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이 삼각형은
직각삼각형입니다
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직각삼각형이란
내각 중 하나가
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90도인 직각을
포함하는 삼각형입니다
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직각삼각형의
가장 긴 변은
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90도의 각과
마주 보는 변이며
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이 변은
빗변이라고 합니다
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빗변은 직각삼각형의
가장 긴 변이고
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90도의 각과
마주 보는 변입니다
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빗변이라는 단어를
기억해두면 유용해요
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삼각형에서 가장 긴 변
또는 90도와 마주 보는 변을
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빗변이라고
할 수 있기 때문이죠
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이번 동영상에서는
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직각삼각형의 각 변과
길이 사이의 관계를
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증명해 보겠습니다
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이 직각삼각형의
변 AC의 길이를 a라고 하고
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BC의 길이를
b라고 하겠습니다
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꼭짓점은 대문자로
변의 길이는 소문자로 표시할게요
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마지막으로 빗변의 길이
즉, AB의 길이는 c라고 할게요
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이제 a, b, c 사이의
관계를 증명해 봅시다
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먼저 직선 또는 선분을
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C와 빗변 사이에
그려 볼게요
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빗변과 수직으로
만나도록 그려볼 거예요
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빗변과 만나는 점을
D라고 하겠습니다
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어떻게 이렇게
그릴 수 있을까요?
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삼각형 전체를
회전시킨다고 해 봅시다
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완벽한 증명은 아니지만
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이 점을 어떻게 그리는지
설명해 드릴게요
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회전시키면 삼각형의
빗변은 아래로 갑니다
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여기는 점 B이고
여기는 점 A가 되겠죠
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삼각형을 회전시켰으므로
여기는 점 C입니다
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이 점에서 돌을
하나 떨어뜨린다면
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빗변과 수직으로 닿겠죠
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이렇게 선분 CD를
그릴 수 있습니다
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여기에 점 D라고
표시했었죠
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이를 통해
삼각형 안에 있는
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작은 삼각형들 사이의
관계를 알아낼 수 있어요
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여기 삼각형이
세 개 있습니다
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삼각형 ADC와
삼각형 DBC가 있고
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처음의 큰
직각삼각형이 있죠
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삼각형 사이의 닮음을
생각해 봅시다
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먼저 삼각형 ADC가
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큰 삼각형과 닮았다는
것을 보여드릴게요
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삼각형 ADC는
이곳에 직각이 있습니다
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이 각이 90도이므로
이 각도 90도겠죠
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두 각을 더하면
180도가 됩니다
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그러므로 작은 삼각형과
큰 삼각형 모두
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직각을 가지고 있어요
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그리고 두 삼각형은
각 A를 공유하고 있습니다
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각 DAC라고 할 수도 있고
각 BAC라고 할 수도 있죠
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이를 한번 써 볼게요
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작은 삼각형 ADC부터
먼저 봅시다
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삼각형 ADC에
빗금을 쳐 볼게요
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삼각형 ADC의 이름은
파란색 각부터
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직각, 이름 없는 각 순서대로
이름을 붙인 거예요
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여기 표시된 직각은
큰 삼각형의 직각을 나타냅니다
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삼각형 ADC는
삼각형 ACB와 닮음입니다
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삼각형 ACB의 이름 역시
파란색 각 A에서 시작해서
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직각, 나머지 각 순서대로
이름을 붙였습니다
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삼각형 ACB입니다
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두 삼각형이
서로 닮음이므로
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변의 길이 사이의
비의 관계를 알 수 있어요
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예를 들어
닮음인 삼각형은 보통
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대응하는 변 사이의
비가 항상 일정합니다
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두 삼각형의 변의
비를 따져 봅시다
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작은 삼각형의
빗변 AC와
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큰 삼각형의
빗변 AB의 비인
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AC/AB는
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닮음인 두 삼각형에서
대응하는 다른 변의 비인
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작은 삼각형의
다른 변 AD와
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이에 대응하는
큰 삼각형의 변 AC의
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비 AD/AC와
같습니다
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작은 삼각형을 보면
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파란색과 빨간색 각 사이에
변 AD가 있고
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큰 삼각형에서도
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파란색과 빨간색 각 사이에
변 AC가 있습니다
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따라서 양변의 분모는
큰 삼각형의 변이고
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이 둘은 작은 삼각형에서
그에 대응하는 변입니다
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혼란스러울 수도 있지만
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닮음을 정확하게
표현한다면
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서로 대응하는 점을
찾을 수 있습니다
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변 AC는 큰 삼각형의
AB에 대응하고
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작은 삼각형에서 AD는
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큰 삼각형의 AC에
대응하는 변입니다
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변 AC는
a로 나타낼 수 있습니다
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AD를 나타내는
문자가 없네요
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AB는 c였죠
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AD는 d로 나타내 봅시다
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d는 이 부분이고
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c는 빗변 전체를
나타냅니다
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DB를 길이 e라고
하겠습니다
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이렇게 문자로
표시하면 편해요
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AD를 d라고 하면
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a/c = d/a이므로
교차로 곱해주면
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a² = cd가 됩니다
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다른 삼각형에서도
이렇게 할 수 있는지 볼까요?
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이 삼각형을 봅시다
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이 삼각형과 큰 삼각형
모두 직각이 있고
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이 각을 서로
공유하니까
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두 각이 같은 AA닮음으로
두 삼각형은 닮음입니다
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오른쪽에 분홍색으로
써 볼게요
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삼각형 BDC와
닮음인 삼각형의 이름은
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큰 삼각형의 분홍색 각
B에서부터 시작해서
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직각으로 가는
순서이므로
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삼각형 BCA가 됩니다
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분홍색 각, 직각
파란색 각의 순서대로
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삼각형의 이름을
붙였습니다
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이제 관계를
정의해 봅시다
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작은 삼각형의
빗변 BC를
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큰 삼각형의
빗변 BA로 나누면
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두 삼각형의 빗변의
비를 알 수 있습니다
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BC/BA는
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작은 삼각형의
짧은 변 BD와
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그에 대응하는
큰 삼각형의 변 BC의
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비 BD/BC와 같습니다
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BC는 b와 같고
BA는 c와 같습니다
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BD는 e와 같죠
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이를 교차로
곱해 볼까요?
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왼쪽 분자의 b와
오른쪽 분모의 b를 곱합니다
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교차로 곱해주는 것은
두 분수의 각 분자에
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다른 분수의 분모를
곱하는 거예요
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이렇게 하면
b² = ce가 됩니다
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이제 두 식을
더해 볼까요?
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b² = ce를
이 밑에 다시 써 볼게요
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좌변끼리 더하면
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a² + b² = cd + ce
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c가 각 항에 공통으로
들어 있으므로
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c로 묶어내면
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c(d + e)가
될 것입니다
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그럼 d + e는
무엇일까요?
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d는 이 부분의 길이고
e는 이 길이입니다
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따라서 d + e는
c가 되겠죠
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c × c = c²
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흥미로운 결과가 나왔네요
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a² + b² = c²
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다시 적어 볼게요
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다른 색으로
써 볼까요?
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실수로 지워 버렸네요
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다시 써 볼게요
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이렇게 a² + b² = c²을
증명해 보았습니다
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직각삼각형의 안에 있는
두 직각삼각형을 이용해
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각 변의 길이를
제곱해서 더한 값이
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빗변의 길이를 제곱한 값과
같다는 것을 알아냈습니다
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이것은 정말 쉽고
널리 알려진
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수학 정리입니다
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이 식은 수학자
피타고라스의 이름을 따서
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피타고라스의 정리라고
부릅니다
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이 정리는 기하학의
기초가 되는 정리이며
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삼각함수의
기초이기도 합니다
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이 정리는 두 변의
길이가 주어졌을 때
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나머지 한 변의
길이를 구할 때 유용합니다
Khan Academy
