0:00:00.265,0:00:01.996
V minulém videu jsme viděli,

0:00:01.996,0:00:04.871
že můžeme vzít soustavu dvou[br]rovnic o dvou neznámých

0:00:04.871,0:00:07.846
a pohlížet na ni jako na[br]maticovou rovnost,

0:00:07.846,0:00:09.119
kde matice A zastupuje

0:00:09.119,0:00:11.792
tyto koeficienty na levé straně,

0:00:11.792,0:00:16.259
sloupcový vektor X obsahuje naše[br]dvě neznámé, ‚s' a ‚t'

0:00:16.259,0:00:20.255
a sloupcový vektor B zde vlastně[br]zastupuje tuto pravou stranu.

0:00:20.259,0:00:21.646
A bylo na tom zajímavé,

0:00:21.646,0:00:23.386
že jsme pak měli rovnici danou jako

0:00:23.386,0:00:25.230
matice A krát sloupcový vektor X,

0:00:25.230,0:00:27.605
a to se rovná sloupcovému vektoru B.

0:00:27.605,0:00:29.230
A na tom bylo zajímavé,

0:00:29.230,0:00:30.610
jestliže je A invertovatelná,

0:00:30.610,0:00:35.171
můžeme levou i pravou stranu rovnice

0:00:35.171,0:00:39.450
vynásobit zleva maticí A^-1,

0:00:39.450,0:00:40.878
neboť jak víme,

0:00:40.878,0:00:43.123
při násobení matic záleží na pořadí

0:00:43.123,0:00:44.911
a zde tedy násobíme zleva

0:00:44.911,0:00:46.666
obě strany rovnice.

0:00:46.666,0:00:49.197
A když to provedeme, dostaneme se k tomu,

0:00:49.197,0:00:51.440
že máme vyjádřený[br]sloupcový vektor neznámých.

0:00:51.440,0:00:53.499
Když víme čemu se rovná[br]sloupcový vektor X,

0:00:53.499,0:00:55.870
pak víme, čemu se rovnají[br]neznámé ‚s' a ‚t'.

0:00:55.870,0:00:57.300
A tím jsme v podstatě vyřešili

0:00:57.300,0:00:59.379
tuto soustavu rovnic.

0:00:59.379,0:01:00.913
Pojďme se do toho nyní pustit.

0:01:00.913,0:01:03.531
Pojďme nejprve určit A^-1

0:01:03.531,0:01:05.533
a to pak vynásobíme sloupcovým vektorem B,

0:01:05.533,0:01:07.980
abychom tak určili sloupcový vektor X

0:01:07.980,0:01:10.119
a následně taky ‚s' a ‚t'.

0:01:10.119,0:01:15.501
A^-1…A ^-1 se rovná

0:01:15.501,0:01:17.847
1 děleno determinant matice A…

0:01:17.847,0:01:21.771
Determinant A této matice typu 2x2

0:01:21.771,0:01:24.340
bude 2 krát 4,

0:01:24.340,0:01:28.416
minus -2 krát -5,

0:01:28.416,0:01:32.559
tedy to bude 8 minus plus 10…

0:01:32.559,0:01:34.381
…8 minus plus 10,

0:01:34.381,0:01:36.031
což bude -2.

0:01:36.031,0:01:39.290
Tedy tohle zde bude -2.

0:01:39.343,0:01:42.114
Ještě jednou, 2 krát 4 je 8,

0:01:42.114,0:01:44.700
minus -2 krát -5,

0:01:44.700,0:01:48.960
tedy minus kladné číslo,[br]což nám dává -2.

0:01:48.960,0:01:50.487
Násobíme zde 1 děleno determinant

0:01:50.487,0:01:54.871
krát něco, čemuž se říká[br]adjungovaná matice k matici A,

0:01:54.871,0:01:57.905
to je vlastně výměna levého horního

0:01:57.905,0:02:00.847
a pravého dolního prvku,[br]tedy alespoň u matic 2x2.

0:02:00.847,0:02:03.641
Tedy tohle bude 4.

0:02:03.641,0:02:05.579
Tohle bude 2.

0:02:05.579,0:02:06.960
Jen jsem prohodil tyto prvky…

0:02:06.960,0:02:08.441
…a u těchto prvků přidám minus,

0:02:08.441,0:02:10.493
tedy přidám minus k již[br]tak záporným prvkům.

0:02:10.493,0:02:13.509
Tohle je -2, tedy stane se z toho 2.

0:02:13.509,0:02:16.257
A z tohoto prvku se stane 5.

0:02:16.257,0:02:18.963
Pokud Vám tohle přijde[br]naprosto nesrozumitelné,

0:02:18.963,0:02:22.670
možná je lepší si znovu přehrát[br]výklad o vytváření inverzních matic,

0:02:22.693,0:02:25.240
protože to je přesně to, co tady dělám.

0:02:25.240,0:02:28.551
Tedy A^-1 se bude rovnat…

0:02:28.551,0:02:31.920
A^-1 se bude rovnat…

0:02:31.920,0:02:35.720
Takže, tohle je -1/2 krát 4,

0:02:35.720,0:02:36.773
to je -2.

0:02:36.773,0:02:42.705
-1/2…-1/2 krát 5

0:02:42.705,0:02:48.309
se rovná -2,5…-2,5.

0:02:48.309,0:02:52.810
A pak -1/2 krát 2 se rovná -1.

0:02:52.810,0:02:55.180
-1/2 krát 2 se rovná -1.

0:02:55.180,0:02:56.986
Takže zde máme matici A^-1.

0:02:56.986,0:03:01.721
Nyní vynásobme A^-1 naším[br]sloupcovým vektorem s prvky 7 a -6.

0:03:01.721,0:03:03.710
Tedy pojďme na to!

0:03:03.710,0:03:05.175
Tohle je A^-1. Já ji přepíšu…

0:03:05.175,0:03:10.183
-2 -2,5 -1 -1

0:03:10.183,0:03:15.157
krát 7 a -6

0:03:15.157,0:03:17.963
Krát…já to zde všechno[br]napíšu v bílé barvě.

0:03:17.963,0:03:19.680
7 -6.

0:03:19.680,0:03:23.861
Už jsme udělali hodně cvičení[br]na násobení matic,

0:03:23.861,0:03:26.395
tedy čemu se bude rovnat tohle?

0:03:26.395,0:03:33.520
První prvek bude -2 krát 7, což je -14

0:03:33.520,0:03:38.548
plus -2.5 krát -6.

0:03:38.548,0:03:40.780
Takže…tohle bude kladné číslo.

0:03:40.780,0:03:43.751
To se bude rovnat 12 plus 3 k tomu.

0:03:43.751,0:03:45.666
Tohle tedy bude 15.

0:03:45.666,0:03:47.703
15.

0:03:47.703,0:03:52.027
-2.5 krát -6 je 15.

0:03:52.027,0:03:54.926
Dále, budeme zde mít -1 krát 7,

0:03:54.926,0:03:57.250
což je -7,

0:03:57.250,0:04:00.027
plus -1 krát -6.

0:04:00.027,0:04:03.670
A to je 6.

0:04:03.670,0:04:06.722
Tedy součin A^-1 krát B,

0:04:06.722,0:04:08.979
což je to stejné jako sloupcový vektor X,

0:04:08.979,0:04:09.900
se rovná…

0:04:09.900,0:04:11.426
…pozor, teď to přijde…

0:04:11.426,0:04:15.284
…sloupcový vektor 1 -1.

0:04:15.284,0:04:20.969
Právě jsme ukázali,[br]že tohle se rovná 1 -1,

0:04:20.969,0:04:23.852
neboli že X se rovná 1 -1.

0:04:23.852,0:04:27.891
Nebo můžeme dokonce říct, že[br]sloupcový vektor…

0:04:27.891,0:04:32.720
…sloupcový vektor ‚st'…

0:04:32.720,0:04:36.772
Sloupcový vektor určený prvky[br]‚s' a ‚t' je roven…

0:04:36.772,0:04:43.306
…je roven 1 -1…

0:04:43.306,0:04:46.596
…je roven 1 -1…

0:04:46.596,0:04:47.653
Což však taky znamená,

0:04:47.653,0:04:49.250
že ‚s' je rovno 1

0:04:49.250,0:04:51.021
a ‚t' je rovno -1.

0:04:51.021,0:04:52.180
Vím, co si teď říkáte.

0:04:52.180,0:04:53.559
Řekl jsem to v minulém videu

0:04:53.559,0:04:55.168
a řeknu to znovu i v tomto videu.

0:04:55.168,0:04:58.142
Říkáte si: "Vždyť by bylo jednodušší[br]tu soustavu vyřešit přímo,

0:04:58.142,0:05:01.127
"jen za použití eliminace[br]nebo substituce."

0:05:01.127,0:05:05.910
A já s Vámi souhlasím. Ovšem tenhle[br]postup je šikovný,

0:05:05.910,0:05:07.664
neboť když provádíte nějaké výpočty,

0:05:07.664,0:05:10.125
mohou nastat situace,

0:05:10.125,0:05:14.260
kdy levá strana soustavy[br]zůstává stále stejná,

0:05:14.260,0:05:16.362
ale existuje obrovská[br]spousta různých hodnot

0:05:16.362,0:05:18.274
vystupujících na pravé straně soustavy.

0:05:18.274,0:05:21.726
Tedy pak může byt jednodušší[br]spočítat inverzní matici jen jednou

0:05:21.726,0:05:23.907
a dále jen násobit…

0:05:23.907,0:05:29.876
Dále jen násobit tuto inverzní matici krát[br]to, co vystupuje na pravé straně.

0:05:29.885,0:05:32.132
Možná již znáte některé typy…

0:05:32.132,0:05:33.869
Existují grafické procesory

0:05:33.869,0:05:35.200
a počítačové grafické karty

0:05:35.200,0:05:38.250
a v té souvislosti se mluví[br]o speciálních grafických procesorech.

0:05:38.250,0:05:39.397
Tohle vše je vlastně

0:05:39.397,0:05:41.875
hlavně o hardware, jehož hlavním účelem

0:05:41.875,0:05:45.480
je právě velmi rychlé násobení matic,

0:05:45.480,0:05:47.553
neboť při zpracovávání grafiky

0:05:47.553,0:05:48.864
při snaze modelovat objekty

0:05:48.864,0:05:49.799
ve třech dimenzích,

0:05:49.799,0:05:51.847
provádíte všechny takové[br]možné transformace,

0:05:51.847,0:05:53.031
tak vlastně jen počítáte

0:05:53.031,0:05:55.285
spoustu součinů matic,[br]a to velmi, velmi rychle

0:05:55.285,0:05:58.313
v reálném čase, a tak na uživatele,[br]který hraje počítačovou hru

0:05:58.313,0:05:59.600
nebo dělá něco podobného,

0:05:59.600,0:06:03.896
to pak působí jako by byl v nějakém[br]3D světě v reálném čase.

0:06:03.896,0:06:05.761
Nicméně, na tohle jsem chtěl poukázat.

0:06:05.761,0:06:09.979
Takhle by se to nepočítalo…[br]Kdybych tohle jen náhodně viděl,

0:06:09.979,0:06:13.297
mým instinktem by bylo[br]vyřešit tohle pomocí eliminace,

0:06:13.297,0:06:16.930
ovšem tato schopnost pohlížet[br]na tuto soustavu

0:06:16.930,0:06:21.642
jakožto na maticovou rovnost[br]je velmi užitečným pojetím problému.

0:06:21.642,0:06:23.240
A v podstatě nejen při výpočtech,

0:06:23.240,0:06:26.090
ale také ve vědních disciplínách[br]na vyšší úrovni,

0:06:26.090,0:06:27.108
obzvláště ve fyzice,

0:06:27.108,0:06:31.826
setkáte se s množstvím maticových[br]rovnic s vektory podobným těmto,

0:06:31.826,0:06:33.356
které jsou pojaty spíše obecně.

0:06:33.356,0:06:35.091
Je velmi důležité uvažovat nad tím,

0:06:35.091,0:06:36.928
co tyhle rovnice vlastně reprezentují

0:06:36.928,0:06:39.270
a jak je můžeme vyřešit.