Volume de um cone

Vamos pensar um pouco sobre o volume de um cone.

O cone tem uma base circular.

Na verdade isso depende de como você quer desenhá-lo.

Pense numa cabeça cônica de algum tipo.

Ele terá um círculo como base, que irá para algum ponto.

Então ele se parecerá com algo como isto.

Você pode considerar isto como sendo um cone. Assim mesmo.

Ou você pode pensar nele de cabeça para baixo, como uma casquinha de sorvete.

Então ele pode parecer assim. Este é o topo dele, e então ele vem para baixo desse jeito.

Isto também parece com um tipo de copo descartável que podem ser vistos em bebedouros.

E o de mais importante em que precisamos pensar, é que quando você quer saber

do volume de um cone, definitivamente nós queremos saber

o raio da base, e este é o raio da base. Ou aqui é o raio do topo.

Definitivamente queremos saber este raio. E queremos saber a altura do cone. Então

vamos chamá-la de h. E aqui, você pode chamar esta distância de h,

e a fórmula para o volume de um cone, que é interessante, porque é próxima da fórmula para o volume

de um cilindro, de um jeito bastante claro. O que é algo como surpreendente

e é isto o que é elegante na geometria tridimensional. Não é a bagunça que você pensou que seria.

É a área da base. Bem, qual é a área da base?

A área da base vai ser pi r² vezes a altura, e se você apenas multiplicar a altura

por pi r², isto te daria o volume do cilindro, que pareceria com isto.

Isto te daria este volume completo, da figura que é deste jeito. Onde o centro

do topo é a pontinha do cone, bem aqui.

Se eu deixasse a fórmula assim, h vezes pi r, este é o volume desta "lata", deste cilindro.

Mas se você quer só o cone, ele é só um terço disto.

E isso é o que eu quis dizer quando falei que era surpreendentemente claro:

que este cone bem aqui é 1/3 do volume deste cilindro.

Você pode pensar sobre o cilindro como circunscrito no cone.

Ou se você quer reescrever isto, pode reescrever como 1/3 vezes pi, ou pi sobre 3 vezes h r²,

seja lá como você preferir ver.

O jeito fácil para eu me lembrar: para mim, o volume de um cilindro é bastante intuitivo. Você toma

a área da base e multiplica pela altura, e então o volume do cone é apenas um terço disso.

É só um terço do volume do cilindro circunscrito.

Vamos então aplicar estes números para ter certeza que eles fazem algum sentido para nós.

Digamos que este seja algum tipo de copo de vidro cônico, como o do bebedouro,

e digamos que sabemos que este copo está cheio com 131 centímetros cúbicos de água.

E digamos que nós também sabemos, que sua altura, esta aqui, (vamos fazer numa cor diferente), sabemos que

a altura deste cone é de 5 centímetros. E com isso, qual é o raio aproximado do topo deste copo,

arredondando para o décimo de centímetro cúbico mais próximo.

Tudo o que queremos fazer é, de novo, aplicar a fórmula!

O volume, que é 131 cm³, vai ser igual a 1/3 vezes pi vezes a altura, que é de 5 cm, vezes o raio ao quadrado.

Se queremos resolver para r² podemos dividir os dois lados por todo este negócio e obteremos

r² = 131 centímetros ao cubo, e dividindo por um terço, que é o mesmo que multiplicar por três, e, claro,

vamos dividir tudo por pi, dividir por 5 cm, e vamos ver se conseguimos limpar isso tudo.

Este centímetro vai cancelar com um dos centímetros de cima, e fica-se apenas com centímetros quadrados no

numerador, e então isto vai ficar... se resolvermos para r, temos que tirar a raiz quadrada dos dois lados, e aí

r vai ser igual à raiz quadrada de 3 vezes 131, que é 393, sobre 5 pi, que é só esta parte aqui,

e a raiz quadrada de... Lembre-se que as unidades podem ser tratadas como uma quantidade qualquer, então a raiz

quadrada de centímetros quadrados, dará apenas os centímetros. o que é legal, porque queremos

nossas unidades em centímetros mesmo. Então, vamos pegar nossa calculadora, para calcular

esta expressão bagunçada... Ligamos, e veja, raiz quadrada de 393 dividida por 5 vezes pi

é igual a... Cinc... Puxa, é bem próximo, arredondando, de 5 centímetros. Então nosso raio, é aproximadamente igual

a cinco centímetros, pelo menos neste exemplo.