Volume of a cone

안녕하세요

원뿔의 부피에 대해서 생각해 봅시다

원뿔은 원형인 밑면이 있겠죠

아니면 이것은 당신이 어떻게 그리길 원하느냐에
따라 달라진다고 할 수 있겠죠

원뿔을 고깔형 관모처럼 생각한다면

밑면이 원 모양일 도형을 가질 것이고

어떤 점에 도달하겠죠

그렇게 본다면 원뿔은 이렇게 생겼을 것입니다

이걸 원뿔이라고 생각하셔도 되고

아니면 이 원뿔을 거꾸로 뒤집어서

아이스크림콘처럼 생각하셔도 됩니다

어찌 됐든 간에 그것은 이렇게 생겼을 것입니다

이것이 윗 부분이고

이렇게 내려오겠죠

이 모양은 몇몇 정수기에 비치된

일회용 컵의 모양과도 같습니다

원뿔의 부피가 무엇인지에 대해 알고 싶을 때

중요하게 알아둬야 할 것은

당연하게도 밑면의(원의) 반지름입니다

다시 말하죠: 밑면의 반지름을 알고 싶습니다

그래서 이게 이 밑면의 반지름이 될것입니다

또는 이것은 윗 부분의 반지름이 되겠네요

원의 반지름을 아는 것은 매우 중요합니다

그리고 이 원뿔의 높이도 알아야 합니다

다시 말하죠, 원뿔의 높이를 알고 싶습니다

높이를 h라고 해봅시다

여기에 쓰겠습니다.

이 거리를 h라 부를 수 있습니다

그리고 원뿔의 부피의 식은 ---

굉장히 흥미롭습니다

왜냐하면 원기둥의 부피를 구하는 방법과
유사하기 때문이죠

놀랍지 않나요?

그리고 이 입체도형에서

깔끔한 점은

생각만큼 지저분하거나 복잡하지 않다는 것입니다

이것이 밑면의 넓이입니다

그렇다면, 밑면의 넓이는 무엇일까요?

밑면의 넓이는 πr² 이 될것입니다.

그리고 부피는 πr² 곱하기 높이가 됩니다 (πr²×h)

높이 곱하기 πr²을 하셨다면

이 식이 이렇게 생긴 원기둥

전체의 부피의 값을 구한 것입니다

그래서 이것은 이렇게 생긴 도형에 대한

전체 부피를 구할 수 있게 합니다

상단 중앙이 바로 꼭짓점입니다

그래서 제가 만약 이 것을

πr²h 또는 h×πr²로 놓았다면

이는 원기둥 전체의 부피를 뜻합니다

하지만, 만약 이 원뿔만을 원한다면, 이는 ⅓이 될 것입니다

원기둥의 ⅓이요

그리고 바로 이 점이 앞서 제가

놀라울 정도로 깔끔하다고 했던 이유입니다
여기 있는 이 원뿔이

이 원기둥의 부피의 ⅓이란 것은

이 원기둥을 둘러 싸고 있는 것으로 생각하시면 됩니다

혹은 다시 쓰자면

⅓×π(파이) 혹은 π(파이)/3 × hr²

이라고 쓰셔도 됩니다

본인이 보고 싶은대로 쓰시면 됩니다

제가 쉽게 기억하는 방법은

제게 원기둥의 부피는 매우 직관적입니다

밑면의 넓이를 구합니다

그리고 높이와 그것(밑면의 넓이)을 곱합니다

그리고 원뿔의 부피는 높이x밑면의 넓이의 ⅓이니까

이는 경계를 둘러싸고 있는 원기둥의 ⅓라는 것은

이를 떠올리는 방법 중 하나입니다

그러나 우리는 이 숫자들을 적용해봅시다

이게 말이 되는지 확인해보기 위해서요

그래서 이게 원뿔 모양의 잔이라고 생각을 해봅시다

정수기에서 보는 그런 잔이요

그리고 이 안에 131cm³의 물이

있다고 가정을 합시다

그리고 이의 높이가 주어져 있다고 합시다

다른 색으로 하고 싶네요

이 높이가 5cm라고 주어져 있다고 가정을 해봅시다

그리고 이렇게 주어져 있을때

이 잔의 윗부분의 반지름은 대략 어느 정도 일까요?

10cm와 가장 가깝다고 가정한다면

다시 한번 그냥 공식을 대입하면 됩니다

131cm³인 부피는

⅓ × π(파이) × 5cm인 높이(h) × r²

일 것입니다

이 원의 반지름을 제곱이 된 상태로 풀고 싶다면

양쪽을 모두 나눠서

푸는 방법이 있습니다

그리고 r²의 값이

131cm³, 아니 그게 아니라(강의자의 실수)

131cm²이 된다고 볼 수 있겠네요

이를 ⅓로 나눠줍니다

이는 3을 곱하는 것과 같습니다

그리고, 당연히 π로 나눠줍니다

그리고 5cm로 나눠줍니다

다시 말하죠, 5(cm)로 나눠줍니다

그리고 이제 좀 정리할 수 있는지 한번 봅시다

cm는 여기 있는 cm중 하나로 사라질 것이고

그러면 cm²만 남게 되겠네요

단지 분자 안에서 말이죠

그러면 이 식을

r로 식을 풀기 위해선

양쪽에 √(루트)를 합니다

그렇게 해서 우리는 r을

3 × 131=393/5π, 이 값의의 루트와 같겠네요

그래서 바로 이 부분이요

다시 한번 말하지만, 우리는 단위를

대수학적인 양으로 대할 수 있단 것을 기억하세요

√r²(cm²)은ㅡ

실은 이것은 cm가 되겠죠, 좋네요

왜냐하면 우리는 단위수가 cm인것을 원하기 때문입니다.

그러므로 이 복잡한 표현을 정리하기 위해

계산기를 쓰도록 합니다

전원을 켜고

한번 봅시다.

r² × 393/5π는 5와 비슷하네요

꽤 가깝네요

음 5cm와 매우 가깝습니다

그러므로 우리의 반지름은 대략 5cm이네요

최소한 이 예시에서는 말이죠

원뿔 부피 구하는 방법