V minulém videu jsme viděli,
že můžeme vzít soustavu dvou rovnic o dvou neznámých
a pohlížet na ni jako na maticovou rovnost,
kde matice A zastupuje
tyto koeficienty na levé straně,
sloupcový vektor X obsahuje naše dvě neznámé, ‚s' a ‚t'
a sloupcový vektor B zde vlastně zastupuje tuto pravou stranu.
A bylo na tom zajímavé,
že jsme pak měli rovnici danou jako
matice A krát sloupcový vektor X,
a to se rovná sloupcovému vektoru B.
A na tom bylo zajímavé,
jestliže je A invertovatelná,
můžeme levou i pravou stranu rovnice
vynásobit zleva maticí A^-1,
neboť jak víme,
při násobení matic záleží na pořadí
a zde tedy násobíme zleva
obě strany rovnice.
A když to provedeme, dostaneme se k tomu,
že máme vyjádřený sloupcový vektor neznámých.
Když víme čemu se rovná sloupcový vektor X,
pak víme, čemu se rovnají neznámé ‚s' a ‚t'.
A tím jsme v podstatě vyřešili
tuto soustavu rovnic.
Pojďme se do toho nyní pustit.
Pojďme nejprve určit A^-1
a to pak vynásobíme sloupcovým vektorem B,
abychom tak určili sloupcový vektor X
a následně taky ‚s' a ‚t'.
A^-1…A ^-1 se rovná
1 děleno determinant matice A…
Determinant A této matice typu 2x2
bude 2 krát 4,
minus -2 krát -5,
tedy to bude 8 minus plus 10…
…8 minus plus 10,
což bude -2.
Tedy tohle zde bude -2.
Ještě jednou, 2 krát 4 je 8,
minus -2 krát -5,
tedy minus kladné číslo, což nám dává -2.
Násobíme zde 1 děleno determinant
krát něco, čemuž se říká adjungovaná matice k matici A,
to je vlastně výměna levého horního
a pravého dolního prvku, tedy alespoň u matic 2x2.
Tedy tohle bude 4.
Tohle bude 2.
Jen jsem prohodil tyto prvky…
…a u těchto prvků přidám minus,
tedy přidám minus k již tak záporným prvkům.
Tohle je -2, tedy stane se z toho 2.
A z tohoto prvku se stane 5.
Pokud Vám tohle přijde naprosto nesrozumitelné,
možná je lepší si znovu přehrát výklad o vytváření inverzních matic,
protože to je přesně to, co tady dělám.
Tedy A^-1 se bude rovnat…
A^-1 se bude rovnat…
Takže, tohle je -1/2 krát 4,
to je -2.
-1/2…-1/2 krát 5
se rovná -2,5…-2,5.
A pak -1/2 krát 2 se rovná -1.
-1/2 krát 2 se rovná -1.
Takže zde máme matici A^-1.
Nyní vynásobme A^-1 naším sloupcovým vektorem s prvky 7 a -6.
Tedy pojďme na to!
Tohle je A^-1. Já ji přepíšu…
-2 -2,5 -1 -1
krát 7 a -6
Krát…já to zde všechno napíšu v bílé barvě.
7 -6.
Už jsme udělali hodně cvičení na násobení matic,
tedy čemu se bude rovnat tohle?
První prvek bude -2 krát 7, což je -14
plus -2.5 krát -6.
Takže…tohle bude kladné číslo.
To se bude rovnat 12 plus 3 k tomu.
Tohle tedy bude 15.
15.
-2.5 krát -6 je 15.
Dále, budeme zde mít -1 krát 7,
což je -7,
plus -1 krát -6.
A to je 6.
Tedy součin A^-1 krát B,
což je to stejné jako sloupcový vektor X,
se rovná…
…pozor, teď to přijde…
…sloupcový vektor 1 -1.
Právě jsme ukázali, že tohle se rovná 1 -1,
neboli že X se rovná 1 -1.
Nebo můžeme dokonce říct, že sloupcový vektor…
…sloupcový vektor ‚st'…
Sloupcový vektor určený prvky ‚s' a ‚t' je roven…
…je roven 1 -1…
Což však taky znamená,
že ‚s' je rovno 1
a ‚t' je rovno -1.
Vím, co si teď říkáte.
Řekl jsem to v minulém videu
a řeknu to znovu i v tomto videu.
Říkáte si: "Vždyť by bylo jednodušší tu soustavu vyřešit přímo,
"jen za použití eliminace nebo substituce."
A já s Vámi souhlasím. Ovšem tenhle postup je šikovný,
neboť když provádíte nějaké výpočty,
mohou nastat situace,
kdy levá strana soustavy zůstává stále stejná,
ale existuje obrovská spousta různých hodnot
vystupujících na pravé straně soustavy.
Tedy pak může byt jednodušší spočítat inverzní matici jen jednou
a dále jen násobit…
Dále jen násobit tuto inverzní matici krát to, co vystupuje na pravé straně.
Možná již znáte některé typy…
Existují grafické procesory
a počítačové grafické karty
a v té souvislosti se mluví o speciálních grafických procesorech.
Tohle vše je vlastně
hlavně o hardware, jehož hlavním účelem
je právě velmi rychlé násobení matic,
neboť při zpracovávání grafiky
při snaze modelovat objekty
ve třech dimenzích,
provádíte všechny takové možné transformace,
tak vlastně jen počítáte
spoustu součinů matic, a to velmi, velmi rychle
v reálném čase, a tak na uživatele, který hraje počítačovou hru
nebo dělá něco podobného,
to pak působí jako by byl v nějakém 3D světě v reálném čase.
Nicméně, na tohle jsem chtěl poukázat.
Takhle by se to nepočítalo… Kdybych tohle jen náhodně viděl,
mým instinktem by bylo vyřešit tohle pomocí eliminace,
ovšem tato schopnost pohlížet na tuto soustavu
jakožto na maticovou rovnost je velmi užitečným pojetím problému.
A v podstatě nejen při výpočtech,
ale také ve vědních disciplínách na vyšší úrovni,
obzvláště ve fyzice,
setkáte se s množstvím maticových rovnic s vektory podobným těmto,
které jsou pojaty spíše obecně.
Je velmi důležité uvažovat nad tím,
co tyhle rovnice vlastně reprezentují
a jak je můžeme vyřešit.