Pythagorean Theorem Proof Using Similarity

Denne trekanten vi har her
er en rettvinklet trekant.

Og det er en rettvinklet trekant
fordi den har en 90-graders vinkel,

eller en rett vinkel, i seg.

Vi kaller den lengste siden
i en rettvinklet trekant,

vi kaller den - og du kan tenke på det
enten som den lengste siden i trekanten,

eller som siden overfor
90-gradersvinkelen.

Den kalles hypotenusen.

Det er et avansert ord
for et enkelt konsept,

den lengste siden
i en rettvinklet trekant,

eller siden overfor 90-gradersvinkelen.

Og det er godt å vite,
for hvis noen sier hypotenus,

så vet du at de snakker om
denne siden her,

den lengste siden,
som er overfor 90-gradersvinkelen.

I denne videoen vil jeg bevise
et veldig berømt forhold,

du ser kanskje hvor vi er på vei,

et berømt forhold mellom lengdene
på sidene i en rettvinklet trekant.

Så la oss si at lengden på AC,
altså stor A, stor C,

la oss kalle den "liten a",

la oss kalle lengde på BC "liten b".

Jeg bruker store bokstaver for punkter,
og små bokstaver for lengder.

Og la oss kalle lengden på hypotenusen,

lengden på AB, la oss kalle den c.

Så ser vi om vi kan finne et forhold
mellom a, b og c.

For å gjøre det skal jeg først
konstruere en ny linje,

eller et linjestykke rettere sagt,
mellom C og hypotenusen.

Og jeg konstruerer den så de
møtes i en rett vinkel.

Og det kan du alltid gjøre.
Vi kaller det punktet "stor D".

Og hvis du lurer på
"hvorfor kan jeg alltid gjøre det?"

Tenk deg at du roterer
hele trekanten slik,

dette er ikke et grundig bevis,
men du får en idé

om hvordan du alltid
kan konstruere et slikt punkt.

Så jeg har rotert det, og nå er
hypotenusen vår på bunnen,

dette er nå punkt B, dette er punkt A,

så hele greia er rotert helt rundt,

dette er punkt C. Du kan tenke deg at
du slipper en stein fra punkt C,

kanskje festet i ei snor,
så treffer den hypotenusen

i en rett vinkel.

Så det var alt vi gjorde her
for å opprette CD

og hvor vi satte punkt D.

Og grunnen til at jeg gjorde det,
er at nå kan vi se på alle slags

spennende forhold
mellom formlike trekanter.

For nå har vi tre trekanter:
Trekant ADC,

vi har trekant DBC, og så har vi
den store, opprinnelige trekanten.

Og forhåpentligvis kan vi bevise
formlikhet mellom de trekantene.

Først skal jeg bevise at ADC
er formlik med den store.

Begge har en rett vinkel.

ADC er en rett vinkel her,

så hvis denne vinkelen er 90 grader,
så blir denne også 90 grader.

De er supplementære,
og må bli 180 til sammen.

Så begge har en rett vinkel i seg.
Den lille har en rett vinkel,

og den store har selvsagt en rett vinkel,
det var der vi begynte.

Og begge deler denne vinkelen her,
vinkel DAC eller BAC,

samme hva du kaller den.

Vi kan skrive ned den trekanten.

Jeg starter med den lille.

ADC, kanskje jeg skraverer den.

Dette er trekanten vi snakker om, ADC,

så jeg gikk fra den blå vinkelen
til den rette vinkelen

til den umarkerte vinkelen ifølge ADC.

Denne rette vinkelen
gjelder ikke på det der,

det gjelder på den store trekanten.

Så vi kan si at trekant ADC

er formlik med trekant -

og igjen vil du starte
i den blå vinkelen, A,

så gikk vi til den rette vinkelen,

så vi må til den rette vinkelen igjen.

Med trekant... Dette var ACB.

ACB.

Og fordi de er formlike kan vi
finne et forhold mellom

forholdene mellom sidene deres.

For eksempel vet vi at
generelt for formlike trekanter,

er forholdet mellom tilsvarende sider
konstant.

Så vi kan ta forholdet mellom
hypotenusen til den lille trekanten...

hypotenusen er AC,
eller hypotenusen til den store,

som er AB,

AC delt på AB blir det samme som

en av katetene, AD,

og bare for å vise at jeg tar
tilsvarende punkter

på begge de formlike trekantene.

Dette er AD delt på AC.

Du kan se på disse trekantene selv og vise

"se, punkt AD er mellom den blå vinkelen
og den rette vinkelen,

beklager, side AD er mellom den blå
vinkelen og den rette vinkelen,

side AC er mellom den blå vinkelen og
den rette vinkelen i den store trekanten.

Så begge disse er i den store trekanten,

og dette er de tilsvarende sidene
i den lille trekanten,

og hvis det er forvirrende
å se det visuelt,

så kan du, så lenge vi skrev
formlikhetsuttrykket vår riktig,

så kan du bare finne
de tilsvarende punktene.

AC svarer til AB på den store trekanten,

AD på den lille trekanten svarer til
AC på den store trekanten,

og vi vet at AC - vi kan skrive det om
til "liten a" -

AC er "liten a".

Vi har ikke noe navn på AD eller AB,

beklager, vi har et navn på AB,
det er c her borte.

Vi har ikke navn på AD,
så la oss kalle den "liten d".

Så liten "d" er den delen der,

"c" er hele den delen der,

og så kaller vi DB for "e",
det gjør ting lettere for oss.

Så AD kaller vi bare "d".

Så vi har a delt på c
er lik d delt på a.

Hvis vi kryssmultipliserer, får du
a ganger a, som er a i andre,

er lik c ganger d, som er cd.

Så det er litt interessant.

La oss se hva vi kan gjøre
med den andre trekanten.

Denne trekanten her har igjen
en rett vinkel,

den store har en rett vinkel,
og begge deler

denne vinkelen her.

Så ved vinkel-vinkel-likhet

blir de tro trekantene formlike.

Så vi kan si trekant BDC:
vi gikk fra rosa til rett til umarkert,

så trekant BDC er formlik med trekant...

nå ser vi på den store trekanten,

vi begynner i den rosa vinkelen B,

så går vi til den rette vinkelen C,
og så A.

BCA, fra rosa vinkel, til rett vinkel,
til umarkert vinkel.

I alle fall fra dette synspunktet,
vi markerte den i blå tidligere.

Så nå setter vi opp et forhold her.

Vi kan si at forholdet
på den lille trekanten,

side BC delt på BA,

igjen tar vi hypotenusene til begge.

Så BC delt på BA blir lik BD...

jeg tar det i en annen farge.
BD, så en av katetene,

BD, slik jeg tegnet det blir det
de korte katetene.

BD delt på BC, jeg tar bare
tilsvarende hjørner. Delt på BC.

Og igjen vet vi at BC er
det samme som liten "b",

BC er liten b, BA er liten c,

og så definerte vi BD som liten e.

Så dette er liten e.

Vi kan kryssmultiplisere her
og får b ganger b,

$$og jeg nevnte dette i mange videoer,
kryssmultiplisering er det samme som

$$å gange begge sider med begge nevnerne.

$$b ganger b er b i andre, er lik ce.

$$Og nå kan vi gjøre noe interessant.

$$Vi kan legge sammen disse to utsagnene.

$$La meg omskrive dette utsagnet.

$$Så b i andre er lik ce.

$$Hvis vi legger sammen venstresidene,
får vi a i andre pluss b i andre,

$$a i andre pluss b i andre er lik
cd pluss ce.

$$Pluss ce.

$$Og vi har c i begge disse leddene,
så vi kan sette den utenfor.

$$Så vi setter c utenfor.

$$Det blir lik c ganger d pluss e.

$$c ganger d pluss e, og lukk parentesen.

Nå hva er d pluss e?

d er denne lengden,

e er denne lengden.

Så d pluss e blir faktisk også c.

$$Så dette blir c.

$$Så du har c ganger c, som er
det samme som c i andre.

Så nå har vi et interessant forhold.

Vi har at a i andre pluss b i andre
er lik c i andre.

La meg skrive det igjen.

a i andre...
jeg tar det i en annen farge...

Det var ikke meninga å slette det...

Så vi fant ut at a i andre pluss b i andre
er lik c i andre.

Og dette er bare en tilfeldig
rettvinklet trekant.

Dette er sant for
alle rettvinklede trekanter.

Vi har nettopp slått fast at summen til
kvadratene til hver av katetene

er lik kvadratet av hypotenusen.

Og dette et av de mest berømte
teoremene i matematikken,

oppkalt etter Pythagoras.

Usikkert om han var den første
som slo fast dette,

men det heter Pytagoras' teorem.

Pytagoras' teorem.

Og den er basisen for mye av geometrien
vi skal gjøre,

og for mye av trigonometrien
vi skal gjøre.

Det er veldig nyttig at
hvis du kjenner to av sidene

i en rettvinklet trekant,
så kan du alltid finne den tredje.