이 삼각형은 직각삼각형입니다
직각삼각형이란 내각 중 하나가
90도인 직각을 포함하는 삼각형입니다
직각삼각형의 가장 긴 변은
90도의 각과 마주 보는 변이며
이 변은 빗변이라고 합니다
빗변은 직각삼각형의 가장 긴 변이고
90도의 각과 마주 보는 변입니다
빗변이라는 단어를 기억해두면 유용해요
삼각형에서 가장 긴 변 또는 90도와 마주 보는 변을
빗변이라고 할 수 있기 때문이죠
이번 동영상에서는
직각삼각형의 각 변과 길이 사이의 관계를
증명해 보겠습니다
이 직각삼각형의 변 AC의 길이를 a라고 하고
BC의 길이를 b라고 하겠습니다
꼭짓점은 대문자로 변의 길이는 소문자로 표시할게요
마지막으로 빗변의 길이 즉, AB의 길이는 c라고 할게요
이제 a, b, c 사이의 관계를 증명해 봅시다
먼저 직선 또는 선분을
C와 빗변 사이에 그려 볼게요
빗변과 수직으로 만나도록 그려볼 거예요
빗변과 만나는 점을 D라고 하겠습니다
어떻게 이렇게 그릴 수 있을까요?
삼각형 전체를 회전시킨다고 해 봅시다
완벽한 증명은 아니지만
이 점을 어떻게 그리는지 설명해 드릴게요
회전시키면 삼각형의 빗변은 아래로 갑니다
여기는 점 B이고 여기는 점 A가 되겠죠
삼각형을 회전시켰으므로 여기는 점 C입니다
이 점에서 돌을 하나 떨어뜨린다면
빗변과 수직으로 닿겠죠
이렇게 선분 CD를 그릴 수 있습니다
여기에 점 D라고 표시했었죠
이를 통해 삼각형 안에 있는
작은 삼각형들 사이의 관계를 알아낼 수 있어요
여기 삼각형이 세 개 있습니다
삼각형 ADC와 삼각형 DBC가 있고
처음의 큰 직각삼각형이 있죠
삼각형 사이의 닮음을 생각해 봅시다
먼저 삼각형 ADC가
큰 삼각형과 닮았다는 것을 보여드릴게요
삼각형 ADC는 이곳에 직각이 있습니다
이 각이 90도이므로 이 각도 90도겠죠
두 각을 더하면 180도가 됩니다
그러므로 작은 삼각형과 큰 삼각형 모두
직각을 가지고 있어요
그리고 두 삼각형은 각 A를 공유하고 있습니다
각 DAC라고 할 수도 있고 각 BAC라고 할 수도 있죠
이를 한번 써 볼게요
작은 삼각형 ADC부터 먼저 봅시다
삼각형 ADC에 빗금을 쳐 볼게요
삼각형 ADC의 이름은 파란색 각부터
직각, 이름 없는 각 순서대로 이름을 붙인 거예요
여기 표시된 직각은 큰 삼각형의 직각을 나타냅니다
삼각형 ADC는 삼각형 ACB와 닮음입니다
삼각형 ACB의 이름 역시 파란색 각 A에서 시작해서
직각, 나머지 각 순서대로 이름을 붙였습니다
삼각형 ACB입니다
두 삼각형이 서로 닮음이므로
변의 길이 사이의 비의 관계를 알 수 있어요
예를 들어 닮음인 삼각형은 보통
대응하는 변 사이의 비가 항상 일정합니다
두 삼각형의 변의 비를 따져 봅시다
작은 삼각형의 빗변 AC와
큰 삼각형의 빗변 AB의 비인
AC/AB는
닮음인 두 삼각형에서 대응하는 다른 변의 비인
작은 삼각형의 다른 변 AD와
이에 대응하는 큰 삼각형의 변 AC의
비 AD/AC와 같습니다
작은 삼각형을 보면
파란색과 빨간색 각 사이에 변 AD가 있고
큰 삼각형에서도
파란색과 빨간색 각 사이에 변 AC가 있습니다
따라서 양변의 분모는 큰 삼각형의 변이고
이 둘은 작은 삼각형에서 그에 대응하는 변입니다
혼란스러울 수도 있지만
닮음을 정확하게 표현한다면
서로 대응하는 점을 찾을 수 있습니다
변 AC는 큰 삼각형의 AB에 대응하고
작은 삼각형에서 AD는
큰 삼각형의 AC에 대응하는 변입니다
변 AC는 a로 나타낼 수 있습니다
AD를 나타내는 문자가 없네요
AB는 c였죠
AD는 d로 나타내 봅시다
d는 이 부분이고
c는 빗변 전체를 나타냅니다
DB를 길이 e라고 하겠습니다
이렇게 문자로 표시하면 편해요
AD를 d라고 하면
a/c = d/a이므로 교차로 곱해주면
a² = cd가 됩니다
다른 삼각형에서도 이렇게 할 수 있는지 볼까요?
이 삼각형을 봅시다
이 삼각형과 큰 삼각형 모두 직각이 있고
이 각을 서로 공유하니까
두 각이 같은 AA닮음으로 두 삼각형은 닮음입니다
오른쪽에 분홍색으로 써 볼게요
삼각형 BDC와 닮음인 삼각형의 이름은
큰 삼각형의 분홍색 각 B에서부터 시작해서
직각으로 가는 순서이므로
삼각형 BCA가 됩니다
분홍색 각, 직각 파란색 각의 순서대로
삼각형의 이름을 붙였습니다
이제 관계를 정의해 봅시다
작은 삼각형의 빗변 BC를
큰 삼각형의 빗변 BA로 나누면
두 삼각형의 빗변의 비를 알 수 있습니다
BC/BA는
작은 삼각형의 짧은 변 BD와
그에 대응하는 큰 삼각형의 변 BC의
비 BD/BC와 같습니다
BC는 b와 같고 BA는 c와 같습니다
BD는 e와 같죠
이를 교차로 곱해 볼까요?
왼쪽 분자의 b와 오른쪽 분모의 b를 곱합니다
교차로 곱해주는 것은 두 분수의 각 분자에
다른 분수의 분모를 곱하는 거예요
이렇게 하면 b² = ce가 됩니다
이제 두 식을 더해 볼까요?
b² = ce를 이 밑에 다시 써 볼게요
좌변끼리 더하면
a² + b² = cd + ce
c가 각 항에 공통으로 들어 있으므로
c로 묶어내면
c(d + e)가 될 것입니다
그럼 d + e는 무엇일까요?
d는 이 부분의 길이고 e는 이 길이입니다
따라서 d + e는 c가 되겠죠
c × c = c²
흥미로운 결과가 나왔네요
a² + b² = c²
다시 적어 볼게요
다른 색으로 써 볼까요?
실수로 지워 버렸네요
다시 써 볼게요
이렇게 a² + b² = c²을 증명해 보았습니다
직각삼각형의 안에 있는 두 직각삼각형을 이용해
각 변의 길이를 제곱해서 더한 값이
빗변의 길이를 제곱한 값과 같다는 것을 알아냈습니다
이것은 정말 쉽고 널리 알려진
수학 정리입니다
이 식은 수학자 피타고라스의 이름을 따서
피타고라스의 정리라고 부릅니다
이 정리는 기하학의 기초가 되는 정리이며
삼각함수의 기초이기도 합니다
이 정리는 두 변의 길이가 주어졌을 때
나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용합니다