-
Để bảo rằng f(x),
-
là một chuỗi vô hạn,
-
đi từ n bằng 1 tới vô cực,
-
của n cộng 1 chia 4 mũ n cộng 1, nhân x mũ n.
-
Và nhiệm vụ của ta là tìm xem,
-
tích phân xác định từ 0 tới 1 của f(x) là gì?
-
Như mọi khi, mình khuyên các bạn,
-
mình nghĩ sẽ tốt hơn,
-
nếu bạn dừng video lại và tự giải,
-
hoặc bạn có thể xem mình giải một chút,
-
rồi dừng lại và tự giải tiếp.
-
Chà, hãy viết biểu thức này lại một tí.
-
Biểu thức này sẽ bằng với,
-
tích phân từ 0 tới 1.
-
f(x) là một chuỗi, nên mình có thể viết là
-
tổng từ n bằng 1 tới vô cực
-
của n cộng 1 chia cho 4 mũ n cộng 1,
-
nhân với x mũ n.
-
Điều mình sắp làm ở đây,
-
có thể trộng lạ lẫm đối với bạn,
-
nhưng nó rất quan trọng,
-
ta sẽ tính tích phân xác định của tổng các số hạng.
-
Nó sẽ giống như là tính tổng
-
của nhiều tích phân xác định.
-
Để mình làm rõ khái niệm này.
-
Mình có một tích phân xác định,
-
từ 0 tới 1, giả sử mình có rất nhiều số hạng ở đây.
-
Hãy gọi chúng là các hàm số.
-
Xem nào, ta có g(x) cộng h(x),
-
và mình cứ đi tiếp như thế, dx,
-
chà, nó giống với tổng của các tích phân,
-
tích phân đi từ 0 tới 1 của g(x),
-
g(x) dx cộng tích phân từ 0 tới 1 của f(x),
-
cộng, và ta cứ cộng tiếp như thế.
-
Đây chính là,
-
tính chất của tích phân.
-
Ta cũng có thể làm điều tương tự ở đây,
-
kể cả khi ta vẫn để dấu sigma.
-
Biểu thức này bằng với tổng
-
từ n bằng 1 tới vô cực
-
của tích phân xác định của từng số hạng.
-
Mình sẽ viết nó như này.
-
Tích phân từ 0 tới 1,
-
của n cộng 1 trên 4 mũ n cộng 1,
-
nhân x mũ n, rồi dx.
-
Nhắc lại, ta đang tính tổng của từng số hạng.
-
Hãy cùng tính nhé.
-
Cái này sẽ bằng với...
-
Sẽ bằng với tổng,
-
từ n bằng 1 tới vô cực,, và biểu thức
-
mà mình gạch dưới bằng màu cam.
-
Xem nào,
-
ta tính tích phân của nó.
-
Ta sẽ có x mũ n cộng 1,
-
rồi ta chia nó cho n cộng 1.
-
Vậy ta có n cộng 1 chia cho,
-
4 mũ n cộng 1, và nó là một hằng số
-
khi ta tính tích phân theo biến x,
-
tiếp theo ở đây ta tăng số mũ lên,
-
rồi chia cho số mũ đã tăng lên đó.
-
Vậy kết quả sẽ là, mình thường gọi nó là nghịch đảo,
-
của qui tắc lũy thừa, hoặc qui tắc lũy thừa ngược.
-
Sẽ là x mũ n cộng 1 chia cho n cộng 1.
-
Mình vừa tính tích phân bất định,
-
và giờ ta sẽ tính tích phân từ 0 tới 1 của từng số hạng.
-
Nhưng ta hãy rút gọn trước.
-
Ta có n cộng 1, và n cộng 1 ở đây,
-
vậy ta có thể viết lại.
-
Cái này sẽ bằng,
-
ta sẽ tính tổng từ n bằng 1 tới vô cực,
-
và biểu thức bên trong sẽ bằng với,
-
khi x bằng 1, nó là 1,
-
ta viết là 1 mũ n cộng 1,
-
chia cho 4 mũ n cộng 1.
-
Thật ra, để mình viết theo cách khác.
-
1 mũ n cộng 1, chia cho 4 mũ n cộng 1,
-
trừ 0 mũ n cộng 1, chia 4 mũ n cộng 1,
-
ta không cần phải viết cái này ra.
-
Mình viết là 0 mũ n cộng 1,
-
chia cho 4 mũ n cộng 1, nhưng đây rõ ràng là 0.
-
Vậy là biểu thức đã đơn giản rồi đây,
-
nó đã đơn giản, và nó sẽ bằng,
-
xem nào, bằng với,
-
tổng từ n bằng 1 tới vô cực,
-
của 1 phần 4,
-
mũ n cộng 1.
-
Giờ bạn nhận ra ngay,
-
đây là chuỗi cấp số nhân vô hạn.
-
Số hạng đầu tiên là gì?
-
Chà, số hạng đầu tiên là,
-
khi n bằng với 1, số hạng đầu tiên sẽ là,
-
1 phần 4 mũ 2.
-
Mình làm đúng không?
-
Đúng.
-
Khi n bằng 1, biểu thức sẽ là
-
1 phần 4 mũ 2.
-
là bằng 1 phần 16, vậy đây là số hạng đầu tiên của ta.
-
Công bội của ta ở đây chính là,
-
chà, ta cứ nhân tiếp cho 1 phần 4,
-
nên công bội ở đây sẽ là 1 phần 4.
-
Trong chuỗi cấp số nhân vô hạn,
-
như cái này, vì công bội của ta,
-
giá trị tuyệt đối của nó nhỏ hơn 1,
-
nên chuỗi này sẽ hội tụ.
-
Nó sẽ hội tụ tới một giá trị,
-
số hạng đầu tiên, 1 phần 16, chia cho
-
1 trừ đi công bội, tức 1 trừ 1 phần 4,
-
là 3 phần 4, vậy sẽ bằng 1 phần 16 nhân 4 phần 3.
-
Kết quả là 1 phần 12.
-
Ta đã làm xong.
-
Bài này ban đầu trông khá phức tạp,
-
nhưng ta chỉ cần nhận ra rằng,
-
tích phân của một tổng, kể cả tổng vô hạn,
-
sẽ bằng với tổng của các tích phân vô hạn.
-
Ta lấy nguyên hàm của những tích phân vô hạn này,
-
đó là điều ta có thể làm,
-
đó là điều thú vị của kí hiệu trong toán,
-
và rồi ta nhận ra,
-
ta có chuỗi cấp số
-
nhân vô hạn mà ta tính tổng được.
-
Vậy là ta đã giải xong.
Khan Academy
