مقدمة عن الأعداد السالبة

شرح ماهية الأعداد السالبة وكيفية إيجادها على خط الأعداد، وكيف يتم طرحها أو جمعها

في هذا الدرس أريد أن أضع تعريفا للأعداد السالبة.

وكيف نقوم بعملية جمع وطرح الأعداد السالبة

عندما نراهم للوهلة الأولى يبدو وكأنهم عنصر غريب

عندما نعدّ الأشياء، عادة نقوم بجمع الأعداد الموجبة

ولكن ماذا يعني "عدد سالب"؟

اذا دققت بالعمليات الحسابية التي تقوم بها في حياتك اليومية، لا بد أنك استخدمت الأعداد السالبة

وقبل أن أبدأ بشرح المثال الأول، لا بد من توضيح أن العدد السالب هو أي عدد أصغر من الصفر

(أصغر من الصفر)

وإذا كانت الفكرة جديدة بالنسبة اليكم أو غامضة، دعونا نطبق الفكرة على حالات مختلفة

فإذا كنا نقيس درجة الحرارة للطقس (سواءاً بالفهرنهايت أو بالدرجة المئوية)

ولكن دعونا نفترض بأننا نقيس بإستخدام الدرجة المئوية

لذا دعوني أرسم سلم للقياس حتى نقوم بضبط درجات الحرارة عليه

إذن هذه صفر درجة مئوية، وهذا واحد درجة مئوية، 2 درجة مئوية، 3 درجة مئوية

دعونا نفترض بأنه يوم بارد ودرجة الحرارة الآن هي 3 درجة مئوية

ثمّ قام أحد المتنبئين بالطقس أن درجة الحرارة ستصبح أبرد بأربع درجات مئوية

ماهي درجة الحرارة ؟ كيف نستطيع توضيح مدى البرودة الحالية

حسناً، إذا انخفضت الحرارة درجة واحدة تصبح الحرارة 2 درجة مئوية، ولكن نحن لدينا انخفاض بأربع درجات مئوية

إذا انخفضت الحرارة درجتين تصبح الحرارة 1 درجة مئوية

إذا انخفضت الحرارة ثلاث درجات تصبح الحرارة صفر درجة مئوية

ولكن ثلاث درجات مئوية ليست كافية للتفسير، إذ علينا أن ننزل الى أقل من الصفر

وهذه الدرجة الواحدة الأقل من الصفر تدعى "سالب واحد"

وهكذا نستطيع أن نقيس بناءاً على ذلك على خط الأعداد، فحين نتجه الى اليسار من الصفر(في الأرقام العربية) تزيد القيمة الموجبة

وبنفس الطريقة، عندما نتجه الى يمين الصفر ( في الأعداد العربية ) سوف نحصل على -1، -2، -3

وبهذا نحصل على أعداد سالبة الى مالانهاية

ولك علي أن أوضح شيئاً بالغ الأهمية: -3 هو أصغر من -1

إذ تكون درجة الحرارة منخفضة أكثر عند -3 درجة مئوية من عندما تكون -1 درجة مئوية

فعندما يكون الطقس أبرد، تكون درجة الحرارة أقل

دعوني أوضح مرة أخرى: -100 هو أصغر من -1

عندما تنظر الى العدد 100 وتقارنه بالعدد 1 قد يبدو لك أنه من البديهي أن 100 هي أكبر

ولكن عندما تتمعن أكثر ستلاحظ بأن -100 هو دلالة على نقص ما

مثلاً: هناك نقص بدرجات الحرارة يصل حتى -100 درجة مئوية، هذا يعني أن درجة الحرارة أقل بكثير من الحرارة الموجودة عند -1 درجو مئوية

دعوني أعطيكم مثالاً آخر:

دعونا نفترض أنه لدي في حسابي البنكي 10$

فإذا افترضنا انني قررت التسوق بهذه ال10$

وذهبت ثم أنفقت 30$

ولنفترض أيضاً بأن سياسة البنك تسمح بإنفاقي الزائد

بما يفوق رصيدي (وهذا مايحدث في كثير من الأحيان!)

وهل أنا أنفقت 30$، فكيف سيكون رصيدي؟

بالطبع أنتم تعرفون بديهياً بأني مديون الى البنك بمبلغ معين من المال

بعد حصول هذه الخطوة، كيف سيبدو رصيدي؟

وعلى الفور ستكون إجابتكم: لدي 10$ وأنفقت 30$

إذن هناك 20$ أتت من مكان ما وفي هذه الحالة هي من البنك

إذن أنا سوف أكون مديوناً للبنك ب20$

ولكي أوضح كيف سيكون رصيدي: 10$-30$= -20$

وبذلك اذا قلت بأني أملك -20$، هذا يعني بأني مديون للبنك وأنا لا أملك هذه النقود

وأنا لست فقط لا أملك شيئاً، بل أنا مديون، أي على العكس من لو كنت أملك النقود

في البداية كنت املك 10$ أستطيع انفاقها، وهذا يعني بأن البنك يدين لي 10$

أما الآن وبعد الإنفاق الزائد، أصبحت فجأة مديناً للبنك، وبذلك أصبحت بالإتجاه المعاكس

عندما نطبق المثال السابق على خط الأعداد، سوف تتضح الأمور أكثر

هذا الصفر

سوف أبدأ ب10$، وعندما أنفقت ال30$ يعني أني تراجعت 30 درجة الى اليمين (بالعربي)

بينما اذا توجهت عشر درجات الى اليمين أي انني أنفقت 10$، فهذا يعني بأني عدت الى الصفر

وإذا أنفقت 10$ أخرى، سوف أصبح عند -10$

وهكذا اذا أنفقت أيضاً -10$ سوف أصبح عند -20$

وهكذا سوف تتناقص الدرجات مع تناقص النقود، بداية عند الصفر ومن ثم -10$، -20$ وهكذا

وكلما صرفت أكثر اتجهت الى اليمين أكثر (بالأعداد العربية)

وهذا يعني بأن الفرق بين درجات خط الأعداد هو كمية النقود التي تم صرفها

وأنا صرفت 30$

الفكرة الرئيسية هو أنه عندما تنفق (في المثال الأخير) أو تنقص (في المثال الأول) سوف تتجه الى اليمين

وتصبح الأعداد أصغر

ونحن نعرف الآن بأن الأعداد تستطيع أن تكون أصغر من الصفر

حتى تصل الى -1، -2 أو حتى الى -1.5، -1.6

وكلما كبر العدد السالب يعني أنك خسرت أكثر

أما اذا أضفت فسوف تتحرك بإتجاه اليسار

وبعد أن أصبح مبدأ الأعداد السالبة واضحاً، دعونا نقوم ببعض المسائل الحسابية

مثلا: 3 - 4 = ؟

هذه المسألة هي بالتحديد ماقمنا بتطبيقه في مثال درجات الحرارة

نبدأ عند 3، وننقص منها 4، أي أننا سنتوجه 4 درجات نحو اليمين

ونبأدأ بالعد: درجة، درجتان، 3 درجات، 4 درجات

وهذا يصلنا الى -1

وعندما تبدا بتطبيق هذه الخطوات سوف تعلم ماذا تعني الأعداد السالبة

وأنا أنصحكم بتخيل خط الأعداد والتحرك عليه يميناً أو يساراً

سواءاُ كنتم تجمعون أو تطرحون

دعونا نقوم بحل المزيد من الأمثلة

لدينا: 2 - 8 =؟

سوف أفكر بطريقة تغننيا عن رسم خط الأعداد مستقبلاً

في هذه الأثناء دعونا نرسمه مرة أخرى

لدينا الصفر هنا

ونحن عند ال2

و 2 - 8 تعني بأننا سنتجه 8 درجات يساراً (للأعداد الأجنبية)

وهكذا نتجه يساراً درجة، اثنتان،،،،،،

الآن نحن توجهنا درجتان حتى نصل الى الصفر، ماهي عدد الدرجات المتبقية التي علينا عدها؟

لقد تخطينا درجتان الى اليسار، وحتى نصل الى 8 علينا أن نتجه 6 درجات أخرى يساراً

أين سنصل؟

نحن عند الصفر

-1، -2، -3، -4، -5، -6

وهكذا فإن جواب المسألة 2 - 8 = -6

2 -2 هو صفر، ولكن عندما نطرح 8 يوجد 6 درجات تحت الصفر

دعونا نقوم بمثال آخر، قد يبدو مألوفاً ولكنه سيثبت الفكرة في اذهانكم أكثر

دعونا نحل: - 4 - 2 = ؟

هنا نحن بدأنا بعدد سالب وطرحنا منه

مجدداً اذا شعرتم بالإرتباك تخيلوا معي خط الأعداد

هذا هو الصفر، -1، -2، -3، -4 ومن هنا سوف نبدأ

سوف نطرح 2 من -4، أي أننا سنتجه درجتين يساراً

وإذا طرحنا درجة نصل الى -5، وإذا طرحنا الأخرى سنصل الى -6

والجواب هو -6

دعونا نقوم بتجربة أخرى

سوف نبدأ من عند -3، وبدلاً من الطرح، نضيف 2

بدأنا من -3 وأضفنا 2، هذا يعني أننا سنتجه يميناً

وهكذا نضيف1 فنصل الى -2، ثم نضيف 1 فنصل الى -1

توجهنا درجتين الى اليمين

أي: - 3 + 2 = -1

وكما تلاحظون جميع هذه الأمثلة تطبق مبدأ الطرح أو الجمع، الزيادة أو النقصان

اذا بدأنا من -1 وطرحنا 2، سوف نحصل على -3

وهو مايعكس الإتجاهات