Linear Algebra: Deriving a method for determining inverses

Aquí tengo esta matriz A que quiero poner en forma

escalonada reducida.

Y lo hemos hecho esto varias veces ya.

Solo tiene que realizar un montón de operaciones de fila.

Pero lo que quiero mostrarles con este vídeo es esas filas

operaciones de filas son equivalentes a transformaciones lineales

de los vectores columna de A.

Déjenme mostrarles con un ejemplo.

Así que si sólo queremos poner A en forma escalonada reducida por filas,

el primer pason que vamos a querer hacer si queremos

llegar a zero en estas entradas, es- dejame hacerlo bien

aqui- e que mantendremos nuestra primera entrada igual

Entonces para cada de los vectores de las columnas, vamos a dejar

la primera entrada igual

entonces van a hacer 1, menos 1, menos 1

Y al mismo tiempo construllamos my

transformacion

Así que yo estoy diciendo que mi operación de fila que voy a realizar

es equivalente a una transformación lineal.

en el vector columna ..

Así que va a ser una transformación que va a hacer.

tomar algún vector columna, a1, a2, y a3 ..

Va a tomar cada uno de ellos y luego hacer algo para

ellos, hacer algo con ellos de una manera lineal ..

Estarán transformaciones lineales ..

Así que estamos cumpliendo con la primera entrada de nuestro.

vector columna de la misma ..

Así que esto es sólo va a ser a1.

Esta es una línea aquí.

Eso va a ser a1.

Now, what can we do if we want to get to

forma reducida escalonada?

Nos gustaría que esta igual a 0.

Así que nos gustaría reemplazar nuestra segunda fila con el segundo

además de fila de la primera fila, porque entonces estos chicos se

llegar a ser 0.

Así que permítanme que escribir sobre mi transformación.

Voy a reemplazar a la segunda fila de la segunda fila

además de la primera fila.

Déjame escribir aquí.

-1+1=0

2+(-1)=1

3+(-1)=2

Ahora bien, también queremos obtener un 0 aquí.

Así que permítanme reemplazar mi tercera fila con mi tercera fila

menos mi primera fila.

Así que voy a cambiar mi tercera fila con mi tercera fila

menos mi primera fila.

1-1=0

1-(-1)=2

4-(-1)=5, así como así.

Así que ya ves esto era sólo una transformación lineal.

Y cualquier transformación lineal que en realidad podría representar

como un producto vectorial matriz.

tan 1, 0, 0.

0+1=1

1+0=1

0+0=0

0-1=-1

0-0=0

1-0=1

Digamos que tenemos una matriz de identidad de la derecha.

Ahora bien, si usted realiza esa operación misma fila en este tipo

allí mismo, ¿qué tienes?.

Usted tendría S1 S2 tiempos, los tiempos de la matriz identidad.

Ahora, nuestra operación de la última fila se representa con la matriz

S3 de productos.

Lo estamos multiplicando por el S3 de transformación de la matriz.

Así que si usted hiciera eso, usted tiene S3, S2, S1 A

Sin embargo, si realiza las mismas operaciones exactas de fila en esta

chico aquí, tienes S3, S2, S1, tiempos

la matriz de identidad.

Ahora, cuando lo hizo, cuando realizó estas fila

operaciones aquí, esto ha llegado a la matriz identidad.

¿qué son estos va a conseguir usted?

Cuando se acaba de realizar las mismas operaciones fila exactas que

realizado en un llegar a la matriz de identidad, si.

realiza las mismas operaciones fila exactas sobre la identidad

matriz, ¿qué se obtiene?

Usted recibe este tipo aquí.

Veces cualquier cosa que matriz de identidad se van

a ser igual a sí mismo.

Entonces, ¿qué es eso de ahí?

Esa es A inversa.

Así que tenemos una forma generalizada de calcular la inversa

para matriz de transformación.

Lo que puedo hacer es, digamos que tengo un poco de

transformación de la matriz A.

Puedo crear una matriz aumentada donde pongo el

matriz identidad allí mismo, así como así, y realizo

un grupo de operaciones de fila.

Y se podría representarlos como productos de la matriz ..

Pero realizar un montón de operaciones de fila en todas ellas.

Realiza las mismas operaciones que se realizan en A como

que se hace en la matriz identidad.

Por el tiempo que tiene A como una matriz de identidad, usted tiene A en

reduced row echelon form..

En el momento en que A es así, su matriz de identidad, teniendo.

realiza las mismas operaciones precisas sobre él, se va

para ser transformada en una de inverso ..

Esta es una herramienta muy útil para resolver inversas reales ..

Ahora, he explicado lo teórico.

razón por la que esto funciona ..

En el siguiente video que realmente va a resolver esto ..

Tal vez lo vamos a hacer por el ejemplo que puso en marcha.

con en este video.