-
V minulém videu jsme viděli,
-
že můžeme vzít soustavu dvou
rovnic o dvou neznámých
-
a pohlížet na ni jako na
maticovou rovnost,
-
kde matice A zastupuje
-
tyto koeficienty na levé straně,
-
sloupcový vektor X obsahuje naše
dvě neznámé, ‚s' a ‚t'
-
a sloupcový vektor B zde vlastně
zastupuje tuto pravou stranu.
-
A bylo na tom zajímavé,
-
že jsme pak měli rovnici danou jako
-
matice A krát sloupcový vektor X,
-
a to se rovná sloupcovému vektoru B.
-
A na tom bylo zajímavé,
-
jestliže je A invertovatelná,
-
můžeme levou i pravou stranu rovnice
-
vynásobit zleva maticí A^-1,
-
neboť jak víme,
-
při násobení matic záleží na pořadí
-
a zde tedy násobíme zleva
-
obě strany rovnice.
-
A když to provedeme, dostaneme se k tomu,
-
že máme vyjádřený
sloupcový vektor neznámých.
-
Když víme čemu se rovná
sloupcový vektor X,
-
pak víme, čemu se rovnají
neznámé ‚s' a ‚t'.
-
A tím jsme v podstatě vyřešili
-
tuto soustavu rovnic.
-
Pojďme se do toho nyní pustit.
-
Pojďme nejprve určit A^-1
-
a to pak vynásobíme sloupcovým vektorem B,
-
abychom tak určili sloupcový vektor X
-
a následně taky ‚s' a ‚t'.
-
A^-1…A ^-1 se rovná
-
1 děleno determinant matice A…
-
Determinant A této matice typu 2x2
-
bude 2 krát 4,
-
minus -2 krát -5,
-
tedy to bude 8 minus plus 10…
-
…8 minus plus 10,
-
což bude -2.
-
Tedy tohle zde bude -2.
-
Ještě jednou, 2 krát 4 je 8,
-
minus -2 krát -5,
-
tedy minus kladné číslo,
což nám dává -2.
-
Násobíme zde 1 děleno determinant
-
krát něco, čemuž se říká
adjungovaná matice k matici A,
-
to je vlastně výměna levého horního
-
a pravého dolního prvku,
tedy alespoň u matic 2x2.
-
Tedy tohle bude 4.
-
Tohle bude 2.
-
Jen jsem prohodil tyto prvky…
-
…a u těchto prvků přidám minus,
-
tedy přidám minus k již
tak záporným prvkům.
-
Tohle je -2, tedy stane se z toho 2.
-
A z tohoto prvku se stane 5.
-
Pokud Vám tohle přijde
naprosto nesrozumitelné,
-
možná je lepší si znovu přehrát
výklad o vytváření inverzních matic,
-
protože to je přesně to, co tady dělám.
-
Tedy A^-1 se bude rovnat…
-
A^-1 se bude rovnat…
-
Takže, tohle je -1/2 krát 4,
-
to je -2.
-
-1/2…-1/2 krát 5
-
se rovná -2,5…-2,5.
-
A pak -1/2 krát 2 se rovná -1.
-
-1/2 krát 2 se rovná -1.
-
Takže zde máme matici A^-1.
-
Nyní vynásobme A^-1 naším
sloupcovým vektorem s prvky 7 a -6.
-
Tedy pojďme na to!
-
Tohle je A^-1. Já ji přepíšu…
-
-2 -2,5 -1 -1
-
krát 7 a -6
-
Krát…já to zde všechno
napíšu v bílé barvě.
-
7 -6.
-
Už jsme udělali hodně cvičení
na násobení matic,
-
tedy čemu se bude rovnat tohle?
-
První prvek bude -2 krát 7, což je -14
-
plus -2.5 krát -6.
-
Takže…tohle bude kladné číslo.
-
To se bude rovnat 12 plus 3 k tomu.
-
Tohle tedy bude 15.
-
15.
-
-2.5 krát -6 je 15.
-
Dále, budeme zde mít -1 krát 7,
-
což je -7,
-
plus -1 krát -6.
-
A to je 6.
-
Tedy součin A^-1 krát B,
-
což je to stejné jako sloupcový vektor X,
-
se rovná…
-
…pozor, teď to přijde…
-
…sloupcový vektor 1 -1.
-
Právě jsme ukázali,
že tohle se rovná 1 -1,
-
neboli že X se rovná 1 -1.
-
Nebo můžeme dokonce říct, že
sloupcový vektor…
-
…sloupcový vektor ‚st'…
-
Sloupcový vektor určený prvky
‚s' a ‚t' je roven…
-
…je roven 1 -1…
-
…je roven 1 -1…
-
Což však taky znamená,
-
že ‚s' je rovno 1
-
a ‚t' je rovno -1.
-
Vím, co si teď říkáte.
-
Řekl jsem to v minulém videu
-
a řeknu to znovu i v tomto videu.
-
Říkáte si: "Vždyť by bylo jednodušší
tu soustavu vyřešit přímo,
-
"jen za použití eliminace
nebo substituce."
-
A já s Vámi souhlasím. Ovšem tenhle
postup je šikovný,
-
neboť když provádíte nějaké výpočty,
-
mohou nastat situace,
-
kdy levá strana soustavy
zůstává stále stejná,
-
ale existuje obrovská
spousta různých hodnot
-
vystupujících na pravé straně soustavy.
-
Tedy pak může byt jednodušší
spočítat inverzní matici jen jednou
-
a dále jen násobit…
-
Dále jen násobit tuto inverzní matici krát
to, co vystupuje na pravé straně.
-
Možná již znáte některé typy…
-
Existují grafické procesory
-
a počítačové grafické karty
-
a v té souvislosti se mluví
o speciálních grafických procesorech.
-
Tohle vše je vlastně
-
hlavně o hardware, jehož hlavním účelem
-
je právě velmi rychlé násobení matic,
-
neboť při zpracovávání grafiky
-
při snaze modelovat objekty
-
ve třech dimenzích,
-
provádíte všechny takové
možné transformace,
-
tak vlastně jen počítáte
-
spoustu součinů matic,
a to velmi, velmi rychle
-
v reálném čase, a tak na uživatele,
který hraje počítačovou hru
-
nebo dělá něco podobného,
-
to pak působí jako by byl v nějakém
3D světě v reálném čase.
-
Nicméně, na tohle jsem chtěl poukázat.
-
Takhle by se to nepočítalo…
Kdybych tohle jen náhodně viděl,
-
mým instinktem by bylo
vyřešit tohle pomocí eliminace,
-
ovšem tato schopnost pohlížet
na tuto soustavu
-
jakožto na maticovou rovnost
je velmi užitečným pojetím problému.
-
A v podstatě nejen při výpočtech,
-
ale také ve vědních disciplínách
na vyšší úrovni,
-
obzvláště ve fyzice,
-
setkáte se s množstvím maticových
rovnic s vektory podobným těmto,
-
které jsou pojaty spíše obecně.
-
Je velmi důležité uvažovat nad tím,
-
co tyhle rovnice vlastně reprezentují
-
a jak je můžeme vyřešit.
Khan Academy
