Egyenletrendszer végtelen sok megoldással | Az algebra alapjai | Matematika | Khan Academy

Konzisztens, de függő egyenletrendszer.

Matematika a Khan Academyn: https://hu.khanacademy.org/math

Mi a Khan Academy? A Khan Academy gyakorló feladatokat, oktatóvideókat és személyre szabott tanulási összesítő táblát kínál, ami lehetővé teszi, hogy a tanulók a saját tempójukban tanuljanak az iskolában és az iskolán kívül is. Matematikát, természettudományokat, programozást, történelmet, művészettörténetet, közgazdaságtant és még más tárgyakat is tanulhatsz nálunk. Matematikai mesterszint rendszerünk végigvezeti a diákokat az általános iskola első osztályától egészen a differenciál- és integrálszámításig modern, adaptív technológia segítségével, mely felméri az erősségeket és a hiányosságokat.
Küldetésünk, hogy bárki, bárhol világszínvonalú oktatásban részesülhessen.

A magyar fordítás az Akadémia Határok Nélkül Alapítvány (akademiahataroknelkul.hu) csapatának munkája.

Arbegla kezd dühös lenni,
és szégyenkezik amiatt,

ahogy te és a madár
beállítottátok a király előtt,

és kiviharzik a szobából.

Aztán néhány másodperc múlva
visszarohan.

Azt mondja:
– Az én hibám,

elnézést kérek.

Rájöttem már, mi volt a hiba.

Azt hiszem, volt egy apró
gépelési hiba vagy elírás.

Az első héten, amikor
elmentek a piacra,

és két font almát
és egy font banánt vettek,

akkor az nem 3 dollárba került,

hanem 5 dollárba került.

Most már biztosan
– figyelembe véve,

hogy milyen okosnak tűntök,
te és ez a madár –,

most már biztosan
ki tudjátok számolni,

mennyibe kerül egy font alma,
és mennyibe kerül egy font banán.

Elgondolkodsz egy kicsit:

vajon most lesz megoldás?

Csináljuk meg lépésről lépésre,

pontosan ugyanazokat
a változókat használva!

Azt mondod, hogy ha 'a'
az alma ára fontonként,

és b a banán ára,
akkor az első feltétel szerint

2 font alma
ára 2a lesz,

mert 'a' dollárba kerül
fontonként,

és egy font banán ára
b dollár lesz,

mert 1 font szorozva
b dollár per fonttal,

ez most 5 dollárba kerül,

ez a helyesbített szám.

Láttuk, hogy az utolsó esetben

– ez az információ nem változott –

6 font alma ára 6a,

6 font szorozva 'a' dollár/fonttal,

és 3 font banán ára 3b,

3 font szorozva b dollár/fonttal.

Az alma és a banán ára összesen

ebben az esetben 15 dollár.

Azt mondod, hogy ismét

kiküszöböléssel próbálod megoldani,

és ismét az 'a'-t küszöbölöd ki.

Itt 2a van,
itt 6a van,

ha megszorzom a 2a-t
-3-mal,

akkor ez -6a lesz,

és akkor talán ez az egész
kiesik.

Tehát ezt csinálod.

Megszorzod az egész egyenletet.

Nem lehet csak egy tagot szorozni,

meg kell szorozni az egész egyenletet
-3-mal,

ha azt szeretnéd, hogy az egyenlet
továbbra is fennálljon.

Tehát szorzunk -3-mal.

2a szorozva -3-mal az -6a,

b szorozva -3-mal az -3b,

és 5 szorozva -3-mal az -15.

És most úgy néz ki, hogy valami
furcsa dolog fog történni,

mert amikor hozzáadod

ennek a kék vagy lilás egyenletnek
a bal oldalát

a zöld bal oldalához,
akkor 0-t kapsz.

Ezek itt mind kiesnek.

És a jobb oldalon 15 mínusz 15,

ez is nulla.

Azt kapod, hogy 0 = 0,
ami egy kicsit jobbnak tűnik,

mint amit legutóbb kaptál,

akkor azt kaptuk, hogy
0 = 6,

De a 0 = 0 valójában nem mond semmit
'a'-ról és b-ről.

Ez igaz,

ez teljes mértékben igaz,
hogy 0 = 0,

de nem ad semmi információt
'a'-ról és b-ről.

Ekkor a madár belesúg
a király fülébe,

és a király így szól:
– Azt mondja a madár,

hogy ábrázolnod kellene,
hogy rájöjj,

mi történik valójában.

Már megtanultad, hogy
érdemes hallgatni a madárra,

ezért megpróbálod ábrázolni
ezt a két feltételt.

Csináljuk meg ugyanúgy!

Lesz egy b tengely,

ez a b tengely,

és lesz egy 'a' tengely.

Bejelölök néhány számot
– 1, 2, 3, 4, 5,

és 1, 2, 3, 4, 5.

Ha az első egyenletben

mindkét oldalból
kivonunk 2a-t

– meredekség-tengelymetszet
alakra hozom –,

azt kapjuk, hogy
b = -2a + 5.

Annyit csináltam, hogy kivontam
2a-t mindkét oldalból.

És ha ezt ábrázoljuk,
akkor a b tengelymetszet

az 'a' = 0, b = 5 pont lesz,

tehát ez itt.

A meredekség -2,

ha az 'a'-t növeled 1-gyel
– tehát ha 0-ról 1-re nő –,

akkor a b lemegy 2-vel,

lemegy 2-vel.

Tehát az első, a fehér egyenlet
így néz ki,

ha ábrázoljuk a megoldáshalmazt.

Ezek mind olyan banán és alma árak,

amelyek megfelelnek
ennek a feltételnek.

Ábrázoljuk ezt a második egyenletet is!

Ha kivonunk mindkét oldalból 6a-t,

azt kapjuk, hogy
3b = -6a + 15.

Most eloszthatjuk
mindkét oldalt 3-mal,

mindent osztunk 3-mal.

Az marad, hogy
b = -2a +5.

Ez érdekes,

ez nagyon hasonlónak tűnik,
vagyis pontosan ugyanaz.

A b-tengelymetszet 5,
a meredekség -2,

tehát ez ugyanaz az egyenes.

Tehát ez a két feltétel
lényegében ugyanaz.

Kicsit zavartan kezded el nézni,

és azt mondod:
– Oké, látom, miért kaptunk 0 = 0-t.

Ennek végtelen sok megoldása van.

Kiválasztasz egy tetszőleges 'a'-t,
veszed a hozzá tartozó b-t,

és minden egyes ilyen számpár
megoldása lehet

mindkét egyenletnek.

Tehát végtelen sok megoldás van.

De elgondolkodsz,
miért történik ez?

Akkor a madár ismét belesúg
a király fülébe,

és a király így szól:
– A madár azt mondja,

ez azért van,
mert mindkét alkalommal,

amikor a piacra mentek,

ugyanakkora volt az aránya
a vásárolt almának és banánnak.

A zöld út alkalmával,
szemben a fehérrel,

háromszor annyi almát vettek,
és háromszor annyi banánt vettek,

és ez háromszor annyiba került.

Tehát bármilyen helyzetben,
bármilyen alma és banán árak mellett,

ha pontosan háromszor annyi
almát veszel,

és háromszor annyi banánt veszel,

az ár háromszoros lesz,

ez bármilyen ár esetén igaz.

Ez tulajdonképpen konzisztens.

Nem mondhatjuk, hogy
Arbegla hazudik nekünk,

de nem ad elég információt.

Ezt konzisztens (ellentmondásmentes)
egyenletrendszernek hívjuk,

ez konzisztens információ.

Hadd írjam le!

Konzisztens.

Ez konzisztens,
0 = 0.

Itt nincs semmiféle ármánykodás,

de nincs elég információ.

Ez az egyenletrendszer függő,

és végtelen sok megoldása van.

Ennek az egyenesnek minden pontja
egy megoldást jelent.

Azt mondod Arbeglának:

– Ha valóban azt szeretnéd,
hogy kiszámoljuk ezt,

több információt kell adnod,

és lehetőleg más legyen a vásárolt
alma és banán aránya.