WEBVTT

00:00:00.500 --> 00:00:04.420
이 삼각형은
직각삼각형입니다

00:00:04.430 --> 00:00:07.130
직각삼각형이란
내각 중 하나가

00:00:07.140 --> 00:00:09.800
90도인 직각을
포함하는 삼각형입니다

00:00:09.800 --> 00:00:14.180
직각삼각형의
가장 긴 변은

00:00:14.190 --> 00:00:17.910
90도의 각과
마주 보는 변이며

00:00:17.910 --> 00:00:20.780
이 변은
빗변이라고 합니다

00:00:20.780 --> 00:00:25.220
빗변은 직각삼각형의
가장 긴 변이고

00:00:25.220 --> 00:00:28.020
90도의 각과
마주 보는 변입니다

00:00:28.020 --> 00:00:30.400
빗변이라는 단어를
기억해두면 유용해요

00:00:30.400 --> 00:00:33.580
삼각형에서 가장 긴 변
또는 90도와 마주 보는 변을

00:00:33.580 --> 00:00:36.560
빗변이라고
할 수 있기 때문이죠

00:00:36.560 --> 00:00:39.220
이번 동영상에서는

00:00:39.220 --> 00:00:46.220
직각삼각형의 각 변과
길이 사이의 관계를

00:00:46.220 --> 00:00:49.000
증명해 보겠습니다

00:00:49.000 --> 00:00:55.830
이 직각삼각형의
변 AC의 길이를 a라고 하고

00:00:55.840 --> 00:01:00.120
BC의 길이를
b라고 하겠습니다

00:01:00.120 --> 00:01:04.140
꼭짓점은 대문자로
변의 길이는 소문자로 표시할게요

00:01:04.140 --> 00:01:08.900
마지막으로 빗변의 길이
즉, AB의 길이는 c라고 할게요

00:01:08.900 --> 00:01:12.700
이제 a, b, c 사이의
관계를 증명해 봅시다

00:01:12.700 --> 00:01:16.420
먼저 직선 또는 선분을

00:01:16.420 --> 00:01:19.380
C와 빗변 사이에
그려 볼게요

00:01:19.380 --> 00:01:24.020
빗변과 수직으로
만나도록 그려볼 거예요

00:01:24.020 --> 00:01:28.280
빗변과 만나는 점을
D라고 하겠습니다

00:01:28.290 --> 00:01:31.100
어떻게 이렇게
그릴 수 있을까요?

00:01:31.100 --> 00:01:34.420
삼각형 전체를
회전시킨다고 해 봅시다

00:01:34.420 --> 00:01:37.020
완벽한 증명은 아니지만

00:01:37.020 --> 00:01:39.860
이 점을 어떻게 그리는지
설명해 드릴게요

00:01:39.860 --> 00:01:45.400
회전시키면 삼각형의
빗변은 아래로 갑니다

00:01:45.400 --> 00:01:48.640
여기는 점 B이고
여기는 점 A가 되겠죠

00:01:48.640 --> 00:01:51.960
삼각형을 회전시켰으므로
여기는 점 C입니다

00:01:51.960 --> 00:01:55.860
이 점에서 돌을
하나 떨어뜨린다면

00:01:55.860 --> 00:01:59.240
빗변과 수직으로 닿겠죠

00:01:59.240 --> 00:02:02.330
이렇게 선분 CD를
그릴 수 있습니다

00:02:02.340 --> 00:02:05.560
여기에 점 D라고
표시했었죠

00:02:05.560 --> 00:02:07.600
이를 통해
삼각형 안에 있는

00:02:07.600 --> 00:02:10.420
작은 삼각형들 사이의
관계를 알아낼 수 있어요

00:02:10.420 --> 00:02:12.300
여기 삼각형이
세 개 있습니다

00:02:12.300 --> 00:02:15.460
삼각형 ADC와
삼각형 DBC가 있고

00:02:15.460 --> 00:02:18.180
처음의 큰
직각삼각형이 있죠

00:02:18.180 --> 00:02:22.080
삼각형 사이의 닮음을
생각해 봅시다

00:02:22.080 --> 00:02:25.080
먼저 삼각형 ADC가

00:02:25.080 --> 00:02:27.700
큰 삼각형과 닮았다는
것을 보여드릴게요

00:02:27.700 --> 00:02:32.070
삼각형 ADC는
이곳에 직각이 있습니다

00:02:32.080 --> 00:02:35.760
이 각이 90도이므로
이 각도 90도겠죠

00:02:35.760 --> 00:02:38.360
두 각을 더하면
180도가 됩니다

00:02:38.360 --> 00:02:42.860
그러므로 작은 삼각형과
큰 삼각형 모두

00:02:42.860 --> 00:02:44.860
직각을 가지고 있어요

00:02:44.870 --> 00:02:49.080
그리고 두 삼각형은
각 A를 공유하고 있습니다

00:02:49.090 --> 00:02:53.250
각 DAC라고 할 수도 있고
각 BAC라고 할 수도 있죠

00:02:53.260 --> 00:02:56.600
이를 한번 써 볼게요

00:02:56.600 --> 00:03:00.280
작은 삼각형 ADC부터
먼저 봅시다

00:03:00.280 --> 00:03:03.880
삼각형 ADC에
빗금을 쳐 볼게요

00:03:03.880 --> 00:03:07.620
삼각형 ADC의 이름은
파란색 각부터

00:03:07.620 --> 00:03:10.580
직각, 이름 없는 각 순서대로
이름을 붙인 거예요

00:03:10.580 --> 00:03:15.800
여기 표시된 직각은
큰 삼각형의 직각을 나타냅니다

00:03:15.800 --> 00:03:24.820
삼각형 ADC는
삼각형 ACB와 닮음입니다

00:03:24.820 --> 00:03:28.080
삼각형 ACB의 이름 역시
파란색 각 A에서 시작해서

00:03:28.080 --> 00:03:34.060
직각, 나머지 각 순서대로
이름을 붙였습니다

00:03:34.060 --> 00:03:37.200
삼각형 ACB입니다

00:03:37.200 --> 00:03:39.300
두 삼각형이
서로 닮음이므로

00:03:39.300 --> 00:03:42.140
변의 길이 사이의
비의 관계를 알 수 있어요

00:03:42.140 --> 00:03:45.880
예를 들어
닮음인 삼각형은 보통

00:03:45.880 --> 00:03:49.860
대응하는 변 사이의
비가 항상 일정합니다

00:03:49.860 --> 00:03:53.600
두 삼각형의 변의
비를 따져 봅시다

00:03:53.600 --> 00:03:58.580
작은 삼각형의
빗변 AC와

00:03:58.590 --> 00:04:01.720
큰 삼각형의
빗변 AB의 비인

00:04:01.730 --> 00:04:04.510
AC/AB는

00:04:04.510 --> 00:04:08.090
닮음인 두 삼각형에서
대응하는 다른 변의 비인

00:04:08.090 --> 00:04:14.120
작은 삼각형의
다른 변 AD와

00:04:14.120 --> 00:04:19.960
이에 대응하는
큰 삼각형의 변 AC의

00:04:19.960 --> 00:04:23.740
비 AD/AC와
같습니다

00:04:23.740 --> 00:04:26.420
작은 삼각형을 보면

00:04:26.420 --> 00:04:34.560
파란색과 빨간색 각 사이에
변 AD가 있고

00:04:34.561 --> 00:04:36.201
큰 삼각형에서도

00:04:36.201 --> 00:04:39.200
파란색과 빨간색 각 사이에
변 AC가 있습니다

00:04:39.200 --> 00:04:41.200
따라서 양변의 분모는
큰 삼각형의 변이고

00:04:41.200 --> 00:04:43.920
이 둘은 작은 삼각형에서
그에 대응하는 변입니다

00:04:43.940 --> 00:04:46.180
혼란스러울 수도 있지만

00:04:46.200 --> 00:04:49.480
닮음을 정확하게
표현한다면

00:04:49.480 --> 00:04:51.980
서로 대응하는 점을
찾을 수 있습니다

00:04:52.000 --> 00:04:56.150
변 AC는 큰 삼각형의
AB에 대응하고

00:04:56.160 --> 00:04:58.840
작은 삼각형에서 AD는

00:04:58.840 --> 00:05:02.120
큰 삼각형의 AC에
대응하는 변입니다

00:05:02.120 --> 00:05:10.752
변 AC는
a로 나타낼 수 있습니다

00:05:10.760 --> 00:05:16.260
AD를 나타내는
문자가 없네요

00:05:16.260 --> 00:05:20.520
AB는 c였죠

00:05:20.520 --> 00:05:26.900
AD는 d로 나타내 봅시다

00:05:26.900 --> 00:05:30.200
d는 이 부분이고

00:05:30.210 --> 00:05:32.940
c는 빗변 전체를
나타냅니다

00:05:32.950 --> 00:05:35.920
DB를 길이 e라고
하겠습니다

00:05:35.930 --> 00:05:38.840
이렇게 문자로
표시하면 편해요

00:05:38.840 --> 00:05:41.680
AD를 d라고 하면

00:05:41.680 --> 00:05:46.540
a/c = d/a이므로
교차로 곱해주면

00:05:46.550 --> 00:05:51.140
a² = cd가 됩니다

00:05:51.140 --> 00:05:55.920
다른 삼각형에서도
이렇게 할 수 있는지 볼까요?

00:05:55.920 --> 00:05:57.980
이 삼각형을 봅시다

00:05:57.980 --> 00:06:00.720
이 삼각형과 큰 삼각형
모두 직각이 있고

00:06:00.720 --> 00:06:04.240
이 각을 서로
공유하니까

00:06:04.240 --> 00:06:08.240
두 각이 같은 AA닮음으로
두 삼각형은 닮음입니다

00:06:08.250 --> 00:06:13.150
오른쪽에 분홍색으로
써 볼게요

00:06:13.150 --> 00:06:19.940
삼각형 BDC와
닮음인 삼각형의 이름은

00:06:19.940 --> 00:06:24.540
큰 삼각형의 분홍색 각
B에서부터 시작해서

00:06:24.540 --> 00:06:27.720
직각으로 가는
순서이므로

00:06:27.720 --> 00:06:31.040
삼각형 BCA가 됩니다

00:06:31.050 --> 00:06:35.410
분홍색 각, 직각
파란색 각의 순서대로

00:06:35.410 --> 00:06:38.380
삼각형의 이름을
붙였습니다

00:06:38.380 --> 00:06:42.040
이제 관계를
정의해 봅시다

00:06:42.040 --> 00:06:46.180
작은 삼각형의
빗변 BC를

00:06:46.180 --> 00:06:49.640
큰 삼각형의
빗변 BA로 나누면

00:06:49.640 --> 00:06:53.420
두 삼각형의 빗변의
비를 알 수 있습니다

00:06:53.430 --> 00:07:02.720
BC/BA는

00:07:02.720 --> 00:07:09.260
작은 삼각형의
짧은 변 BD와

00:07:09.260 --> 00:07:12.760
그에 대응하는
큰 삼각형의 변 BC의

00:07:12.760 --> 00:07:15.780
비 BD/BC와 같습니다

00:07:15.780 --> 00:07:25.480
BC는 b와 같고
BA는 c와 같습니다

00:07:25.480 --> 00:07:31.280
BD는 e와 같죠

00:07:31.280 --> 00:07:33.820
이를 교차로
곱해 볼까요?

00:07:33.820 --> 00:07:36.580
왼쪽 분자의 b와
오른쪽 분모의 b를 곱합니다

00:07:36.580 --> 00:07:39.900
교차로 곱해주는 것은
두 분수의 각 분자에

00:07:39.900 --> 00:07:42.660
다른 분수의 분모를
곱하는 거예요

00:07:42.660 --> 00:07:48.000
이렇게 하면
b² = ce가 됩니다

00:07:48.000 --> 00:07:51.260
이제 두 식을
더해 볼까요?

00:07:51.260 --> 00:07:56.040
b² = ce를
이 밑에 다시 써 볼게요

00:07:56.040 --> 00:07:58.380
좌변끼리 더하면

00:07:58.380 --> 00:08:12.960
a² + b² = cd + ce

00:08:12.960 --> 00:08:16.160
c가 각 항에 공통으로
들어 있으므로

00:08:16.180 --> 00:08:19.810
c로 묶어내면

00:08:19.820 --> 00:08:29.520
c(d + e)가
될 것입니다

00:08:29.520 --> 00:08:31.440
그럼 d + e는
무엇일까요?

00:08:31.460 --> 00:08:34.260
d는 이 부분의 길이고
e는 이 길이입니다

00:08:34.270 --> 00:08:38.560
따라서 d + e는
c가 되겠죠

00:08:38.560 --> 00:08:42.900
c × c = c²

00:08:42.900 --> 00:08:46.360
흥미로운 결과가 나왔네요

00:08:46.360 --> 00:08:51.300
a² + b² = c²

00:08:51.300 --> 00:08:53.760
다시 적어 볼게요

00:08:53.760 --> 00:08:56.940
다른 색으로
써 볼까요?

00:08:56.940 --> 00:09:00.460
실수로 지워 버렸네요

00:09:00.460 --> 00:09:02.540
다시 써 볼게요

00:09:02.540 --> 00:09:09.340
이렇게 a² + b² = c²을
증명해 보았습니다

00:09:09.340 --> 00:09:13.560
직각삼각형의 안에 있는
두 직각삼각형을 이용해

00:09:13.560 --> 00:09:16.900
각 변의 길이를
제곱해서 더한 값이

00:09:16.900 --> 00:09:20.020
빗변의 길이를 제곱한 값과
같다는 것을 알아냈습니다

00:09:20.040 --> 00:09:23.560
이것은 정말 쉽고
널리 알려진

00:09:23.560 --> 00:09:25.800
수학 정리입니다

00:09:25.800 --> 00:09:30.340
이 식은 수학자
피타고라스의 이름을 따서

00:09:30.340 --> 00:09:38.260
피타고라스의 정리라고
부릅니다

00:09:38.260 --> 00:09:43.520
이 정리는 기하학의
기초가 되는 정리이며

00:09:43.520 --> 00:09:46.240
삼각함수의
기초이기도 합니다

00:09:46.240 --> 00:09:48.980
이 정리는 두 변의
길이가 주어졌을 때

00:09:48.980 --> 00:09:52.220
나머지 한 변의
길이를 구할 때 유용합니다