0:00:00.214,0:00:04.397
Denne trekanten vi har her[br]er en rettvinklet trekant.

0:00:04.419,0:00:07.226
Og det er en rettvinklet trekant[br]fordi den har en 90-graders vinkel,

0:00:07.226,0:00:09.691
eller en rett vinkel, i seg.

0:00:09.691,0:00:12.424
Vi kaller den lengste siden[br]i en rettvinklet trekant,

0:00:12.424,0:00:16.393
vi kaller den - og du kan tenke på det[br]enten som den lengste siden i trekanten,

0:00:16.393,0:00:18.927
eller som siden overfor[br]90-gradersvinkelen.

0:00:18.927,0:00:20.937
Den kalles hypotenusen.

0:00:20.937,0:00:23.631
Det er et avansert ord[br]for et enkelt konsept,

0:00:23.631,0:00:25.684
den lengste siden[br]i en rettvinklet trekant,

0:00:25.684,0:00:28.116
eller siden overfor 90-gradersvinkelen.

0:00:28.116,0:00:30.318
Og det er godt å vite,[br]for hvis noen sier hypotenus,

0:00:30.318,0:00:32.482
så vet du at de snakker om[br]denne siden her,

0:00:32.482,0:00:36.370
den lengste siden,[br]som er overfor 90-gradersvinkelen.

0:00:36.370,0:00:42.378
I denne videoen vil jeg bevise[br]et veldig berømt forhold,

0:00:42.378,0:00:44.269
du ser kanskje hvor vi er på vei,

0:00:44.269,0:00:48.678
et berømt forhold mellom lengdene[br]på sidene i en rettvinklet trekant.

0:00:49.090,0:00:53.589
Så la oss si at lengden på AC,[br]altså stor A, stor C,

0:00:53.589,0:00:56.059
la oss kalle den "liten a",

0:00:56.059,0:00:59.561
la oss kalle lengde på BC "liten b".

0:00:59.561,0:01:03.327
Jeg bruker store bokstaver for punkter,[br]og små bokstaver for lengder.

0:01:03.327,0:01:05.358
Og la oss kalle lengden på hypotenusen,

0:01:05.358,0:01:08.183
lengden på AB, la oss kalle den c.

0:01:08.183,0:01:12.726
Så ser vi om vi kan finne et forhold[br]mellom a, b og c.

0:01:12.726,0:01:15.774
For å gjøre det skal jeg først[br]konstruere en ny linje,

0:01:15.774,0:01:19.470
eller et linjestykke rettere sagt,[br]mellom C og hypotenusen.

0:01:19.470,0:01:24.180
Og jeg konstruerer den så de [br]møtes i en rett vinkel.

0:01:24.180,0:01:28.219
Og det kan du alltid gjøre.[br]Vi kaller det punktet "stor D".

0:01:28.219,0:01:31.094
Og hvis du lurer på[br]"hvorfor kan jeg alltid gjøre det?"

0:01:31.094,0:01:34.682
Tenk deg at du roterer[br]hele trekanten slik,

0:01:34.682,0:01:37.735
dette er ikke et grundig bevis,[br]men du får en idé

0:01:37.735,0:01:40.121
om hvordan du alltid[br]kan konstruere et slikt punkt.

0:01:40.121,0:01:44.540
Så jeg har rotert det, og nå er[br]hypotenusen vår på bunnen,

0:01:44.540,0:01:48.891
dette er nå punkt B, dette er punkt A,

0:01:48.891,0:01:51.005
så hele greia er rotert helt rundt,

0:01:51.005,0:01:54.398
dette er punkt C. Du kan tenke deg at[br]du slipper en stein fra punkt C,

0:01:54.398,0:01:58.331
kanskje festet i ei snor,[br]så treffer den hypotenusen

0:01:58.331,0:01:59.860
i en rett vinkel.

0:01:59.860,0:02:02.433
Så det var alt vi gjorde her[br]for å opprette CD

0:02:02.433,0:02:05.660
og hvor vi satte punkt D.

0:02:05.660,0:02:08.378
Og grunnen til at jeg gjorde det,[br]er at nå kan vi se på alle slags

0:02:08.378,0:02:10.779
spennende forhold[br]mellom formlike trekanter.

0:02:10.779,0:02:14.022
For nå har vi tre trekanter:[br]Trekant ADC,

0:02:14.022,0:02:17.817
vi har trekant DBC, og så har vi[br]den store, opprinnelige trekanten.

0:02:17.817,0:02:21.609
Og forhåpentligvis kan vi bevise[br]formlikhet mellom de trekantene.

0:02:21.609,0:02:27.651
Først skal jeg bevise at ADC[br]er formlik med den store.

0:02:27.651,0:02:29.410
Begge har en rett vinkel.

0:02:29.410,0:02:32.191
ADC er en rett vinkel her,

0:02:32.191,0:02:35.777
så hvis denne vinkelen er 90 grader,[br]så blir denne også 90 grader.

0:02:35.777,0:02:38.653
De er supplementære,[br]og må bli 180 til sammen.

0:02:38.653,0:02:42.046
Så begge har en rett vinkel i seg.[br]Den lille har en rett vinkel,

0:02:42.046,0:02:44.766
og den store har selvsagt en rett vinkel,[br]det var der vi begynte.

0:02:44.766,0:02:51.722
Og begge deler denne vinkelen her,[br]vinkel DAC eller BAC,

0:02:51.722,0:02:53.778
samme hva du kaller den.

0:02:53.778,0:02:56.935
Vi kan skrive ned den trekanten.

0:02:56.937,0:02:58.649
Jeg starter med den lille.

0:02:58.649,0:03:02.477
ADC, kanskje jeg skraverer den.

0:03:02.477,0:03:05.465
Dette er trekanten vi snakker om, ADC,

0:03:05.465,0:03:07.929
så jeg gikk fra den blå vinkelen[br]til den rette vinkelen

0:03:07.929,0:03:10.638
til den umarkerte vinkelen ifølge ADC.

0:03:10.638,0:03:13.579
Denne rette vinkelen[br]gjelder ikke på det der,

0:03:13.579,0:03:15.938
det gjelder på den store trekanten.

0:03:15.938,0:03:20.019
Så vi kan si at trekant ADC

0:03:20.550,0:03:24.836
er formlik med trekant -

0:03:24.836,0:03:28.080
og igjen vil du starte[br]i den blå vinkelen, A,

0:03:28.080,0:03:29.747
så gikk vi til den rette vinkelen,

0:03:29.747,0:03:31.668
så vi må til den rette vinkelen igjen.

0:03:31.668,0:03:34.390
Med trekant... Dette var ACB.

0:03:34.390,0:03:36.591
ACB.

0:03:36.591,0:03:40.435
Og fordi de er formlike kan vi[br]finne et forhold mellom

0:03:40.435,0:03:42.694
forholdene mellom sidene deres.

0:03:42.694,0:03:47.265
For eksempel vet vi at[br]generelt for formlike trekanter,

0:03:47.265,0:03:50.009
er forholdet mellom tilsvarende sider[br]konstant.

0:03:50.009,0:03:55.191
Så vi kan ta forholdet mellom[br]hypotenusen til den lille trekanten...

0:03:55.191,0:04:00.470
hypotenusen er AC,[br]eller hypotenusen til den store,

0:04:00.470,0:04:02.554
som er AB,

0:04:02.554,0:04:07.855
AC delt på AB blir det samme som

0:04:07.855,0:04:12.424
en av katetene, AD,

0:04:13.959,0:04:17.359
og bare for å vise at jeg tar[br]tilsvarende punkter

0:04:17.359,0:04:18.738
på begge de formlike trekantene.

0:04:18.738,0:04:23.426
Dette er AD delt på AC.

0:04:23.542,0:04:25.879
Du kan se på disse trekantene selv og vise

0:04:25.879,0:04:30.756
"se, punkt AD er mellom den blå vinkelen[br]og den rette vinkelen,

0:04:30.756,0:04:35.066
beklager, side AD er mellom den blå[br]vinkelen og den rette vinkelen,

0:04:35.066,0:04:38.988
side AC er mellom den blå vinkelen og[br]den rette vinkelen i den store trekanten.

0:04:38.988,0:04:41.282
Så begge disse er i den store trekanten,

0:04:41.282,0:04:44.031
og dette er de tilsvarende sidene[br]i den lille trekanten,

0:04:44.031,0:04:46.354
og hvis det er forvirrende[br]å se det visuelt,

0:04:46.354,0:04:50.343
så kan du, så lenge vi skrev[br]formlikhetsuttrykket vår riktig,

0:04:50.343,0:04:52.210
så kan du bare finne[br]de tilsvarende punktene.

0:04:52.210,0:04:56.383
AC svarer til AB på den store trekanten,

0:04:56.383,0:05:02.453
AD på den lille trekanten svarer til[br]AC på den store trekanten,

0:05:02.453,0:05:06.867
og vi vet at AC - vi kan skrive det om[br]til "liten a" -

0:05:06.867,0:05:10.498
AC er "liten a".

0:05:10.984,0:05:16.750
Vi har ikke noe navn på AD eller AB,

0:05:16.750,0:05:20.639
beklager, vi har et navn på AB,[br]det er c her borte.

0:05:20.639,0:05:26.712
Vi har ikke navn på AD,[br]så la oss kalle den "liten d".

0:05:26.759,0:05:30.651
Så liten "d" er den delen der,

0:05:30.651,0:05:33.557
"c" er hele den delen der,

0:05:33.557,0:05:38.697
og så kaller vi DB for "e",[br]det gjør ting lettere for oss.

0:05:38.697,0:05:41.777
Så AD kaller vi bare "d".

0:05:41.777,0:05:44.120
Så vi har a delt på c[br]er lik d delt på a.

0:05:44.120,0:05:48.235
Hvis vi kryssmultipliserer, får du[br]a ganger a, som er a i andre,

0:05:48.235,0:05:51.159
er lik c ganger d, som er cd.

0:05:51.159,0:05:53.046
Så det er litt interessant.

0:05:53.046,0:05:55.489
La oss se hva vi kan gjøre[br]med den andre trekanten.

0:05:55.489,0:05:59.408
Denne trekanten her har igjen[br]en rett vinkel,

0:05:59.408,0:06:02.359
den store har en rett vinkel,[br]og begge deler

0:06:02.359,0:06:04.523
denne vinkelen her.

0:06:04.523,0:06:06.750
Så ved vinkel-vinkel-likhet

0:06:06.750,0:06:08.690
blir de tro trekantene formlike.

0:06:08.690,0:06:13.400
Så vi kan si trekant BDC:[br]vi gikk fra rosa til rett til umarkert,

0:06:13.400,0:06:20.875
så trekant BDC er formlik med trekant...

0:06:20.875,0:06:22.676
nå ser vi på den store trekanten,

0:06:22.676,0:06:25.062
vi begynner i den rosa vinkelen B,

0:06:25.062,0:06:29.007
så går vi til den rette vinkelen C,[br]og så A.

0:06:29.007,0:06:35.176
BCA, fra rosa vinkel, til rett vinkel,[br]til umarkert vinkel.

0:06:35.176,0:06:38.546
I alle fall fra dette synspunktet,[br]vi markerte den i blå tidligere.

0:06:38.546,0:06:41.003
Så nå setter vi opp et forhold her.

0:06:41.003,0:06:44.524
Vi kan si at forholdet[br]på den lille trekanten,

0:06:44.524,0:06:49.345
side BC delt på BA,

0:06:49.345,0:06:53.242
igjen tar vi hypotenusene til begge.

0:06:53.242,0:07:01.852
Så BC delt på BA blir lik BD...

0:07:01.852,0:07:05.424
jeg tar det i en annen farge.[br]BD, så en av katetene,

0:07:05.424,0:07:07.813
BD, slik jeg tegnet det blir det[br]de korte katetene.

0:07:07.813,0:07:14.559
BD delt på BC, jeg tar bare[br]tilsvarende hjørner. Delt på BC.

0:07:14.559,0:07:18.295
Og igjen vet vi at BC er[br]det samme som liten "b",

0:07:18.295,0:07:25.262
BC er liten b, BA er liten c,

0:07:25.574,0:07:30.093
og så definerte vi BD som liten e.

0:07:30.093,0:07:31.722
Så dette er liten e.

0:07:31.722,0:07:35.539
Vi kan kryssmultiplisere her[br]og får b ganger b,

0:07:35.539,0:07:40.749
$$og jeg nevnte dette i mange videoer,[br]kryssmultiplisering er det samme som

0:07:40.749,0:07:43.047
$$å gange begge sider med begge nevnerne.

0:07:43.047,0:07:47.342
$$b ganger b er b i andre, er lik ce.

0:07:47.342,0:07:49.964
$$Og nå kan vi gjøre noe interessant.

0:07:49.964,0:07:51.865
$$Vi kan legge sammen disse to utsagnene.

0:07:51.865,0:07:53.692
$$La meg omskrive dette utsagnet.

0:07:53.692,0:07:56.176
$$Så b i andre er lik ce.

0:07:56.176,0:08:02.283
$$Hvis vi legger sammen venstresidene,[br]får vi a i andre pluss b i andre,

0:08:02.283,0:08:09.951
$$a i andre pluss b i andre er lik[br]cd pluss ce.

0:08:09.951,0:08:13.083
$$Pluss ce.

0:08:13.083,0:08:16.299
$$Og vi har c i begge disse leddene,[br]så vi kan sette den utenfor.

0:08:16.299,0:08:19.739
$$Så vi setter c utenfor.

0:08:19.739,0:08:23.324
$$Det blir lik c ganger d pluss e.

0:08:23.324,0:08:29.341
$$c ganger d pluss e, og lukk parentesen.

0:08:29.431,0:08:31.431
Nå hva er d pluss e?

0:08:31.431,0:08:33.170
d er denne lengden,

0:08:33.170,0:08:34.563
e er denne lengden.

0:08:34.563,0:08:37.639
Så d pluss e blir faktisk også c.

0:08:37.639,0:08:39.210
$$Så dette blir c.

0:08:39.210,0:08:43.157
$$Så du har c ganger c, som er[br]det samme som c i andre.

0:08:43.157,0:08:45.851
Så nå har vi et interessant forhold.

0:08:45.851,0:08:51.619
Vi har at a i andre pluss b i andre[br]er lik c i andre.

0:08:51.619,0:08:53.359
La meg skrive det igjen.

0:08:53.359,0:08:57.623
a i andre...[br]jeg tar det i en annen farge...

0:08:57.623,0:09:01.255
Det var ikke meninga å slette det...

0:09:02.551,0:09:09.220
Så vi fant ut at a i andre pluss b i andre[br]er lik c i andre.

0:09:09.220,0:09:11.464
Og dette er bare en tilfeldig[br]rettvinklet trekant.

0:09:11.464,0:09:13.791
Dette er sant for[br]alle rettvinklede trekanter.

0:09:13.791,0:09:17.763
Vi har nettopp slått fast at summen til[br]kvadratene til hver av katetene

0:09:17.763,0:09:20.059
er lik kvadratet av hypotenusen.

0:09:20.059,0:09:25.444
Og dette et av de mest berømte[br]teoremene i matematikken,

0:09:25.444,0:09:27.530
oppkalt etter Pythagoras.

0:09:27.530,0:09:30.081
Usikkert om han var den første[br]som slo fast dette,

0:09:30.081,0:09:33.486
men det heter Pytagoras' teorem.

0:09:33.486,0:09:38.070
Pytagoras' teorem.

0:09:38.070,0:09:43.371
Og den er basisen for mye av geometrien[br]vi skal gjøre,

0:09:43.371,0:09:46.555
og for mye av trigonometrien[br]vi skal gjøre.

0:09:46.555,0:09:49.524
Det er veldig nyttig at[br]hvis du kjenner to av sidene

0:09:49.524,0:09:52.202
i en rettvinklet trekant,[br]så kan du alltid finne den tredje.