Linear Algebra: Deriving a method for determining inverses

لدينا هذه المصفوفة A هنا والتي أريد أن أوضعها في نموذج درجة الصف المخفض

حيث قمنا بذلك عدة مرات من قبل. حيث أننا قمنا بمجموعة من العلمليات الصفية

ولكن ما أريد أن أوضحه لكم في هذا الفيديو هو أن تلك العمليات الصفية مكافئة للتحويلات الخطية التي تجرى على المتجهات العمودية للمصفوفة a

لذا, دعونا نوضح ذلك مع التمثيل

لو أردنا أن نضع المصفوفة a في نموذج درجة الصف المخفض, فأول خطوة سنقوم بها ستكون تصفير هذه المدخلات الموجود هاهنا, حيث أننا سنبقي المدخل الأول كما هو

وبالنسب لكل المتجهات العمودية, فسنبقى المدخل الأول كما هو

وبالتالي, سيكون لدينا واحد, سالب واحد, سالب واحد

وفي الوقت ذاته سأنشئ تحويلا

وكما قلت أن العمليات الصفية التي سأقوم بها تعادل التحويل الخطي على المتجه العمودي

وبالتالي فهي ستكون عبارة عن تحويل يأخذ متجه عمودي ما مكون من aواحد, aاثنين, a ثلاثة . بتمثل كل منها في طريقة خطية

وبالتالي سيصبحون عبارة عن تحويلات خطية

لذا, سنبقي المدخل الأول لكل من المتجهات الخطية كما هو

وبالتالي سيكون هذا المدخل عبارة عن aواحد

والآن, ماذا بوسعنا أن نفعل لو أردنا الحصول على نموذج درجة الصف المخفض؟

سنجعل هذا المدخل مساويا صفر

ولهذا, سنستبدل الصف الثاني بالصف الأول زائد الصف الأول, وذلك لأن هذه المدخلات ستصبح صفرا

سأكتب هذا على التحويل الموجود لدينا

سأستبدل الصف الثاني بالصف الثاني زائد الصف الأول

سأكتبه هاهنا

سالب واحد زائد واحد يساوي صفر

اثنان زائد سالب واحد يساوي واحد

ثلاثة زائد سالب واحد يساوي اثنين

والآن نريد أيضا أن نحصل على صفر هنا

لذا, سنستبدل الصف الثالث بالصف الثالث ناقص الصف الأول

لذا, فواحد ناقص واحد تساوي صفر

و واحد ناقص سالب واحد تساوي اثنين

و أربعة ناقص سالب واحد تساوي خمسة

وكما ترون أن هذا كان عبارة عن تحويل

و يمكنك تمثيل أي تحويل خطي في الواقع كحاصل ضرب مصفوفة في متجه

على سبيل المثال, يمكنني تمثيل هذذا التحويل

ولتحديد مصفوفة مصفوفة هذا التحويل, فلو إفترضنا أن T وهو تحويل ال X يساوي ....وتكون مصفوفة s مضروبة في x

وبما أننا إستخدمنا المصفوفة a من قبل, إخترت حرفا آخرا

وبالتالي, كيف سنوجد s?

حسنا, نطبق التحويل على كل من المتجهات العمودية, أو على متجهات القاعدية لمصفوفة الوحدة. ولنقم بذلك

سأرسم هنا مصفوفة وحدة صغيرة هنا ولتكن عبارة عن( واحد, صفر, صفر, صفر)و ( واحد, صفر, صفر, صفر, واحد)

هذا هو شكل مصفوفة الوحدة

ولإيجاد تحويل المصفوفة, سنطبق هذا التحويل على كل من هذه المتجهات العمودية لهذه المصفوفة

وبالتالي, على ماذا سوف نحصل؟

سنطبق هذا التحويل على كل من المتجهات العمودية هذه

ولكن كما ترون أن الصف الأول يبقى دائما كما هو

وبالتالي سيكون لدينا واحد, صفر, صفر

حيث أنني أطبقه في الوقت ذاته على كل من المتجهات العمودية هذه. حيث أنه عند تحويل أي من المتجهات العمودية هذه, تبقى مدخلاتهم الأولى كما هي

والمدخل الثاني يصبح المدخل الثاني زائد المدخل الأول

لذا, صفر زائد واحد يساوي واحد

و واحد زائد صفر يساوي واحد

و صفر زائد صفر يساوي صفر

ثم, يتم إستبدال المدخل الثالث بالمدخل الثالث ناقص المدخل الأول

لذا, صفر ناقص واحد يساوي سالب واحد

وصفر ناقص صفر يساوي صفر

و واحد ناقص صفر يساوي واحد

والآن لاحظ هنا أن عند تطبيق هذا التحويل على المتجهات العمودية لمصفوفة الوحدة, أقوم فقط ببعض العمليات الصفية التي قمت بها هنا في الأعلى

حيث أنني قمت بنفس العمليات الصفيى على مصفوفة الوحدة هذه

كما تعلمون أن هذه عبارة عن مصفوفة التحويل والتي لو ضربت في كل من المتجهات العمودية هذه أو في كل من المتجهات العمودية هذه, فهندها سنحصل على متجهات عمودية

يمكنك إعتبارها بهذا الشكل

وهذه المصفوفة الموجودة هنا تساوي s, وهذه هي عبارة عن مصفوفة التحويل الموجودة لدينا

وبالتالي يمكننا القول أننا لو أنشئنا مصفوفة جديدة مكونة من أعمدة s مضروبة في المتجه العمودي هذا, s مضروبة في واحد, سالب واحد, واحد

والمتجه التالي يساوي S مضروبة ف هذا العنصر , سالب واحد, اثنين, واحد

ثم, العمود الثالث يساوي S مضروبة في المتجه العمودي الثالث( سالب واحد, ثلاثة, أربعة)

وكما تعلمون أننا نطبق هذا التحويل, هذه S مضروبة في كل من المتجهات العمودية هذه

وهذا عبارة عن تمثيل مصفوفة هذا التحويل

سيتم تحويل هذا العنصر الموجود هاهنا في الأسفل هاهنا

سأرسم سهما هاهنا, وهذا عبارة عن أبسط شئ

وهذه المصفوفة الموجودة هاهنا ستصبح هذه المصفوفة

لذا, فإمكانك كتابتها بطريقة أخرى, ماذا ستعادل؟

عند ضرب مصفوفة ما في كل من المتجهات العمودية, عند التعويض عن كل من هذه المتجهات العمودية بهذه المصفوفة. سيكون هذا هو تعريف حاصل ضرب مصفوفة في مصفوفة

وذهذا يساوي المصفوفة الموجودة لدينا S المكونة من( واحد, صفر, صفر, واحد, واحد, صفر)

(سالب واحد, صفر, واحد) ضرب المصفوفة A مضروبة في( سالب واحد, واحد, سالب واحد, اثنين, واحد)( سالب واحد, ثلاثة, أربعة)

دعوني أوضح لكم ما أقوم به هنا

فهذا عبارة عن تحويل المصفوفة S, وهذه المصفوفة A

وعند تمثيل هذا الناتج, فستحصل على هذا العنصر الموجود هاهنا

سأنسخه و ألصقة كما هو

وبالتالي سيكون هذا العنصر بهذا الشكل

والآن, السبب الكلي للقيام بذلك هو من أجل تذكيركم بأننا عند القيام بكل من العمليات الصفية هذه, فإننا نقوم بعملية الضرب فقط

أي أننا نجري عملية تحويل خطي على كل من هذه الأعمدة

وهذا تماما معادل لعملية ضري هذا العنصر في مصفوفة S

وفي هذه الحالة, يتوجب علينا تحديد ماذا ستكون مصفوفة S.

كما نستطيع دائما تمثيل أي من العمليات الصفية التي نجرها لحتى الآن من خلال عملية ضرب مصفوفة ما

وهذا سيؤدي إلى فكرة مشوقة جدا

فعند وضع مصفوفة ما في نموذج درجة الصف المخفض- دعونا أولا ننتهي من ما بدأنا به بهذا العنصر- لذا دعونا نضع هذا العنصر في نموذج درجة الصف المخفض

ولنسمي هذه المصفوفة ب S الأولى وتلك ب S واحد

وبالتالي فهذا العنصر الموجود هاهنا يساوي Sواحد مضروبة في A

حيث أننا أثبتنا صحة ذلك مسبقا

والآن, لنقم بتحويل آخر, لذا, سنقوم بمجموعة أخرى من العمليات الصفية للحصول على نموذج درجة الصف المخفض

ولهذا, سنبقي الصف الأوسط كما هو وهو(صفر, واحد, اثنين)

وسنستبدل الصف الأول بالصف الأول زائد الصف الثاني, وذلك لأنني أريد أن أجعل عذا العنصر صفر

لذا, واحد زائد صفر يساوي واحد

دعونا نستخدم لونا جديدا هنا

سالب واحد زائد واحد يساوي صفر

سالب واحد زائد اثنين يساوي واحد

والآن سنستبدل الصف الثالث, ولنقل أن الصف الثالث ناقص اثنين مضروبة في الصف الأول و بالتالي هذا سيكون عبارى عن صفر ناقص اثنين مضروبة في صفر يساوي صفر

و اثنين ناقص اثنين مضروبة في واحد يساوي صفر

و خمسة ناقص اثنين مضروبة في اثنين يساوي واحد

و أيضا خمسة ناقص أربعة يساوي واحد

والآن نأتي هنا, حيث ينبغي علينا تصفير هذه العناصر الموجودة هنا

لذا, سنرى إن كان بالإمكان وضعها في نموذج درجة الصف المخفض. فما هذا؟

حيث أنني قمت بتحويل خطي آخر, وسأكتبه هنا

فلو إفترضنا أن هذا كان التحويل الخطي الأول الموجود لدينا, فما قمت به أنني أنشئت تحويلا خطيا آخرا وهو tاثنين

وسأكتبه برموز مختلفة, حيث تعطيني متجه خطي مكون من( Xواحد, Xاثنين, X ثلاثة)

ماذا الذي فعلته؟

ماذا كان التحويل الذي قمت؟

المتجه الجديد, جعلت الصف العلوي مساويا للصف العلوي زائد الصف الثاني

وبالتالي سيكون لدينا هنا Xواحد زائد X اثنين. كما أنني أبقيت الصف الثاني كما هو

ومن ثم, إستبدلت الصف الثالث بالصف الثالث ناقص اثنين مضروبة في الصف الثاني

وهذا كان عبارة عن التحويل الذي قمت به

وأيضا, تمكنا من تمثيل التحويل الخطي هذا...يمكننا القول أن التحويل T اثنين المعوض في متجه ما وليكن X يساوي متجه التحويل Sاثنين مضروبا في المتجه X

ولكن, لو عوضنا مصفوفة التحويل هذه بكل من الأعمدة , وهذا يعادل ضرب العمود بمصفوفة التحويل هذه

وبالتالي, يمكننا القول أن هذا العنصر الموجود هنا....لم أحدد بعد ما هذا, ولكنني أعتقد أنكم فهمتم الفكرة

وبالتالي, فهذه المصفوفة الموجودة هاهنا تساوي هذا ال

لذا, فهي ستساوي s اثنين مضروبا في هذا ال

ماذا يكون هذا العنصر الموجد هاهنا؟

حسنا, هذا العنصر الموجود هنا يساوي sواحد مضروبة في a

سيكون sاثنين مضروبة في sواحد مضروبة في a

وهذا كاف

وكان بالإمكان المجئ هنا بشكل مباشر لو أردنا ضرب s اثنين في s ,احد

وهذه تكون عبارة عن مصفوفة أخرى

فلو ضربتها في المصفوفة a فستنتقل بشكل مباشر من هنا لنا

جيد

ولحتى الآن لم نضع هذه المصفوفة في نموذج درجة الصف المخفض

والآن, دعونا نقوم بذلك هنا

يبدو أنني قد نفذت من المساحة هنا وينبغي على الإنتقال للأعلى

ما أريد فعله هو إبقاء الصف الثالث كما هو وهو( صفر, صفر, واحد)

وسأستبدل الصف الثاني بالصف الثاني ناقص اثنين مضروبة في الصف الثالث

حسنا, سنحصل على صفر, سنحصل على واحد ناقص اثنين مضروبة في صفر وبالتالي سنحصل على اثنين في اثنين مضروبة في واحد. وهذا صفر

سنستبدل الآن الصف الأول بالصف الأول ناقص الصف الثالث

وبالتالي, سيكون لدينا واحد ناقص صفر يساوي واحد

وصفر ناقص صفر يساوي صفر

و واحد ناقص واحد يساوي صفر

وسنكتب هنا ماذا كان التحويل, ولنسميه t ثلاثة

سأكتبه باللون الأوجواني

T ثلاثة هي عبارة عن تحويل للمتجه المكون من( X واحد, Xاثنين, Xثلاثة)

ماذا نفعل هنا؟

ما فعلناه هو أننا إستبدلنا الصف الأول بالصف الأول ناقص الصف الثالث, X واحد ناقص X ثلاثة

حيث أننا إستبدلنا الصف الثاني بالصف الثاني ناقص اثنين مضروبة في الصف الثالث

وبالتالي سيكون لدينا Xاثنين ناقص اثنين مضروبة في Xثلاثة

والصف الثالث يبقى كما هو

وهذا يمكن أن يمثل بوضوح هنا. فالتحويل t ثلاثة للمتجه X ممكن أن يساوي مصفوفة التحويل Sثلاثة في X

وبالتالي فعند ضرب هذا التحويل في كل من هذه الأعمدة, فهذا يعادل عملية ضرب المتجه في مصفوفة التحويل هذه والتي لم توجد حتى الآن

هذا سيساوي s ثلاثة مضروبة في هذه المصفوفة الموجودة هنا وهي عبارة عن( S اثنين, S واحد, A)

وماذا يوجد لدينا هاهنا؟

يوجد لدينا هنا مصفوفة الوحدة . كما أننا وضعناها في نموذج درجة الصف المخفض

ومن خلال الفيديوهات السابقة, فإنا نعلم تماما أن نموذج درجة الصف المخفض لمصفوفة ما يساوي مصفوفة الوحدة

وثم, فإننا نتعامل مع تحويل قابل للعكس, أو مصفوفة قابلة للعكس

ولذلك لأن هذا يمكن أن يكون بوضوح تحويل لتحويل ما#

وبما أننا إستخدمنا t لتحويل سابق, سنستخدم tصفر للتحويل المطبق على متجه ما X والذي قد يساوي AX

والآن. فنحن نعلم أن هذه المصفوفة قابلة للعكس. وبالتالي سنضعها في مصفوفة تحويل في نموذج درجة الصف المخفض

وثم سنحصل على مصفوفة التحويل

لذا, فهذا يخبرنا أن هذه المصفوفة قابلة للعكس. ولكن هناك أمر أكثر أهمية حصل

وهو أننا توصلنا هنا وذلك من خلال بعض العمليات الصفية

كما أننا قلنا أن العمليات الصفية تلك كانت مكافئة تماما لعملية ضرب هذا العنصر الموجود هاهنا من خلال ضرب المصفوفة الأصلية الموجودة هنا في سلسلة مصفوفات التحويل التي تمثل سلسلة العمليات الصفية

وعندما ضربنا كل هذه, كان هذا مساويا لمصفوفة الوحدة

وكما أشرنا في الفيديو السابق بأن معكوس المصفوفة,,فلو كانت هذا هو التحويل Tصفر, معكوس Tصفر يمكن أن يمثل- وهذا عبارة عن تحويل خطي- يمكن أن يمثل من خلال مصفوفة المعكوس التي سميناها A المعكوس مضروبا في X

وكما رأينا أن تحويل مصفوفة تحويل المعكوس مضروبة في مصفوفة التحويل الموجودة لدينا يساوي مصفوفة الوحدة. وهذا شاهدناه من المرة السابق عندما أثبته لكم

والآن لدينا هنا شئ مثير للإهتمام وهو وجود سلسلة نواتج ضرب مصفوفات في هذا العنصر مضروبا في هذا العنصر والذي أنشئ مصفوفة الوحودة

وبالتالي, مجموعة نواتج ضرب المصفوفات, لا بد أن تكون هذه المصفوفة نفس مصفوفة تحويل المعكوس

وبالتالي يمكننا في الحقيقة حسابها إذا أردنا

وكما فعلنا, حيث حددنا ماذا كانت Sواحد هنا في الأسفل

يمكننا القيام بعملية مشابهة لتحديد ماذا كانت s اثنين, sثلاثة ومن ثم ضرب كل منهما

ويسينتج لدينا في الواقع معكوس المصفوفة A

أعتقد أنه هناك أمرا مشوقا أخرا يمكن القيام به بدلا من هذا وهو ماذا لو عوضنا نفس نواتج ضرب المصفوفة في مصفوفة الوحدة

حيث أننا قمنا بها عندما قمنا بالعمليات الصفية الأولى

وبالتالي, لدينا هنا المصفوفة A

ولنفترض أن لدينا مصفوفة الوحدة هنا على اليمين ولنسميها i

والآن, التحويل الخطي الأول الذي قمنا به...### كان مكافئا لضرب Sواحد في a

وهذه كانت عبارة عن مجموعة العمليات الصفية الأولى

والآن, لو طبقنا نفس مجموعة العمليات الصفية على مصفوفة الوحودة, فماذا سوف ينتج؟

سنحصل على مصفوفة Sواحد. حيث أن s واحد مضروبة في مصفوفة الوحدة تساوي sواحد

وعند ضرب أعمدة أية مصفوفة في مصفوفة الوحدة مضروبة في الأعمدة القاعدية المعيارية ستكون هي نفسها

ولكن سيبقى لدينا sواحد

وS واحد مضروبة في I يساوي sواحد

وهذا كاف

والآن, قمنا بعمليات الصف الثانية وتوصلنا إلى Sاثنين مضروبة في sواحد مضروبة في a

والآن, لو أجرينا نفس العملية الصفية على هذا العنصر الموجود هنا, ماذا سينتج لدينا؟

سينتج لديناs اثنين مضروبة في s واحد مضروبة في مصفوفة الوحدة

والعملية الصفية الأخيرة التي مثلناها مع ناتج ضرب المصفوفة s ثلاثة

حيث أننا نضربها بمصفوفة التحويل sثلاثة

وبالتالي, لو قمنا بذلك, سينتج لدينا( sثلاثة, sاثنين, sواحد, a)

ولكن, لو مثلنا نفس العلمليات الصفية على هذا العنصر الموجود هنا, سينتج لدينا(sثلاثة, sاثنين, sواحد) مضروبة في مصفوفة الوحدة

وعند الإنتهاء من هذه الخطوة, أي عند تمثيل العمليات الخطية هذه هنا, فسينتج لدينا مصفوفة الوحدة)

حسنا, ماذا سينتج عن هذه؟

عندما مثلت العمليات الصفية نفسها, فإنني مثلتها على المصفوفة a وذلك للحصول على مصفوفة الموحدة

ولو طبقت العمليات الصفية نفسها على مصفوفة الوحدة, فماذا سوف ينتج؟

سينتج لدينا العنصر الموجود لدينا هاهنا

وأي مصفوفة مضروبة في مصفوفة الوحدة ستساوي نفسها

وبالتالي, ماذا سيصبح هذا؟

هذا عبارة عن معكوس A

لدينا طريقة معممة لتحديد المحدد لمصفوفة التحويل

ما يمكنني فعله هو ,,,ولنفترض أن لدينا مصفوفة تحويل a

كما يمكنني إنشاء مصفوفة مزيدة حيث يتم وضع مصفوفة الوحدة هاهنا, بهذه الطريقة, ومن ثم تمثيل مجموعة من العمليات الصفية

حيث بالإمكان تمثيل هذه العمليات كنواتج ضرب مصفوفة

إلا أنه بالإمكان تمثيل مجموعة من العمليات الصفية على كل نواتج المصفوفات

نستطيع أن نمثل نفس العمليات التي مثلناها على A كما نقوم به على مصفوفة الوحدة

وعندما نحصل على A كمصفوفة واحدة, ستصبح المصفوفة a في نموذج درجة الصف المخفض

وعندما تصبح المصفوفة a في نموذج درجة الصف المخفض, وبعد تمثيل العمليات الصفية عليها, سيتم تحويلها إلى معكوس a

وهذه أداة مفيدة جدا لحل المعاكيس الحقيقية

والآن, قمت بشرح الجزء النظري لإثبات أن هذا حقيقيا

وفي الفيديو القادم, سنجد حلا لهذه. وربما نحله للمثال الذي بدأت به في هذا الفيديو