WEBVTT

00:00:00.214 --> 00:00:04.397
Denne trekanten vi har her
er en rettvinklet trekant.

00:00:04.419 --> 00:00:07.226
Og det er en rettvinklet trekant
fordi den har en 90-graders vinkel,

00:00:07.226 --> 00:00:09.691
eller en rett vinkel, i seg.

00:00:09.691 --> 00:00:12.424
Vi kaller den lengste siden
i en rettvinklet trekant,

00:00:12.424 --> 00:00:16.393
vi kaller den - og du kan tenke på det
enten som den lengste siden i trekanten,

00:00:16.393 --> 00:00:18.927
eller som siden overfor
90-gradersvinkelen.

00:00:18.927 --> 00:00:20.937
Den kalles hypotenusen.

00:00:20.937 --> 00:00:23.631
Det er et avansert ord
for et enkelt konsept,

00:00:23.631 --> 00:00:25.684
den lengste siden
i en rettvinklet trekant,

00:00:25.684 --> 00:00:28.116
eller siden overfor 90-gradersvinkelen.

00:00:28.116 --> 00:00:30.318
Og det er godt å vite,
for hvis noen sier hypotenus,

00:00:30.318 --> 00:00:32.482
så vet du at de snakker om
denne siden her,

00:00:32.482 --> 00:00:36.370
den lengste siden,
som er overfor 90-gradersvinkelen.

00:00:36.370 --> 00:00:42.378
I denne videoen vil jeg bevise
et veldig berømt forhold,

00:00:42.378 --> 00:00:44.269
du ser kanskje hvor vi er på vei,

00:00:44.269 --> 00:00:48.678
et berømt forhold mellom lengdene
på sidene i en rettvinklet trekant.

00:00:49.090 --> 00:00:53.589
Så la oss si at lengden på AC,
altså stor A, stor C,

00:00:53.589 --> 00:00:56.059
la oss kalle den "liten a",

00:00:56.059 --> 00:00:59.561
la oss kalle lengde på BC "liten b".

00:00:59.561 --> 00:01:03.327
Jeg bruker store bokstaver for punkter,
og små bokstaver for lengder.

00:01:03.327 --> 00:01:05.358
Og la oss kalle lengden på hypotenusen,

00:01:05.358 --> 00:01:08.183
lengden på AB, la oss kalle den c.

00:01:08.183 --> 00:01:12.726
Så ser vi om vi kan finne et forhold
mellom a, b og c.

00:01:12.726 --> 00:01:15.774
For å gjøre det skal jeg først
konstruere en ny linje,

00:01:15.774 --> 00:01:19.470
eller et linjestykke rettere sagt,
mellom C og hypotenusen.

00:01:19.470 --> 00:01:24.180
Og jeg konstruerer den så de 
møtes i en rett vinkel.

00:01:24.180 --> 00:01:28.219
Og det kan du alltid gjøre.
Vi kaller det punktet "stor D".

00:01:28.219 --> 00:01:31.094
Og hvis du lurer på
"hvorfor kan jeg alltid gjøre det?"

00:01:31.094 --> 00:01:34.682
Tenk deg at du roterer
hele trekanten slik,

00:01:34.682 --> 00:01:37.735
dette er ikke et grundig bevis,
men du får en idé

00:01:37.735 --> 00:01:40.121
om hvordan du alltid
kan konstruere et slikt punkt.

00:01:40.121 --> 00:01:44.540
Så jeg har rotert det, og nå er
hypotenusen vår på bunnen,

00:01:44.540 --> 00:01:48.891
dette er nå punkt B, dette er punkt A,

00:01:48.891 --> 00:01:51.005
så hele greia er rotert helt rundt,

00:01:51.005 --> 00:01:54.398
dette er punkt C. Du kan tenke deg at
du slipper en stein fra punkt C,

00:01:54.398 --> 00:01:58.331
kanskje festet i ei snor,
så treffer den hypotenusen

00:01:58.331 --> 00:01:59.860
i en rett vinkel.

00:01:59.860 --> 00:02:02.433
Så det var alt vi gjorde her
for å opprette CD

00:02:02.433 --> 00:02:05.660
og hvor vi satte punkt D.

00:02:05.660 --> 00:02:08.378
Og grunnen til at jeg gjorde det,
er at nå kan vi se på alle slags

00:02:08.378 --> 00:02:10.779
spennende forhold
mellom formlike trekanter.

00:02:10.779 --> 00:02:14.022
For nå har vi tre trekanter:
Trekant ADC,

00:02:14.022 --> 00:02:17.817
vi har trekant DBC, og så har vi
den store, opprinnelige trekanten.

00:02:17.817 --> 00:02:21.609
Og forhåpentligvis kan vi bevise
formlikhet mellom de trekantene.

00:02:21.609 --> 00:02:27.651
Først skal jeg bevise at ADC
er formlik med den store.

00:02:27.651 --> 00:02:29.410
Begge har en rett vinkel.

00:02:29.410 --> 00:02:32.191
ADC er en rett vinkel her,

00:02:32.191 --> 00:02:35.777
så hvis denne vinkelen er 90 grader,
så blir denne også 90 grader.

00:02:35.777 --> 00:02:38.653
De er supplementære,
og må bli 180 til sammen.

00:02:38.653 --> 00:02:42.046
Så begge har en rett vinkel i seg.
Den lille har en rett vinkel,

00:02:42.046 --> 00:02:44.766
og den store har selvsagt en rett vinkel,
det var der vi begynte.

00:02:44.766 --> 00:02:51.722
Og begge deler denne vinkelen her,
vinkel DAC eller BAC,

00:02:51.722 --> 00:02:53.778
samme hva du kaller den.

00:02:53.778 --> 00:02:56.935
Vi kan skrive ned den trekanten.

00:02:56.937 --> 00:02:58.649
Jeg starter med den lille.

00:02:58.649 --> 00:03:02.477
ADC, kanskje jeg skraverer den.

00:03:02.477 --> 00:03:05.465
Dette er trekanten vi snakker om, ADC,

00:03:05.465 --> 00:03:07.929
så jeg gikk fra den blå vinkelen
til den rette vinkelen

00:03:07.929 --> 00:03:10.638
til den umarkerte vinkelen ifølge ADC.

00:03:10.638 --> 00:03:13.579
Denne rette vinkelen
gjelder ikke på det der,

00:03:13.579 --> 00:03:15.938
det gjelder på den store trekanten.

00:03:15.938 --> 00:03:20.019
Så vi kan si at trekant ADC

00:03:20.550 --> 00:03:24.836
er formlik med trekant -

00:03:24.836 --> 00:03:28.080
og igjen vil du starte
i den blå vinkelen, A,

00:03:28.080 --> 00:03:29.747
så gikk vi til den rette vinkelen,

00:03:29.747 --> 00:03:31.668
så vi må til den rette vinkelen igjen.

00:03:31.668 --> 00:03:34.390
Med trekant... Dette var ACB.

00:03:34.390 --> 00:03:36.591
ACB.

00:03:36.591 --> 00:03:40.435
Og fordi de er formlike kan vi
finne et forhold mellom

00:03:40.435 --> 00:03:42.694
forholdene mellom sidene deres.

00:03:42.694 --> 00:03:47.265
For eksempel vet vi at
generelt for formlike trekanter,

00:03:47.265 --> 00:03:50.009
er forholdet mellom tilsvarende sider
konstant.

00:03:50.009 --> 00:03:55.191
Så vi kan ta forholdet mellom
hypotenusen til den lille trekanten...

00:03:55.191 --> 00:04:00.470
hypotenusen er AC,
eller hypotenusen til den store,

00:04:00.470 --> 00:04:02.554
som er AB,

00:04:02.554 --> 00:04:07.855
AC delt på AB blir det samme som

00:04:07.855 --> 00:04:12.424
en av katetene, AD,

00:04:13.959 --> 00:04:17.359
og bare for å vise at jeg tar
tilsvarende punkter

00:04:17.359 --> 00:04:18.738
på begge de formlike trekantene.

00:04:18.738 --> 00:04:23.426
Dette er AD delt på AC.

00:04:23.542 --> 00:04:25.879
Du kan se på disse trekantene selv og vise

00:04:25.879 --> 00:04:30.756
"se, punkt AD er mellom den blå vinkelen
og den rette vinkelen,

00:04:30.756 --> 00:04:35.066
beklager, side AD er mellom den blå
vinkelen og den rette vinkelen,

00:04:35.066 --> 00:04:38.988
side AC er mellom den blå vinkelen og
den rette vinkelen i den store trekanten.

00:04:38.988 --> 00:04:41.282
Så begge disse er i den store trekanten,

00:04:41.282 --> 00:04:44.031
og dette er de tilsvarende sidene
i den lille trekanten,

00:04:44.031 --> 00:04:46.354
og hvis det er forvirrende
å se det visuelt,

00:04:46.354 --> 00:04:50.343
så kan du, så lenge vi skrev
formlikhetsuttrykket vår riktig,

00:04:50.343 --> 00:04:52.210
så kan du bare finne
de tilsvarende punktene.

00:04:52.210 --> 00:04:56.383
AC svarer til AB på den store trekanten,

00:04:56.383 --> 00:05:02.453
AD på den lille trekanten svarer til
AC på den store trekanten,

00:05:02.453 --> 00:05:06.867
og vi vet at AC - vi kan skrive det om
til "liten a" -

00:05:06.867 --> 00:05:10.498
AC er "liten a".

00:05:10.984 --> 00:05:16.750
Vi har ikke noe navn på AD eller AB,

00:05:16.750 --> 00:05:20.639
beklager, vi har et navn på AB,
det er c her borte.

00:05:20.639 --> 00:05:26.712
Vi har ikke navn på AD,
så la oss kalle den "liten d".

00:05:26.759 --> 00:05:30.651
Så liten "d" er den delen der,

00:05:30.651 --> 00:05:33.557
"c" er hele den delen der,

00:05:33.557 --> 00:05:38.697
og så kaller vi DB for "e",
det gjør ting lettere for oss.

00:05:38.697 --> 00:05:41.777
Så AD kaller vi bare "d".

00:05:41.777 --> 00:05:44.120
Så vi har a delt på c
er lik d delt på a.

00:05:44.120 --> 00:05:48.235
Hvis vi kryssmultipliserer, får du
a ganger a, som er a i andre,

00:05:48.235 --> 00:05:51.159
er lik c ganger d, som er cd.

00:05:51.159 --> 00:05:53.046
Så det er litt interessant.

00:05:53.046 --> 00:05:55.489
La oss se hva vi kan gjøre
med den andre trekanten.

00:05:55.489 --> 00:05:59.408
Denne trekanten her har igjen
en rett vinkel,

00:05:59.408 --> 00:06:02.359
den store har en rett vinkel,
og begge deler

00:06:02.359 --> 00:06:04.523
denne vinkelen her.

00:06:04.523 --> 00:06:06.750
Så ved vinkel-vinkel-likhet

00:06:06.750 --> 00:06:08.690
blir de tro trekantene formlike.

00:06:08.690 --> 00:06:13.400
Så vi kan si trekant BDC:
vi gikk fra rosa til rett til umarkert,

00:06:13.400 --> 00:06:20.875
så trekant BDC er formlik med trekant...

00:06:20.875 --> 00:06:22.676
nå ser vi på den store trekanten,

00:06:22.676 --> 00:06:25.062
vi begynner i den rosa vinkelen B,

00:06:25.062 --> 00:06:29.007
så går vi til den rette vinkelen C,
og så A.

00:06:29.007 --> 00:06:35.176
BCA, fra rosa vinkel, til rett vinkel,
til umarkert vinkel.

00:06:35.176 --> 00:06:38.546
I alle fall fra dette synspunktet,
vi markerte den i blå tidligere.

00:06:38.546 --> 00:06:41.003
Så nå setter vi opp et forhold her.

00:06:41.003 --> 00:06:44.524
Vi kan si at forholdet
på den lille trekanten,

00:06:44.524 --> 00:06:49.345
side BC delt på BA,

00:06:49.345 --> 00:06:53.242
igjen tar vi hypotenusene til begge.

00:06:53.242 --> 00:07:01.852
Så BC delt på BA blir lik BD...

00:07:01.852 --> 00:07:05.424
jeg tar det i en annen farge.
BD, så en av katetene,

00:07:05.424 --> 00:07:07.813
BD, slik jeg tegnet det blir det
de korte katetene.

00:07:07.813 --> 00:07:14.559
BD delt på BC, jeg tar bare
tilsvarende hjørner. Delt på BC.

00:07:14.559 --> 00:07:18.295
Og igjen vet vi at BC er
det samme som liten "b",

00:07:18.295 --> 00:07:25.262
BC er liten b, BA er liten c,

00:07:25.574 --> 00:07:30.093
og så definerte vi BD som liten e.

00:07:30.093 --> 00:07:31.722
Så dette er liten e.

00:07:31.722 --> 00:07:35.539
Vi kan kryssmultiplisere her
og får b ganger b,

00:07:35.539 --> 00:07:40.749
$$og jeg nevnte dette i mange videoer,
kryssmultiplisering er det samme som

00:07:40.749 --> 00:07:43.047
$$å gange begge sider med begge nevnerne.

00:07:43.047 --> 00:07:47.342
$$b ganger b er b i andre, er lik ce.

00:07:47.342 --> 00:07:49.964
$$Og nå kan vi gjøre noe interessant.

00:07:49.964 --> 00:07:51.865
$$Vi kan legge sammen disse to utsagnene.

00:07:51.865 --> 00:07:53.692
$$La meg omskrive dette utsagnet.

00:07:53.692 --> 00:07:56.176
$$Så b i andre er lik ce.

00:07:56.176 --> 00:08:02.283
$$Hvis vi legger sammen venstresidene,
får vi a i andre pluss b i andre,

00:08:02.283 --> 00:08:09.951
$$a i andre pluss b i andre er lik
cd pluss ce.

00:08:09.951 --> 00:08:13.083
$$Pluss ce.

00:08:13.083 --> 00:08:16.299
$$Og vi har c i begge disse leddene,
så vi kan sette den utenfor.

00:08:16.299 --> 00:08:19.739
$$Så vi setter c utenfor.

00:08:19.739 --> 00:08:23.324
$$Det blir lik c ganger d pluss e.

00:08:23.324 --> 00:08:29.341
$$c ganger d pluss e, og lukk parentesen.

00:08:29.431 --> 00:08:31.431
Nå hva er d pluss e?

00:08:31.431 --> 00:08:33.170
d er denne lengden,

00:08:33.170 --> 00:08:34.563
e er denne lengden.

00:08:34.563 --> 00:08:37.639
Så d pluss e blir faktisk også c.

00:08:37.639 --> 00:08:39.210
$$Så dette blir c.

00:08:39.210 --> 00:08:43.157
$$Så du har c ganger c, som er
det samme som c i andre.

00:08:43.157 --> 00:08:45.851
Så nå har vi et interessant forhold.

00:08:45.851 --> 00:08:51.619
Vi har at a i andre pluss b i andre
er lik c i andre.

00:08:51.619 --> 00:08:53.359
La meg skrive det igjen.

00:08:53.359 --> 00:08:57.623
a i andre...
jeg tar det i en annen farge...

00:08:57.623 --> 00:09:01.255
Det var ikke meninga å slette det...

00:09:02.551 --> 00:09:09.220
Så vi fant ut at a i andre pluss b i andre
er lik c i andre.

00:09:09.220 --> 00:09:11.464
Og dette er bare en tilfeldig
rettvinklet trekant.

00:09:11.464 --> 00:09:13.791
Dette er sant for
alle rettvinklede trekanter.

00:09:13.791 --> 00:09:17.763
Vi har nettopp slått fast at summen til
kvadratene til hver av katetene

00:09:17.763 --> 00:09:20.059
er lik kvadratet av hypotenusen.

00:09:20.059 --> 00:09:25.444
Og dette et av de mest berømte
teoremene i matematikken,

00:09:25.444 --> 00:09:27.530
oppkalt etter Pythagoras.

00:09:27.530 --> 00:09:30.081
Usikkert om han var den første
som slo fast dette,

00:09:30.081 --> 00:09:33.486
men det heter Pytagoras' teorem.

00:09:33.486 --> 00:09:38.070
Pytagoras' teorem.

00:09:38.070 --> 00:09:43.371
Og den er basisen for mye av geometrien
vi skal gjøre,

00:09:43.371 --> 00:09:46.555
og for mye av trigonometrien
vi skal gjøre.

00:09:46.555 --> 00:09:49.524
Det er veldig nyttig at
hvis du kjenner to av sidene

00:09:49.524 --> 00:09:52.202
i en rettvinklet trekant,
så kan du alltid finne den tredje.