< Return to Video

Integrating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy

  • 0:00 - 0:02
    Để bảo rằng f(x),
  • 0:02 - 0:03
    là một chuỗi vô hạn,
  • 0:03 - 0:06
    đi từ n bằng 1 tới vô cực,
  • 0:06 - 0:10
    của n cộng 1 chia 4 mũ n cộng 1, nhân x mũ n.
  • 0:11 - 0:13
    Và nhiệm vụ của ta là tìm xem,
  • 0:13 - 0:17
    tích phân xác định từ 0 tới 1 của f(x) là gì?
  • 0:17 - 0:20
    Như mọi khi, mình khuyên các bạn,
  • 0:20 - 0:22
    mình nghĩ sẽ tốt hơn,
  • 0:22 - 0:23
    nếu bạn dừng video lại và tự giải,
  • 0:23 - 0:25
    hoặc bạn có thể xem mình giải một chút,
  • 0:25 - 0:28
    rồi dừng lại và tự giải tiếp.
  • 0:28 - 0:31
    Chà, hãy viết biểu thức này lại một tí.
  • 0:31 - 0:32
    Biểu thức này sẽ bằng với,
  • 0:32 - 0:34
    tích phân từ 0 tới 1.
  • 0:34 - 0:39
    f(x) là một chuỗi, nên mình có thể viết là
  • 0:39 - 0:42
    tổng từ n bằng 1 tới vô cực
  • 0:43 - 0:47
    của n cộng 1 chia cho 4 mũ n cộng 1,
  • 0:47 - 0:49
    nhân với x mũ n.
  • 0:49 - 0:51
    Điều mình sắp làm ở đây,
  • 0:51 - 0:54
    có thể trộng lạ lẫm đối với bạn,
  • 0:54 - 0:55
    nhưng nó rất quan trọng,
  • 0:55 - 0:58
    ta sẽ tính tích phân xác định của tổng các số hạng.
  • 0:58 - 1:01
    Nó sẽ giống như là tính tổng
  • 1:01 - 1:03
    của nhiều tích phân xác định.
  • 1:03 - 1:04
    Để mình làm rõ khái niệm này.
  • 1:04 - 1:06
    Mình có một tích phân xác định,
  • 1:06 - 1:11
    từ 0 tới 1, giả sử mình có rất nhiều số hạng ở đây.
  • 1:11 - 1:12
    Hãy gọi chúng là các hàm số.
  • 1:12 - 1:16
    Xem nào, ta có g(x) cộng h(x),
  • 1:16 - 1:20
    và mình cứ đi tiếp như thế, dx,
  • 1:20 - 1:22
    chà, nó giống với tổng của các tích phân,
  • 1:22 - 1:26
    tích phân đi từ 0 tới 1 của g(x),
  • 1:26 - 1:31
    g(x) dx cộng tích phân từ 0 tới 1 của f(x),
  • 1:33 - 1:36
    cộng, và ta cứ cộng tiếp như thế.
  • 1:36 - 1:37
    Đây chính là,
  • 1:37 - 1:40
    tính chất của tích phân.
  • 1:40 - 1:42
    Ta cũng có thể làm điều tương tự ở đây,
  • 1:42 - 1:44
    kể cả khi ta vẫn để dấu sigma.
  • 1:44 - 1:47
    Biểu thức này bằng với tổng
  • 1:49 - 1:52
    từ n bằng 1 tới vô cực
  • 1:53 - 1:56
    của tích phân xác định của từng số hạng.
  • 1:56 - 1:58
    Mình sẽ viết nó như này.
  • 1:58 - 2:02
    Tích phân từ 0 tới 1,
  • 2:02 - 2:06
    của n cộng 1 trên 4 mũ n cộng 1,
  • 2:08 - 2:11
    nhân x mũ n, rồi dx.
  • 2:13 - 2:17
    Nhắc lại, ta đang tính tổng của từng số hạng.
  • 2:17 - 2:21
    Hãy cùng tính nhé.
  • 2:23 - 2:25
    Cái này sẽ bằng với...
  • 2:25 - 2:29
    Sẽ bằng với tổng,
  • 2:29 - 2:32
    từ n bằng 1 tới vô cực,, và biểu thức
  • 2:32 - 2:34
    mà mình gạch dưới bằng màu cam.
  • 2:34 - 2:35
    Xem nào,
  • 2:35 - 2:38
    ta tính tích phân của nó.
  • 2:38 - 2:41
    Ta sẽ có x mũ n cộng 1,
  • 2:43 - 2:44
    rồi ta chia nó cho n cộng 1.
  • 2:44 - 2:48
    Vậy ta có n cộng 1 chia cho,
  • 2:48 - 2:52
    4 mũ n cộng 1, và nó là một hằng số
  • 2:52 - 2:54
    khi ta tính tích phân theo biến x,
  • 2:54 - 2:57
    tiếp theo ở đây ta tăng số mũ lên,
  • 2:57 - 3:00
    rồi chia cho số mũ đã tăng lên đó.
  • 3:00 - 3:02
    Vậy kết quả sẽ là, mình thường gọi nó là nghịch đảo,
  • 3:02 - 3:07
    của qui tắc lũy thừa, hoặc qui tắc lũy thừa ngược.
  • 3:07 - 3:11
    Sẽ là x mũ n cộng 1 chia cho n cộng 1.
  • 3:12 - 3:14
    Mình vừa tính tích phân bất định,
  • 3:14 - 3:17
    và giờ ta sẽ tính tích phân từ 0 tới 1 của từng số hạng.
  • 3:17 - 3:18
    Nhưng ta hãy rút gọn trước.
  • 3:18 - 3:22
    Ta có n cộng 1, và n cộng 1 ở đây,
  • 3:22 - 3:24
    vậy ta có thể viết lại.
  • 3:24 - 3:26
    Cái này sẽ bằng,
  • 3:26 - 3:29
    ta sẽ tính tổng từ n bằng 1 tới vô cực,
  • 3:29 - 3:32
    và biểu thức bên trong sẽ bằng với,
  • 3:32 - 3:35
    khi x bằng 1, nó là 1,
  • 3:38 - 3:40
    ta viết là 1 mũ n cộng 1,
  • 3:40 - 3:42
    chia cho 4 mũ n cộng 1.
  • 3:42 - 3:44
    Thật ra, để mình viết theo cách khác.
  • 3:44 - 3:48
    1 mũ n cộng 1, chia cho 4 mũ n cộng 1,
  • 3:48 - 3:52
    trừ 0 mũ n cộng 1, chia 4 mũ n cộng 1,
  • 3:52 - 3:54
    ta không cần phải viết cái này ra.
  • 3:54 - 3:56
    Mình viết là 0 mũ n cộng 1,
  • 3:56 - 4:01
    chia cho 4 mũ n cộng 1, nhưng đây rõ ràng là 0.
  • 4:01 - 4:03
    Vậy là biểu thức đã đơn giản rồi đây,
  • 4:03 - 4:05
    nó đã đơn giản, và nó sẽ bằng,
  • 4:05 - 4:07
    xem nào, bằng với,
  • 4:07 - 4:10
    tổng từ n bằng 1 tới vô cực,
  • 4:12 - 4:13
    của 1 phần 4,
  • 4:13 - 4:17
    mũ n cộng 1.
  • 4:17 - 4:18
    Giờ bạn nhận ra ngay,
  • 4:18 - 4:21
    đây là chuỗi cấp số nhân vô hạn.
  • 4:21 - 4:23
    Số hạng đầu tiên là gì?
  • 4:23 - 4:25
    Chà, số hạng đầu tiên là,
  • 4:29 - 4:33
    khi n bằng với 1, số hạng đầu tiên sẽ là,
  • 4:35 - 4:39
    1 phần 4 mũ 2.
  • 4:40 - 4:41
    Mình làm đúng không?
  • 4:41 - 4:42
    Đúng.
  • 4:42 - 4:45
    Khi n bằng 1, biểu thức sẽ là
  • 4:45 - 4:50
    1 phần 4 mũ 2.
  • 4:50 - 4:54
    là bằng 1 phần 16, vậy đây là số hạng đầu tiên của ta.
  • 4:54 - 4:59
    Công bội của ta ở đây chính là,
  • 5:02 - 5:05
    chà, ta cứ nhân tiếp cho 1 phần 4,
  • 5:05 - 5:07
    nên công bội ở đây sẽ là 1 phần 4.
  • 5:07 - 5:09
    Trong chuỗi cấp số nhân vô hạn,
  • 5:09 - 5:12
    như cái này, vì công bội của ta,
  • 5:14 - 5:16
    giá trị tuyệt đối của nó nhỏ hơn 1,
  • 5:16 - 5:18
    nên chuỗi này sẽ hội tụ.
  • 5:18 - 5:20
    Nó sẽ hội tụ tới một giá trị,
  • 5:20 - 5:23
    số hạng đầu tiên, 1 phần 16, chia cho
  • 5:25 - 5:29
    1 trừ đi công bội, tức 1 trừ 1 phần 4,
  • 5:29 - 5:33
    là 3 phần 4, vậy sẽ bằng 1 phần 16 nhân 4 phần 3.
  • 5:38 - 5:41
    Kết quả là 1 phần 12.
  • 5:41 - 5:42
    Ta đã làm xong.
  • 5:42 - 5:44
    Bài này ban đầu trông khá phức tạp,
  • 5:44 - 5:45
    nhưng ta chỉ cần nhận ra rằng,
  • 5:45 - 5:48
    tích phân của một tổng, kể cả tổng vô hạn,
  • 5:48 - 5:51
    sẽ bằng với tổng của các tích phân vô hạn.
  • 5:51 - 5:53
    Ta lấy nguyên hàm của những tích phân vô hạn này,
  • 5:53 - 5:55
    đó là điều ta có thể làm,
  • 5:55 - 5:58
    đó là điều thú vị của kí hiệu trong toán,
  • 5:58 - 6:00
    và rồi ta nhận ra,
  • 6:00 - 6:01
    ta có chuỗi cấp số
  • 6:01 - 6:02
    nhân vô hạn mà ta tính tổng được.
  • 6:02 - 6:04
    Vậy là ta đã giải xong.
Title:
Integrating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
Description:

Trong phạm vi khoảng hội tụ, tích phân của chuỗi lũy thừa là tổng của các tích phân của các số hạng riêng lẻ: º_f(x)dx=_ºf(x)dx. Hãy xem cách áp dụng của tính chất này để tìm tích phân của chuỗi lũy thừa.

Tự luyện tập bài học này trên KhanAcademy.org ngay bây giờ:
https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series-intro/e/integration-and-differentiation-of-power-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series-intro/v/differentiating-power-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series-intro/v/radius-convergence-ratio-test?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

AP Giải tích BC trên Khan Academy: Học AP Giải tích BC - mọi thứ từ AP Giải tích AB và thêm vài thứ hay ho nữa, ví dụ như dãy Taylor, để bạn sẵn sàng cho kì thi AP.

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Khan Academy về AP Giải tích BC:
https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:05

Vietnamese subtitles

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.