 --> 00:02:20,090
inte har lärt dig ännu.

48
00:02:20,090 --> 00:02:22,200
Så, till derivatan - låt mig skriva ner

49
00:02:22,200 --> 00:02:23,990
kedjeregeln här.

50
00:02:23,990 --> 00:02:30,930
Derivatan av a med avseende på x är lika med

51
00:02:30,930 --> 00:02:35,280
derivatan av a med avseende på b multiplicerat med derivatan

52
00:02:35,280 --> 00:02:37,580
av b med avseende på x.

53
00:02:37,580 --> 00:02:39,720
Här använder vi bara kedjeregeln och den är väldigt lätt att komma ihåg,

54
00:02:39,720 --> 00:02:43,040
eftersom att de två "db" tar ut varandra och det enda du har kvar är

55
00:02:43,040 --> 00:02:45,800
derivatan av a med avseende på x, om du bara bearbetar dem

56
00:02:45,800 --> 00:02:47,470
som vanliga bråktal.

57
00:02:47,470 --> 00:02:50,275
Så, vad är derivatan av a med avseende på b?

58
00:02:55,020 --> 00:03:01,570
Ja, det blir bara 1 över cosinus kvadrat av b.

59
00:03:01,570 --> 00:03:03,570
Om du inte kan komma ihåg det här, så är det faktiskt inte

60
00:03:03,570 --> 00:03:07,400
så svårt att bevisa det här för dig själv om du bara skriver om det här som sinus

61
00:03:07,400 --> 00:03:10,670
av b delat med cosinus av b, men det här är en av de derivator

62
00:03:10,670 --> 00:03:12,130
till trigonometriska funktioner som de flesta brukar komma ihåg.

63
00:03:12,130 --> 00:03:14,230
Jag tror att jag redan har gjort en video där jag bevisade det här.

64
00:03:14,230 --> 00:03:16,840
Vissa böcker skriver fortfarande om det här

65
00:03:16,840 --> 00:03:19,070
vet att Sekant kvadratvärdet är samma sak som 1 över

66
00:03:19,070 --> 00:03:20,340
cosinus kvadrat.

67
00:03:20,340 --> 00:03:25,320
Jag vill hålla in natura om de grundläggande trig-funktionerna,

68
00:03:25,320 --> 00:03:27,360
eller trig förhållanden i motsats till saker som Sekant

69
00:03:27,360 --> 00:03:28,490
och cosecant.

70
00:03:28,490 --> 00:03:31,090
Vad är derivat av b med avseende på x?

71
00:03:37,030 --> 00:03:38,260
Så är det ganska intressant.

72
00:03:38,260 --> 00:03:39,710
Låt mig skriva b, faktiskt.

73
00:03:39,710 --> 00:03:45,730
Låt mig skriva b är lika med x gånger y till minus 1.

74
00:03:45,730 --> 00:03:48,520
Så derivat av b med avseende på x, skulle vi kunna göra en

75
00:03:48,520 --> 00:03:50,470
liten bit av kedjan regel just här.

76
00:03:50,470 --> 00:03:53,680
Vi skulle kunna säga--Låt mig skriva--derivat av b

77
00:03:53,680 --> 00:03:57,530
med avseende på x är lika med derivatan av x gånger

78
00:03:57,530 --> 00:03:58,790
y till negativa 1.

79
00:03:58,790 --> 00:04:01,300
Derivatan av x är 1.

80
00:04:01,300 --> 00:04:07,360
gånger y de negativa 1 plus derivat av y--så

81
00:04:07,360 --> 00:04:08,030
Låt mig bara skriva detta.

82
00:04:08,030 --> 00:04:12,320
Plus derivat med avseende på x av y

83
00:04:12,320 --> 00:04:17,930
Det minus 1 gånger första mandatperiod, alltid x.

84
00:04:17,930 --> 00:04:20,470
Så här sak rätt här, och klart jag har inte helt

85
00:04:20,470 --> 00:04:21,190
förenklad ännu.

86
00:04:21,190 --> 00:04:22,890
Jag har fortfarande att räkna ut vad denna sak är här.

87
00:04:22,890 --> 00:04:25,010
Men jag bara använt produkten regeln här.

88
00:04:25,010 --> 00:04:27,990
Din derivat av första mandatperiod, derivat i x är 1

89
00:04:27,990 --> 00:04:30,380
gånger den andra termen plus derivat av andra

90
00:04:30,380 --> 00:04:31,310
Termen gånger första mandatperiod.

91
00:04:31,310 --> 00:04:32,700
Det är allt jag gjorde det inte.

92
00:04:32,700 --> 00:04:35,170
Derivat av b med avseende på x är alltså bara

93
00:04:35,170 --> 00:04:36,560
denna sak rätt där.

94
00:04:36,560 --> 00:04:42,290
Så det är lika med--Låt mig göra det i gula--så det är gånger--

95
00:04:42,290 --> 00:04:43,520
Åh, ska jag göra det i blå eftersom jag skrev det redan.

96
00:04:43,520 --> 00:04:47,290
Detta är blå är derivat av b med avseende på x y till den

97
00:04:47,290 --> 00:04:52,580
minus 1 eller 1 över y plus derivat med avseende på

98
00:04:52,580 --> 00:04:59,590
x 1 över y gånger x.

99
00:04:59,590 --> 00:05:01,180
Så låt mig skriva som här nere.

100
00:05:01,180 --> 00:05:04,330
Så vi tänkte bara, eller om vi är nästan klar kvantitetsenheter

101
00:05:04,330 --> 00:05:07,400
ut, vilka derivatan av en med avseende på x är, och vi

102
00:05:07,400 --> 00:05:08,450
kunde kasta som finns.

103
00:05:08,450 --> 00:05:09,230
Men vi är inte klar.

104
00:05:09,230 --> 00:05:12,280
Vad är derivat av 1 över y med avseende på x?

105
00:05:12,280 --> 00:05:14,990
Tja, göra regeln kedjan igen.

106
00:05:17,520 --> 00:05:18,830
Och jag vill vara mycket tydliga med detta.

107
00:05:18,830 --> 00:05:21,570
Jag vet att detta kan verka lite besvärlig vad jag gör

108
00:05:21,570 --> 00:05:24,020
här, men jag tror att det kan göra lite känsla.

109
00:05:24,020 --> 00:05:28,390
Låt mig bara ställa in c är lika med 1 över y.

110
00:05:28,390 --> 00:05:32,550
Så bara för derivat av c med avseende på x, från den

111
00:05:32,550 --> 00:05:35,580
kedja regeln, är lika med derivat av c med respekt

112
00:05:35,580 --> 00:05:40,090
till y gånger derivat av y på x.

113
00:05:40,090 --> 00:05:43,140
Vad är derivat av c med avseende på y?

114
00:05:43,140 --> 00:05:44,930
Även är detta samma sak som--jag kunde skriva

115
00:05:44,930 --> 00:05:46,350
Detta är y till minus 1.

116
00:05:46,350 --> 00:05:51,160
Det är alltså minus y minus 2 makt.

117
00:05:51,160 --> 00:05:52,910
Det är vad detta är.

118
00:05:52,910 --> 00:05:55,740
Denna sak är att direkt.

119
00:05:55,740 --> 00:05:57,220
Och jag vet inte vad derivatan av y med

120
00:05:57,220 --> 00:05:58,020
respekt till x är.

121
00:05:58,020 --> 00:05:59,690
Det är vad vi försöker lösa för.

122
00:05:59,690 --> 00:06:02,390
Så det är som alltid derivat av y

123
00:06:02,390 --> 00:06:03,540
med avseende på x.

124
00:06:03,540 --> 00:06:05,340
Bara kommer ut av regeln om kedjan.

125
00:06:05,340 --> 00:06:11,400
Så här sak rätt här, är detta derivat av denna sak

126
00:06:11,400 --> 00:06:13,830
med avseende på x, vilket är samma sak som derivat

127
00:06:13,830 --> 00:06:15,770
c med avseende på x.

128
00:06:15,770 --> 00:06:19,210
Så jag kan skriva detta lilla stycke här, kan jag

129
00:06:19,210 --> 00:06:25,240
skriva detta lilla stycke minus y till minus 2 dy

130
00:06:25,240 --> 00:06:28,910
DX, och sedan naturligtvis finns alltid x.

131
00:06:28,910 --> 00:06:33,910
Och sedan hade vi det plus 1 över y, och allt detta var gånger

132
00:06:33,910 --> 00:06:38,050
1 över cosinus squared b.

133
00:06:38,050 --> 00:06:40,660
Så lite bra nu vi har förenklat detta.

134
00:06:40,660 --> 00:06:42,840
Jag hoppas att gå in på kedjan regeln inte förvirrar för dig,

135
00:06:42,840 --> 00:06:45,020
eftersom jag verkligen vill träffa punkten hem som alla

136
00:06:45,020 --> 00:06:48,320
problemen underförstådd differentiering dessa dy dx är bara

137
00:06:48,320 --> 00:06:50,570
inte, det är inte någon regel som du bör hålla i minnet.

138
00:06:50,570 --> 00:06:52,890
De kommer naturligt från kedjan regeln.

139
00:06:52,890 --> 00:06:56,930
Så löste vi da dx, som är lika med detta

140
00:06:56,930 --> 00:06:59,230
uttryck just här.

141
00:06:59,230 --> 00:07:07,130
Låt mig skriva det, det är lika med 1 över cosinus squared b.

142
00:07:07,130 --> 00:07:07,880
Vad är väl b?

143
00:07:07,880 --> 00:07:10,640
Jag skrev det är cos x över y.

144
00:07:10,640 --> 00:07:16,920
Cosinus squared x över y gånger alla här grejer över

145
00:07:16,920 --> 00:07:19,840
gånger här, alla här röran.

146
00:07:19,840 --> 00:07:25,670
1 över y plus, eller kanske jag ska säga minus, minus--om jag

147
00:07:25,670 --> 00:07:32,486
bara förenkla detta, detta är x över y squared gånger dy dx.

148
00:07:36,660 --> 00:07:39,000
Då är det lika med höger sida.

149
00:07:39,000 --> 00:07:48,490
Det är lika med 1 plus dy dx.

150
00:07:48,490 --> 00:07:51,420
Och nu är allt vi behöver göra är att lösa för dy dx.

151
00:07:51,420 --> 00:07:53,990
Så låt mig bara granska hur vi har kommit hit.

152
00:07:53,990 --> 00:07:56,300
Jag gick igenom kedjan regeln vid varje steg på vägen, men

153
00:07:56,300 --> 00:07:58,170
När du får en introduktion till det, kan du bokstavligen bara gå

154
00:07:58,170 --> 00:07:59,360
rakt ner på det viset.

155
00:07:59,360 --> 00:08:01,380
Det sättet som du tycker om det är--högra hand

156
00:08:01,380 --> 00:08:02,033
sida som jag tror du får den.

157
00:08:02,033 --> 00:08:04,380
Derivatan av x är 1, derivat av y med respekt

158
00:08:04,380 --> 00:08:06,560
för x är det väl bara dy dx.

159
00:08:06,560 --> 00:08:09,010
Men den vänstra sidan, du ta derivat av

160
00:08:09,010 --> 00:08:11,630
hela med avseende på x över y.

161
00:08:11,630 --> 00:08:14,100
Så det är bara derivat av tangens är 1 över

162
00:08:14,100 --> 00:08:15,020
cosinus kvadrat.

163
00:08:15,020 --> 00:08:18,620
Det är alltså 1 över cosinus squared x över y, och du multiplicera

164
00:08:18,620 --> 00:08:23,530
som gånger derivatan av x över y med avseende på x.

165
00:08:23,530 --> 00:08:26,770
Och derivatan av x över y med avseende på x är den

166
00:08:26,770 --> 00:08:28,970
derivat av-- och det blir komplicerat, det är därför det har

167
00:08:28,970 --> 00:08:31,590
bra att göra det på sidan här-- men det är derivat av

168
00:08:31,590 --> 00:08:34,150
x, som är 1 gånger 1 över y.

169
00:08:34,150 --> 00:08:39,680
Vilken är denna termin plus derivat av 1 över y med

170
00:08:39,680 --> 00:08:44,200
respekt till X, som är minus 1 över y squared dy dx, från

171
00:08:44,200 --> 00:08:46,620
regeln kedjan gånger dx.

172
00:08:46,620 --> 00:08:48,140
Det är därför det var bra att göra till sidan så vi inte

173
00:08:48,140 --> 00:08:49,360
göra en slarvig misstag.

174
00:08:49,360 --> 00:08:51,410
Men när du vänjer det du faktiskt kan göra det i ditt

175
00:08:51,410 --> 00:08:53,980
chef, och naturligtvis, som är lika med den högra sidan.

176
00:08:53,980 --> 00:08:56,520
Så är här på ut det bara ren algebra.

177
00:08:56,520 --> 00:08:59,140
Bara för att lösa för våra dy dx.

178
00:08:59,140 --> 00:09:01,490
Så ett bra ställe att börja är att multiplicera båda sidor av detta

179
00:09:01,490 --> 00:09:04,910
ekvation gånger cosinus squared x över y.

180
00:09:04,910 --> 00:09:07,420
Så uppenbart som ska vända sig till 1 på denna sida.

181
00:09:07,420 --> 00:09:14,970
Och den vänstra sidan kommer att vara 1 över y minus x över y squared

182
00:09:14,970 --> 00:09:23,690
dy dx är lika med--jag har att multiplicera både sida av den

183
00:09:23,690 --> 00:09:26,730
ekvationen gånger denna nämnare här--är lika med

184
00:09:26,730 --> 00:09:32,530
cosinus squared x över y plus cosinus kvadrat av

185
00:09:32,530 --> 00:09:35,190
x över y dy dx.

186
00:09:39,420 --> 00:09:40,190
Nu kan vad vi göra.

187
00:09:40,190 --> 00:09:44,210
Vi kan ta bort denna cosinus squared x över y från båda

188
00:09:44,210 --> 00:09:52,110
sidor av ekvationen, och vi får 1 över y minus cosinus

189
00:09:52,110 --> 00:09:53,710
squared x över y.

190
00:09:53,710 --> 00:09:55,780
Allt jag gjorde jag dras det från båda sidor av den

191
00:09:55,780 --> 00:09:57,590
ekvation, så i huvudsak jag flyttade till den

192
00:09:57,590 --> 00:09:59,040
den vänstra sidan.

193
00:09:59,040 --> 00:10:01,040
Vad jag försöker göra är kommer jag att försöka skilja på

194
00:10:01,040 --> 00:10:04,810
icke dy dx termer från dy dx termer.

195
00:10:04,810 --> 00:10:06,750
Så vill jag föra denna dy dx sikt

196
00:10:06,750 --> 00:10:07,950
till höger.

197
00:10:07,950 --> 00:10:11,550
Så låt mig lägga till x över y squared dy dx för båda sidor.

198
00:10:11,550 --> 00:10:17,260
Så det är lika med x över y--Låt mig skriva som den

199
00:10:17,260 --> 00:10:21,070
färg som ursprungligen skrev jag det i en något

200
00:10:21,070 --> 00:10:21,470
olika färg.

201
00:10:21,470 --> 00:10:27,110
Så det är x över y squared--ska jag skriva dy dx i orange.

202
00:10:27,110 --> 00:10:34,120
dy dx, och sedan du har denna termin plus cosinus squared

203
00:10:34,120 --> 00:10:36,880
x över y dy dx.

204
00:10:40,950 --> 00:10:43,000
Jag tror att vi arbetar i hem-stretch.

205
00:10:43,000 --> 00:10:46,410
Låt oss faktor här dy dx ut från höger sida.

206
00:10:46,410 --> 00:10:56,770
Så detta är lika med dy dx gånger x över y kvadraten plus

207
00:10:56,770 --> 00:11:01,220
cosinus squared x över y.

208
00:11:01,220 --> 00:11:04,180
Och som är lika med denna sak här, det är lika med

209
00:11:04,180 --> 00:11:09,250
1 över y minus cosinus squared x över y.

210
00:11:09,250 --> 00:11:12,240
För att lösa för dy dx, nu vi bara att dela upp båda sidor av

211
00:11:12,240 --> 00:11:15,450
denna ekvation av detta uttryck just här.

212
00:11:15,450 --> 00:11:16,900
Och sedan vad vi får?

213
00:11:16,900 --> 00:11:21,970
Vi får, om vi bara delar båda sidor genom att vi får 1 över y

214
00:11:21,970 --> 00:11:27,210
minus cosinus squared x över y dividerat med detta hela

215
00:11:27,210 --> 00:11:28,720
verksamhet rätt.

216
00:11:28,720 --> 00:11:36,190
x över y kvadrat plus cosinus squared x över y är

217
00:11:36,190 --> 00:11:42,150
motsvarar våra dy dx.

218
00:11:42,150 --> 00:11:43,370
Och sedan vi är klar.

219
00:11:43,370 --> 00:11:46,460
Vi tillämpas bara regeln kedjan flera gånger och vi kunde

220
00:11:46,460 --> 00:11:50,600
att skilja implicit tangens för y över x är

221
00:11:50,600 --> 00:11:51,600
lika med x och y.

222
00:11:51,600 --> 00:11:55,980
Den hårda del verkligen är att få till detta steg just här.

223
00:11:55,980 --> 00:11:59,470
Efter detta steg är det bokstavligen bara ren algebra bara att lösa

224
00:11:59,470 --> 00:12:04,730
för dy dx och sedan få svaret direkt.

225
00:12:04,730 --> 00:12:07,380
Hur som helst, förhoppningsvis du hittat som användbar.