< Return to Video

Integrating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy

  • 0:00 - 0:02
    Để bảo rằng f(x),
  • 0:02 - 0:03
    là một chuỗi vô hạn,
  • 0:03 - 0:06
    đi từ n bằng 1 tới vô cực,
  • 0:06 - 0:10
    của n cộng 1 chia 4 mũ n cộng 1, nhân x mũ n.
  • 0:11 - 0:13
    Và nhiệm vụ của ta là tìm xem,
  • 0:13 - 0:17
    tích phân xác định từ 0 tới 1 của f(x) là gì?
  • 0:17 - 0:20
    Như mọi khi, mình khuyên các bạn,
  • 0:20 - 0:22
    mình nghĩ sẽ tốt hơn,
  • 0:22 - 0:23
    nếu bạn dừng video lại và tự giải,
  • 0:23 - 0:25
    hoặc bạn có thể xem mình giải một chút,
  • 0:25 - 0:28
    rồi dừng lại và tự giải tiếp.
  • 0:28 - 0:31
    Chà, hãy viết biểu thức này lại một tí.
  • 0:31 - 0:32
    Biểu thức này sẽ bằng với,
  • 0:32 - 0:34
    tích phân từ 0 tới 1.
  • 0:34 - 0:39
    f(x) là một chuỗi, nên mình có thể viết là
  • 0:39 - 0:42
    tổng từ n bằng 1 tới vô cực
  • 0:43 - 0:47
    của n cộng 1 chia cho 4 mũ n cộng 1,
  • 0:47 - 0:49
    nhân với x mũ n.
  • 0:49 - 0:51
    Điều mình sắp làm ở đây,
  • 0:51 - 0:54
    có thể trộng lạ lẫm đối với bạn,
  • 0:54 - 0:55
    nhưng nó rất quan trọng,
  • 0:55 - 0:58
    ta sẽ tính tích phân xác định của tổng các số hạng.
  • 0:58 - 1:01
    Nó sẽ giống như là tính tổng
  • 1:01 - 1:03
    của nhiều tích phân xác định.
  • 1:03 - 1:04
    Để mình làm rõ khái niệm này.
  • 1:04 - 1:06
    Mình có một tích phân xác định,
  • 1:06 - 1:11
    từ 0 tới 1, giả sử mình có rất nhiều số hạng ở đây.
  • 1:11 - 1:12
    Hãy gọi chúng là các hàm số.
  • 1:12 - 1:16
    Xem nào, ta có g(x) cộng h(x),
  • 1:16 - 1:20
    và mình cứ đi tiếp như thế, dx,
  • 1:20 - 1:22
    chà, nó giống với tổng của các tích phân,
  • 1:22 - 1:26
    tích phân đi từ 0 tới 1 của g(x),
  • 1:26 - 1:31
    g(x) dx cộng tích phân từ 0 tới 1 của f(x),
  • 1:33 - 1:36
    cộng, và ta cứ cộng tiếp như thế.
  • 1:36 - 1:37
    Đây chính là,
  • 1:37 - 1:40
    tính chất của tích phân.
  • 1:40 - 1:42
    Ta cũng có thể làm điều tương tự ở đây,
  • 1:42 - 1:44
    kể cả khi ta vẫn để dấu sigma.
  • 1:44 - 1:47
    Biểu thức này bằng với tổng
  • 1:49 - 1:52
    từ n bằng 1 tới vô cực
  • 1:53 - 1:56
    của tích phân xác định của từng số hạng.
  • 1:56 - 1:58
    Mình sẽ viết nó như này.
  • 1:58 - 2:02
    Tích phân từ 0 tới 1,
  • 2:02 - 2:06
    của n cộng 1 trên 4 mũ n cộng 1,
  • 2:08 - 2:11
    nhân x mũ n, rồi dx.
  • 2:13 - 2:17
    Nhắc lại, ta đang tính tổng của từng số hạng.
  • 2:17 - 2:21
    Hãy cùng tính nhé.
  • 2:23 - 2:25
    Cái này sẽ bằng với...
  • 2:25 - 2:29
    Sẽ bằng với tổng,
  • 2:29 - 2:32
    từ n bằng 1 tới vô cực,, và biểu thức
  • 2:32 - 2:34
    mà mình gạch dưới bằng màu cam.
  • 2:34 - 2:35
    Xem nào,
  • 2:35 - 2:38
    ta tính tích phân của nó.
  • 2:38 - 2:41
    Ta sẽ có x mũ n cộng 1,
  • 2:43 - 2:44
    rồi ta chia nó cho n cộng 1.
  • 2:44 - 2:48
    Vậy ta có n cộng 1 chia cho,
  • 2:48 - 2:52
    4 mũ n cộng 1, và nó là một hằng số
  • 2:52 - 2:54
    khi ta tính tích phân theo biến x,
  • 2:54 - 2:57
    tiếp theo ở đây ta tăng số mũ lên,
  • 2:57 - 3:00
    rồi chia cho số mũ đã tăng lên đó.
  • 3:00 - 3:02
    Vậy kết quả sẽ là, mình thường gọi nó là nghịch đảo,
  • 3:02 - 3:07
    của qui tắc lũy thừa, hoặc qui tắc lũy thừa ngược.
  • 3:07 - 3:11
    Sẽ là x mũ n cộng 1 chia cho n cộng 1.
  • 3:12 - 3:14
    Mình vừa tính tích phân bất định,
  • 3:14 - 3:17
    và giờ ta sẽ tính tích phân từ 0 tới 1 của từng số hạng.
  • 3:17 - 3:18
    Nhưng ta hãy rút gọn trước.
  • 3:18 - 3:22
    Ta có n cộng 1, và n cộng 1 ở đây,
  • 3:22 - 3:24
    vậy ta có thể viết lại.
  • 3:24 - 3:26
    Cái này sẽ bằng,
  • 3:26 - 3:29
    ta sẽ tính tổng từ n bằng 1 tới vô cực,
  • 3:29 - 3:32
    và biểu thức bên trong sẽ bằng với,
  • 3:32 - 3:35
    khi x bằng 1, nó là 1,
  • 3:38 - 3:40
    ta viết là 1 mũ n cộng 1,
  • 3:40 - 3:42
    chia cho 4 mũ n cộng 1.
  • 3:42 - 3:44
    Thật ra, để mình viết theo cách khác.
  • 3:44 - 3:48
    1 mũ n cộng 1, chia cho 4 mũ n cộng 1,
  • 3:48 - 3:52
    trừ 0 mũ n cộng 1, chia 4 mũ n cộng 1,
  • 3:52 - 3:54
    ta không cần phải viết cái này ra.
  • 3:54 - 3:56
    Mình viết là 0 mũ n cộng 1,
  • 3:56 - 4:01
    chia cho 4 mũ n cộng 1, nhưng đây rõ ràng là 0.
  • 4:01 - 4:03
    Vậy là biểu thức đã đơn giản rồi đây,
  • 4:03 - 4:05
    nó đã đơn giản, và nó sẽ bằng,
  • 4:05 - 4:07
    xem nào, bằng với,
  • 4:07 - 4:10
    tổng từ n bằng 1 tới vô cực,
  • 4:12 - 4:13
    của 1 phần 4,
  • 4:13 - 4:17
    mũ n cộng 1.
  • 4:17 - 4:18
    Giờ bạn nhận ra ngay,
  • 4:18 - 4:21
    đây là chuỗi cấp số nhân vô hạn.
  • 4:21 - 4:23
    Số hạng đầu tiên là gì?
  • 4:23 - 4:25
    Chà, số hạng đầu tiên là,
  • 4:29 - 4:33
    khi n bằng với 1, số hạng đầu tiên sẽ là,
  • 4:35 - 4:39
    1 phần 4 mũ 2.
  • 4:40 - 4:41
    Mình làm đúng không?
  • 4:41 - 4:42
    Đúng.
  • 4:42 - 4:45
    Khi n bằng 1, biểu thức sẽ là
  • 4:45 - 4:50
    1 phần 4 mũ 2.
  • 4:50 - 4:54
    là bằng 1 phần 16, vậy đây là số hạng đầu tiên của ta.
  • 4:54 - 4:59
    Công bội của ta ở đây chính là,
  • 5:02 - 5:05
    chà, ta cứ nhân tiếp cho 1 phần 4,
  • 5:05 - 5:07
    nên công bội ở đây sẽ là 1 phần 4.
  • 5:07 - 5:09
    Trong chuỗi cấp số nhân vô hạn,
  • 5:09 - 5:12
    như cái này, vì công bội của ta,
  • 5:14 - 5:16
    giá trị tuyệt đối của nó nhỏ hơn 1,
  • 5:16 - 5:18
    nên chuỗi này sẽ hội tụ.
  • 5:18 - 5:20
    Nó sẽ hội tụ tới một giá trị,
  • 5:20 - 5:23
    số hạng đầu tiên, 1 phần 16, chia cho
  • 5:25 - 5:29
    1 trừ đi công bội, tức 1 trừ 1 phần 4,
  • 5:29 - 5:33
    là 3 phần 4, vậy sẽ bằng 1 phần 16 nhân 4 phần 3.
  • 5:38 - 5:41
    Kết quả là 1 phần 12.
  • 5:41 - 5:42
    Ta đã làm xong.
  • 5:42 - 5:44
    Bài này ban đầu trông khá phức tạp,
  • 5:44 - 5:45
    nhưng ta chỉ cần nhận ra rằng,
  • 5:45 - 5:48
    tích phân của một tổng, kể cả tổng vô hạn,
  • 5:48 - 5:51
    sẽ bằng với tổng của các tích phân vô hạn.
  • 5:51 - 5:53
    Ta lấy nguyên hàm của những tích phân vô hạn này,
  • 5:53 - 5:55
    đó là điều ta có thể làm,
  • 5:55 - 5:58
    đó là điều thú vị của kí hiệu trong toán,
  • 5:58 - 6:00
    và rồi ta nhận ra,
  • 6:00 - 6:01
    ta có chuỗi cấp số
  • 6:01 - 6:02
    nhân vô hạn mà ta tính tổng được.
  • 6:02 - 6:04
    Vậy là ta đã giải xong.
Title:
Integrating power series | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
Description:

more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:05

Vietnamese subtitles

Revisions Compare revisions