Infinite solutions to systems

Съветникът Арбегла започва
да се гневи, и засрамен,

че ти и птичката сте го разкрили пред краля,

изчезва от стаята.

Няколко секунди по-късно той
се връща с трясък в стаята.

Казва, "Аз съм виновен.

Поднасям извиненията си."

Сега осъзнавам каква е била грешката.

Имало е, предполагам, малка печатна грешка.

Първата седмица, когато отишли на пазара

и купили два фунта ябълки и един фунт банани,

цената не е била 3 долара.

Била е 5 долара.

Сега, естествено, имайки предвид колко умни
изглеждаме ние и птичката,

със сигурност ще намерим цената
на един фунт ябълки,

и също цената на бананите.

И тук започваме да се чудим

ще има ли някакво решение?

Нека разгледаме всичко, като използваме
същите променливи.

Казваме, че 'а' е цената на ябълките за един фунт

и 'b' е цената на бананите.

Първото условие ни казва,

че два фунта ябълки струват 2а,

понеже цената е 'а' долара за един фунт.

А бананите ще струват b долара,

понеже имаме един фунт
по b долара за фунт,

сега всичко струва 5 долара.

Ще струва 5 долара.

Това е поправеното число.

И от последния случай видяхме,

че тази информация не се е променила.

Шест фунта ябълки ще струват 6а,

6 фунта по а долара за един фунт.

А три фунта банани ще струват 3b, три фунта

по b долара за един фунт.

Общо цената на ябълките и бананите

при това пазаруване е 15 долара.

Така че пак казваме... всъщност нека

се опитам да реша тук чрез елиминиране.

Пак казваме, нека унищожим тези а.

Тук имам 2а.

Тук имам 6а.

Ако тук умножа 2а по –3,

тогава това ще стане –6а.

И вероятно има възможност да унищожим тук всичко това.

Правим го.

Умножаваме цялото това уравнение.

Не можем да умножим само един член.

Трябва да умножим цялото уравнение по –3,

ако искаме равенството да се запази.

Така че умножаваме по –3.

2а, умножено по –3, дава –6а.

b, умножено по –3, е –3b.

Тогава 5 по –3 е –15.

И сега като че ли започва да става

нещо интересно.

Когато добавим лявата страна

на това синьо уравнение или виолетовото уравнение

към зеленото, получаваме 0.

Всичко това тук просто ще се унищожи.

И от дясната страна имаме 15 минус 15,

което също е равно на 0.

И получаваме, че 0 е равно на 0,
което изглежда малко по-добре

от миналия път, когато се занимавахме с това.

Тогава получихме, че 0 е равно на 6.

Но равенството на 0 с 0 реално не ни казва нищо

за неизвестните.

Това е така.

Абсолютно вярно е, че 0 е равно на 0,

но не ни е дадена никаква информация относно х и у.

И тогава птичката шепне в ухото на краля,

и кралят казва, че съветът на птичката

е да изразим графично, за да намерим

какво всъщност се случва.

Ние знаем, че вслушването в думите на птичката

действително е много полезно.

Опитваме се да изразим графично тези две зависимости.

Нека го направим по същия начин.

Ще имаме оста b.

Ето я оста b.

Това е нашата ос b.

И ще имаме оста а.

Нека отбележа някои стойности тук –
едно, две, три, четири, пет

и едно, две, три, четири, пет.

И при това първото уравнение тук,

ако извадим 2а от двете страни...

Ще използвам вида по дадени
ъглов коефициент и пресечна точка с Оу.

Получаваме, че b = –2а + 5.

Всичко, което направих, е
че извадих 2а от двете страни.

Да изобразим това графично,
това е пресечната точка с b,

когато а = 0, а b = 5.

Това е тук на това място.

А нашият наклон е –2.

Всеки път, когато добавяме 1 към а...
ако а отиде от 0 на 1,

b ще слезе с 2 надолу.

Слизаме надолу с 2.

И това първото уравнение в бяло изглежда по този начин,

ако изразим графично множеството от решения.

Това са всички цени на бананите и на ябълките,

които отговарят на това условие.

Нека сега представим графично второто уравнение.

Ако извадим 6а от двете страни,

получаваме, че 3b = –6а + 15.

И вече можем да разделим двете страни на 3.

Така b става равно на –2а + 5.

Интересно.

Тук имаме нещо много подобно, или нещо, което изглежда напълно същото.

Ординатата на пресечната точка с оста b е 5,
а наклонът е –2.

Така че това е по същество същата права.

А това са еднакви условия.

Човек започва да гледа малко объркано всичко това,

и си казва: "Добре, разбирам защо получихме, че 0 е равно на 0."

Всъщност са налице безброй много решения.

Избираме си което и да е х, след това съответното у,

и за всеки случай има решение

за всяко от тези неща.

Така че има безброй много решения.

Но човек започва да се чуди, защо се случва това?

А птичката отново шепне в ухото на краля,

а кралят казва, всъщност птичката казва,

че това е защото при двете пътувания към пазара

е било купено еднакво съотношение ябълки към банани.

При зеленото пътуване спрямо бялото пътуване

са били закупени три пъти повече ябълки и три пъти

повече банани, и имаме утроената цена.

И във всяка една ситуация, за всеки фунт заплатени ябълки

и банани, ако се купят точно три пъти

повече ябълки, три пъти повече банани,

и имаме три пъти цената.

Това ще е вярно за всички цени.

И всъщност това си е логично.

Не можем да кажем, че Арбегла ни лъже,

но не ни и дава достатъчно информация.

Това се нарича определена система.

Информацията тук е определена.

Нека запиша.

Определена.

И определено е, че 0 е равно на 0.

Тук няма никакво съмнение.

Но информацията не е достатъчна.

Системата уравнения е зависима.

Зависима е.

И са налице безкрайно много решения.

Всяка една точка от тази права представлява едно решение.

И можем да кажем на Арбегла: "Ако наистина

искате да намерим това, нужна ни е

повече информация."

И по-добре да се закупи различно съотношение

на ябълки и банани.