Εισαγωγή στους αρνητικούς αριθμούς

Βασική κατανόηση των αρνητικών αριθμών στη γραμμή των αριθμών καθώς και το πώς τους προσθέτουμε και τους αφαιρούμε

Σ΄αυτό το βίντεο θέλω να γνωρίσουμε τους αρνητικούς αριθμούς

και να μάθουμε πώς τους προσθέτουμε και τους αφαιρούμε.

Όταν τους συναντά κανείς για πρώτη φορά, φαίνονται σκοτεινοί και μυστηριώδεις.

Όταν αρχίζουμε να μετράμε πράγματα, μετράμε θετικούς αριθμούς.

Τι σημαίνει λοιπόν "αρνητικός αριθμός";

Αν όμως το καλοσκεφτείτε, πιθανότατα έχετε ήδη συναντήσει αρνητικούς αριθμούς στη ζωή σας.

Αλλά πριν σας δώσω παραδείγματα, η γενική ιδέα είναι πως αρνητικός αριθμός είναι κάθε αριθμός μικρότερος από το μηδέν.

Μικρότερος από το μηδέν.

Και αν αυτό σας φαίνεται περίεργο και αφηρημένο, ας το δούμε με κάποια παραδείγματα.

Ας πούμε ότι μετράμε τη θερμοκρασία (είτε σε βαθμούς Κελσίου, είτε σε Φαρενάιτ)

ας πούμε λοιπόν ότι τη μετράμε σε Κελσίου.

Ζωγραφίζω λοιπόν μια μικρή κλίμακα για να μετρήσουμε σ' αυτήν τη θερμοκρασία.

Ας πούμε λοιπόν ότι αυτό είναι οι μηδέν βαθμοί Κελσίου, αυτό ο ένας βαθμός Κελσίου, οι 2, οι 3.

Ας πούμε τώρα ότι είναι μια κρύα μέρα και ότι η θερμοκρασία είναι 3 βαθμοί Κελσίου.

Και κάποιος που μπορεί να προβλέψει το μέλλον, σας λέει ότι αύριο η θερμοκρασία θα πέσει 4 βαθμούς.

Πόσο κρύο θα κάνει λοιπόν; Πώς μπορούμε να μετρήσουμε αυτό το κρύο;

Για να δούμε: αν η θερμοκρασία έπεφτε μόνο κατά ένα βαθμό, θα έφτανε τους 2 βαθμούς Κελσίου. Αλλά ξέρουμε ότι θα πέσει 4 βαθμούς.

Αν έπεφτε 2 βαθμούς, θα έφτανε στον 1 βαθμό Κελσίου.

Αν έπεφτε 3 βαθμούς, θα έφτανε στους 0 βαθμούς.

Αλλά δε φτάνει να πέσει 3 βαθμούς. Ξέρουμε ότι θα πέσει 4 βαθμούς, άρα θα πρέπει να πάμε ένα βαθμό πιο κάτω από το μηδέν.

Και αυτό το ένα κάτω από το μηδέν, το λέμε "μείον ένα".

Και μπορείς να το δεις αυτό: η γραμμή των αριθμών όσο πας προς τα δεξιά του μηδέν αυξάνεται σε θετικές αξίες,

αλλά όσο πας προς τα αριστερά του μηδέν, θα πάρεις -1, -2, -3.

Και θα έχεις - αν το σκεφτείς έτσι - μεγαλύτερους αρνητικούς αριθμούς.

Αλλά θέλω να είναι ξεκάθαρο: το -3 είναι λιγότερο από το -1.

Υπάρχει λιγότερη ζέστη στον αέρα στους -3 βαθμούς παρά στον -1.

Κάνει πιο κρύο - η θερμοκρασία είναι μικρότερη.

Για να το ξεκαθαρίσουμε λοιπόν: το -100 είναι πολύ μικρότερο από το -1.

Αν δεις το 100 και μετά δεις το 1 η πρώτη σου αντίδραση μπορεί να είναι ότι το 100 είναι μεγαλύτερο.

Αλλά, αν το καλοσκεφτείς, -100 σημαίνει ότι κάτι λείπει.

-100 βαθμοί Κελσίου είναι μια έλλειψη θερμότητας. Άρα υπάρχει πολύ λιγότερη θερμότητα στους -100 απ' ότι στον -1 βαθμό.

Για να δώσω ακόμα ένα παράδειγμα:

Ας πούμε ότι σήμερα στον τραπεζικό μου λογαριασμό έχω 10 δολάρια.

Ας πούμε λοιπόν ότι βγαίνω έξω (γιατί αισθάνομαι ωραία που έχω 10 δολάρια),

και ξοδεύω 30 δολάρια.

Και, ας πούμε, ότι η τράπεζά μου με αφήνει να ξοδεύω

περισσότερα χρήματα απ' όσα έχω -- υπάρχουν όντως τέτοιες τράπεζες!

Ξοδεύω λοιπόν 30 δολάρια. Πώς θα μοιάζει ο λογαριασμός μου τώρα;

Μπορεί ήδη να σκέφτεσαι μια απάντηση σ' αυτή την ερώτηση. Θα χρωστάω κάποια χρήματα στην τράπεζα.

Πώς θα είναι ο λογαριασμός μου αύριο;

Θα πεις λοιπόν: "Αν έχω 10 δολάρια και ξοδέψω 30 δολάρια,

υπάρχουν 20 δολάρια που από κάπου πρέπει να προήλθαν". Αυτά τα 20 δολάρια ήρθαν από την τράπεζα.

Άρα, θα χρωστάω στην τράπεζα 20 δολάρια.

Έτσι, στον τραπεζικό μου λογαριασμό, για να φαίνεται πόσα χρήματα έχω, θα μπορούσα να πω ότι 10 - 30 = -20 δολάρια.

Αν πω λοιπόν ότι έχω -20 δολάρια, αυτό σημαίνει ότι χρωστάω στην τράπεζα - δεν τα έχω αυτά τα λεφτά.

Όχι μόνο δεν έχω τίποτα, αλλά χρωστάω κιόλας. Είναι το ανάποδο.

Εδώ έχω να ξοδέψω κάποια χρήματα. Τα 10 μου δολάρια σημαίνουν ότι η τράπεζα μου χρωστά 10 δολάρια.

Αν όμως ξαφνικά αρχίσω να χρωστάω στην τράπεζα, έχω πάει ανάποδα.

Αν χρησιμοποιήσουμε μια γραμμή των αριθμών εδώ, μπορεί να βγάλουμε περισσότερο νόημα.

Αυτό είναι το μηδέν.

Ξεκινάω με 10 δολάρια και ξοδεύω 30, δηλαδή πηγαίνω 30 θέσεις προς τα αριστερά.

Αν πάω 10 θέσεις προς τα αριστερά - αν δηλαδή ξοδέψω μόνο 10 δολάρια - θα φτάσω πάλι στα 0 δολάρια.

Αν ξοδέψω άλλα 10 δολάρια, θα φτάσω στα -10 δολάρια.

Αν ξοδέψω κι άλλα 10 δολάρια, θα φτάσω στα -20 δολάρια.

Έτσι για κάθε μια από αυτές τις αποστάσεις ξοδεύω 10 δολάρια και φτάνω στα 0. Ξοδεύω άλλα 10 και φτάνω στα -10.

Ξοδεύω άλλα 10 και φτάνω στα -20.

Έτσι όλη αυτή η απόσταση εδώ, συνολικά, είναι το πόσα πολλά ξόδεψα.

Ξόδεψα 30 δολάρια.

Η γενική ιδέα είναι λοιπόν ότι αν ξοδεύεις, ή αν αφαιρείς (αν ο καιρός για παράδειγμα γίνεται πιο κρύος), πας προς τα αριστερά.

Οι αριθμοί γίνονται μικρότεροι.

Και τώρα ξέρουμε ότι μπορούν να γίνουν μικρότεροι και από το μηδέν.

Μπορούν να γίνουν -1, -1 -- ή ακόμα -1.5, -1.6.

Όσο πιο αρνητικοί γίνονται, τόσο περισσότερο χάνεις.

Αν προσθέτεις - αν για παράδειγμα πάρω το μισθό μου - θα μετακινηθώ προς τα δεξιά της γραμμής των αριθμών.

Τώρα που το καταλάβαμε αυτό, ας κάνουμε κάποια καθαρά μαθηματικά προβλήματα.

Ας πούμε, 3-4.

Είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό που κάναμε με τη θερμοκρασία.

Ξεκινάμε με το 3 και αφαιρούμε 3. Δηλαδή μετακινούμαστε 4 θέσεις προς τα αριστερά.

Πάμε 1,2,3,4.

Φτάνουμε έτσι στο -1.

Και όταν αρχίσεις να το κάνεις αυτό, τότε καταλαβαίνεις τι σημαίνει ένας αρνητικός αριθμός.

Σας προτείνω να έχετε στο μυαλό σας την εικόνα της γραμμής των αριθμών και να μετακινείστε σ' αυτήν

ανάλογα με το αν προσθέτετε ή αφαιρείτε.

Ας κάνουμε λοιπόν ένα-δύο ακόμα προβλήματα.

Ας πούμε ότι έχουμε 2-8.

(Και θα δούμε και άλλους τρόπους να το κάνουμε αυτό στα επόμενα βίντεο),

αλλά τώρα, ας το δούμε στη γραμμή των αριθμών.

Έχουμε το 0 εδώ.

Είμαστε στο 1, 2.

Αν αφαιρέσουμε 8, αυτό σημαίνει ότι μετακινούμαστε 8 θέσεις προς τα αριστερά.

Έτσι θα πάμε ένα προς τα αριστερά, δύο προς τα αριστερά.

Πήγαμε λοιπόν δύο θέσεις προς τα αριστερά και φτάσαμε στο 0. Πόσες θέσεις ακόμα πρέπει να μετακινηθούμε προς τα αριστερά;

Πήγαμε ήδη δύο θέσεις προς τα αριστερά - άρα για να φτάσουμε τις 8, θα πρέπει να μετακινηθούμε άλλες 6 θέσεις προς τα αριστερά.

Πού θα φτάσουμε λοιπόν;

Ήμασταν στο 0.

Έχουμε -1,-2,-3,-4,-5, -6.

Άρα, 2 - 8 = -6.

2 - 2 μας κάνει 0. Όταν αφαιρείς 8, θα πρέπει να μετακινηθείς άλλες 6 θέσεις.

Ας κάνουμε ένα ακόμα παράδειγμα. Θα είναι λίγο περίεργο, αλλά ελπίζω ότι θα βγάζει νόημα.

Ας πάρουμε το -4 - 2.

Ξεκινάμε λοιπόν με έναν αρνητικό αριθμό και αφαιρούμε από αυτόν.

Αν αυτό σας μπερδεύει, θυμηθείτε την γραμμή των αριθμών!

Έχουμε λοιπόν το μηδέν εδώ. -1, -2, -3, -4. Ξεκινάμε λοιπόν από εδώ.

Θέλουμε λοιπόν να αφαιρέσουμε 2 από το -4, άρα θα μετακινηθούμε δύο θέσεις προς τα αριστερά.

Αν λοιπόν αφαιρέσουμε ένα, θα φτάσουμε στο -5. Αν αφαιρέσουμε κι άλλο ένα, θα φτάσουμε στο -6.

Άρα το αποτέλεσμα είναι το -6.

Ας κάνουμε τώρα κάτι άλλο ενδιαφέρον.

Ας ξεκινήσουμε από το -3 και αντί να αφαιρέσουμε, ας προσθέσουμε 2.

Ξεκινάμε λοιπόν από το -3 και προσθέτουμε 2. Άρα θα μετακινηθούμε προς τα δεξιά.

Προσθέτουμε λοιπόν ένα και φτάνουμε στο -2. Μετά προσθέτουμε ακόμα ένα και φτάνουμε στο -1.

Μετακινούμαστε δύο θέσεις προς τα δεξιά.

Έτσι, -3 + 2 = -1.

Και μπορείτε να το δείτε και μόνοι σας, όλα αυτά ταιριάζουν στο πώς ορίσαμε την πρόσθεση και την αφαίρεση.

Αν ξεκινήσουμε από το -1 και αφαιρέσουμε 2, θα φτάσουμε στο -3.

Είναι κάπως ανάποδο απ' ό,τι αυτό εδώ πάνω.