안녕하세요
원뿔의 부피에 대해서 생각해 봅시다
원뿔은 원형인 밑면이 있겠죠
아니면 이것은 당신이 어떻게 그리길 원하느냐에 따라 달라진다고 할 수 있겠죠
원뿔을 고깔형 관모처럼 생각한다면
밑면이 원 모양일 도형을 가질 것이고
어떤 점에 도달하겠죠
그렇게 본다면 원뿔은 이렇게 생겼을 것입니다
이걸 원뿔이라고 생각하셔도 되고
아니면 이 원뿔을 거꾸로 뒤집어서
아이스크림콘처럼 생각하셔도 됩니다
어찌 됐든 간에 그것은 이렇게 생겼을 것입니다
이것이 윗 부분이고
이렇게 내려오겠죠
이 모양은 몇몇 정수기에 비치된
일회용 컵의 모양과도 같습니다
원뿔의 부피가 무엇인지에 대해 알고 싶을 때
중요하게 알아둬야 할 것은
당연하게도 밑면의(원의) 반지름입니다
다시 말하죠: 밑면의 반지름을 알고 싶습니다
그래서 이게 이 밑면의 반지름이 될것입니다
또는 이것은 윗 부분의 반지름이 되겠네요
원의 반지름을 아는 것은 매우 중요합니다
그리고 이 원뿔의 높이도 알아야 합니다
다시 말하죠, 원뿔의 높이를 알고 싶습니다
높이를 h라고 해봅시다
여기에 쓰겠습니다.
이 거리를 h라 부를 수 있습니다
그리고 원뿔의 부피의 식은 ---
굉장히 흥미롭습니다
왜냐하면 원기둥의 부피를 구하는 방법과 유사하기 때문이죠
놀랍지 않나요?
그리고 이 입체도형에서
깔끔한 점은
생각만큼 지저분하거나 복잡하지 않다는 것입니다
이것이 밑면의 넓이입니다
그렇다면, 밑면의 넓이는 무엇일까요?
밑면의 넓이는 πr² 이 될것입니다.
그리고 부피는 πr² 곱하기 높이가 됩니다 (πr²×h)
높이 곱하기 πr²을 하셨다면
이 식이 이렇게 생긴 원기둥
전체의 부피의 값을 구한 것입니다
그래서 이것은 이렇게 생긴 도형에 대한
전체 부피를 구할 수 있게 합니다
상단 중앙이 바로 꼭짓점입니다
그래서 제가 만약 이 것을
πr²h 또는 h×πr²로 놓았다면
이는 원기둥 전체의 부피를 뜻합니다
하지만, 만약 이 원뿔만을 원한다면, 이는 ⅓이 될 것입니다
원기둥의 ⅓이요
그리고 바로 이 점이 앞서 제가
놀라울 정도로 깔끔하다고 했던 이유입니다 여기 있는 이 원뿔이
이 원기둥의 부피의 ⅓이란 것은
이 원기둥을 둘러 싸고 있는 것으로 생각하시면 됩니다
혹은 다시 쓰자면
⅓×π(파이) 혹은 π(파이)/3 × hr²
이라고 쓰셔도 됩니다
본인이 보고 싶은대로 쓰시면 됩니다
제가 쉽게 기억하는 방법은
제게 원기둥의 부피는 매우 직관적입니다
밑면의 넓이를 구합니다
그리고 높이와 그것(밑면의 넓이)을 곱합니다
그리고 원뿔의 부피는 높이x밑면의 넓이의 ⅓이니까
이는 경계를 둘러싸고 있는 원기둥의 ⅓라는 것은
이를 떠올리는 방법 중 하나입니다
그러나 우리는 이 숫자들을 적용해봅시다
이게 말이 되는지 확인해보기 위해서요
그래서 이게 원뿔 모양의 잔이라고 생각을 해봅시다
정수기에서 보는 그런 잔이요
그리고 이 안에 131cm³의 물이
있다고 가정을 합시다
그리고 이의 높이가 주어져 있다고 합시다
다른 색으로 하고 싶네요
이 높이가 5cm라고 주어져 있다고 가정을 해봅시다
그리고 이렇게 주어져 있을때
이 잔의 윗부분의 반지름은 대략 어느 정도 일까요?
10cm와 가장 가깝다고 가정한다면
다시 한번 그냥 공식을 대입하면 됩니다
131cm³인 부피는
⅓ × π(파이) × 5cm인 높이(h) × r²
일 것입니다
이 원의 반지름을 제곱이 된 상태로 풀고 싶다면
양쪽을 모두 나눠서
푸는 방법이 있습니다
그리고 r²의 값이
131cm³, 아니 그게 아니라(강의자의 실수)
131cm²이 된다고 볼 수 있겠네요
이를 ⅓로 나눠줍니다
이는 3을 곱하는 것과 같습니다
그리고, 당연히 π로 나눠줍니다
그리고 5cm로 나눠줍니다
다시 말하죠, 5(cm)로 나눠줍니다
그리고 이제 좀 정리할 수 있는지 한번 봅시다
cm는 여기 있는 cm중 하나로 사라질 것이고
그러면 cm²만 남게 되겠네요
단지 분자 안에서 말이죠
그러면 이 식을
r로 식을 풀기 위해선
양쪽에 √(루트)를 합니다
그렇게 해서 우리는 r을
3 × 131=393/5π, 이 값의의 루트와 같겠네요
그래서 바로 이 부분이요
다시 한번 말하지만, 우리는 단위를
대수학적인 양으로 대할 수 있단 것을 기억하세요
√r²(cm²)은ㅡ
실은 이것은 cm가 되겠죠, 좋네요
왜냐하면 우리는 단위수가 cm인것을 원하기 때문입니다.
그러므로 이 복잡한 표현을 정리하기 위해
계산기를 쓰도록 합니다
전원을 켜고
한번 봅시다.
r² × 393/5π는 5와 비슷하네요
꽤 가깝네요
음 5cm와 매우 가깝습니다
그러므로 우리의 반지름은 대략 5cm이네요
최소한 이 예시에서는 말이죠
원뿔 부피 구하는 방법