Pythagorean Theorem Proof Using Similarity

Máme tady pravoúhlý trojúhelník.

A pravoúhlý trojúhelník je to proto,
že má úhel 90 stupňů,

tedy pravý úhel.

Nejdelší straně pravoúhlého
trojúhelníku říkáme...

Buďto ji můžete brát jako

nejdelší stranu
pravoúhlého trojúhelníku

nebo jako stranu
naproti úhlu 90 stupňů.

...říkáme jí přepona.

Je to velice nóbl slovo
pro celkem jednoduchou věc,

prostě nejdelší stranu
pravoúhlého trojúhelníku

nebo stranu naproti úhlu 90 stupňů.

A je dobré to vědět, protože až
někdo řekne 'přepona', vy si řeknete:

'Jo, oni mluví o této straně,

té nejdelší straně, straně
naproti úhlu 90 stupňů.'

V tomto videu chci dokázat vztah,

velmi známý vztah,
a vy už můžete tušit, co myslím.

Velice důležitý vztah mezi délkami stran
v pravoúhlém trojúhelníku.

Takže délce strany AC (velké A, velké C)

budeme říkat 'a' (malé a).

Délce strany BC budeme říkat 'b'.

Velká písmena použiju pro vrcholy
a malá použiju pro délky stran.

Délce přepony,

tedy délce strany AB, budeme říkat 'c'.

A pojďme zjistit, jestli jsme schopni přijít
na vztah mezi stranami 'a', 'b' a 'c'.

Abychom to mohli udělat,
tak nejprve sestrojím další přímku,

nebo spíš asi úsečku,
mezi bodem C a přeponou.

Sestrojím ji tak, aby protínala
přeponu pod pravým úhlem.

To můžete udělat vždycky. Tomuto bodu tady

budeme říkat velké D.

A jestli vás zajímá, jak to máte udělat,

můžete si představit,
že celý ten trojúhelník takhle otočíte.

Není to úplně důkaz, ale dává vám
to alespoň obecnou představu,

jak sestrojit takový bod.

Když jsem ten trojúhelník otočil,

tak přepona je nyní toto,
trojúhelník je na ní postavený.

Tenhle bod je nyní bod B,
tenhle bod je A.

Celý trojúhelník jsme úplně obrátili.

Tohle je bod C. Můžete si představit,
že z bodu C upustíte kámen

přivázaný provázkem,
a ten by spadl na přeponu

pod pravým úhlem.

Tak jsme sestrojili úsečku CD

a přišli na to, kam umístíme bod D.

A důvod, proč jsem to udělal, je,
že nyní můžeme přijít

na celou řadu zajímavých vztahů
mezi podobnými trojúhelníky.

Jsou tu 3 trojúhelníky,
trojúhelník ADC,

trojúhelník DBC, a pak je tu
ten větší, původní trojúhelník.

Můžeme, doufám, dokázat
podobnost těchto trojúhelníků.

Nejprve vám ukážu, že trojúhelník ADC
je podobný s tímto větším trojúhelníkem,

protože oba mají pravý úhel.

ADC má pravý úhel tady.

Takže když tohle je úhel 90 stupňů,

tak tenhle úhel bude také 90 stupňů.

Jsou to vedlejší úhly,
takže musí v součtu dát 180 stupňů.

A oba dva mají pravý úhel.

Ten menší má pravý úhel

a ten větší má evidentně taky pravý úhel.
Od toho jsme začínali.

Oba dva sdílí tento úhel,

úhel DAC nebo BAC,
je jedno, jak mu chcete říkat.

Takže si můžeme napsat,
že trojúhelník...

Začnu s tím menším.

...ADC. Vybarvím ho.

Takže tohle je ten trojúhelník,
o kterém mluvím, trojúhelník ADC.

A šel jsem od modrého úhlu přes pravý úhel

až k tomu neoznačenému úhlu
v trojúhelníku ADC.

Tenhle pravý úhel
k tomuto trojúhelníku nepatří,

patří k tomu většímu trojúhelníku.

Můžeme říct, že trojúhelník ADC

je podobný trojúhelníku...

Znovu, začínáte od modrého úhlu,

pak jsme šli přes pravý úhel,

takže chci jít přes pravý úhel
i tady.

Takže to je trojúhelník ACB.

Protože jsou si podobné,
tak můžeme přijít

na vztah mezi poměry jejich stran.

Například víme,
že poměr odpovídajících stran,

obecně pro podobné trojúhelníky,

poměry odpovídajících stran

budou konstantní.

Takže můžeme vzít poměr
přepony toho malého trojúhelníku,

přepona je AC,
lomeno přepona toho většího,

což je strana AB.

AC/AB bude to samé jako AD,

jako jedna z odvěsen, AD...

Jen abych vám ukázal,
že beru odpovídající

vrcholy z obou podobných trojúhelníku.

Tohle je AD/AC.

Můžete se na ty trojúhelníky podívat sami

a říct si: 'Podívej, AD. Vrchol AD je

mezi modrým úhlem
a pravým úhlem,

omlouvám se, strana AD je
mezi modrým a pravým úhlem.

Strana AC je mezi modrým úhlem
a červeným úhlem

většího trojúhelníku.

Takže obě tyhle strany
jsou z většího trojúhelníku

a tohle jsou odpovídající strany
menšího trojúhelníku.

A pokud je to matoucí,
stačí se podívat sem.

Pokud jsme napsali naše tvrzení
o podobnosti správně,

stačí jen najít odpovídající body.

AC odpovídá straně
AB většího trojúhelníku.

Strana AD menšího trojúhelníku
odpovídá straně AC většího trojúhelníku.

A víme, že AC můžeme přepsat jako 'a'.

AC je 'a'.

Nemáme žádné označení pro strany AD a AB.

Pardon, označení pro stranu AB
máme, je to 'c'.

Nemáme označení pro AD,

takže tomu budeme říkat prostě 'd'.

Takže 'd' platí pouze pro tuto část,

'c' platí pro celou tuhle stranu.

A straně DB budeme říkat 'e',

to nám trochu zlehčí situaci.

Takže AD budeme říkat prostě 'd'.

Máme, že a lomeno c se rovná d lomeno a.

Když vynásobíme křížem, tak dostaneme
a krát a, což je a na druhou,

se rovná c krát d, což je cd.

To je docela zajímavý výsledek.

Pojďme se podívat,
co dokážeme s tímto druhým trojúhelníkem.

S tímto trojúhelníkem tady.

Takže znovu. Tenhle trojúhelník
má pravý úhel, ten větší má také pravý úhel

a oba sdílí tento úhel.

Takže podle úhlové podobnosti

budou tyto trojúhelníky podobné.

Můžeme říct, že trojúhelník BDC...

Jdeme od růžového úhlu přes pravý
k tomu neoznačenému.

...trojúhelník BDC je
podobný trojúhelníku...

Teď se podíváme na ten větší trojúhelník.

Začneme od růžového úhlu u vrcholu B,

budeme pokračovat přes pravý úhel
u vrcholu C

k vrcholu A,
BCA

Od růžového úhlu přes pravý
k tomu neoznačenému.

Alespoň pro teď,
předtím už jsme si ho označili modře.

Nyní se zkusíme přijít na nějaký vztah
mezi nimi.

Můžeme říct, že poměr stran je
strana BC menšího trojúhelníku

lomeno strana BA většího trojúhelníku.

BC/BA.

Znovu, bereme přepony
obou těchto trojúhelníků.

Takže BC/BA se bude rovnat BD...

Napíšu to jinou barvou.
...BD, takže jedno z těchto ramen,

nakreslil jsem to tak,
že BD je kratší rameno,

BD/BC. Prostě beru odpovídající
vrcholy.

Znovu, víme, že BC je to samé jako 'b'.

BC je 'b'.

BA je 'c'.

A BD jsme si definovali jako 'e'.

Takže tohle je 'e'.

Můžeme násobit křížem
a dostaneme b krát b,

což je... Jak jsem říkal
ve spoustě videí, násobení křížem

je násobení obou stran oběma jmenovateli.

...b krát b, neboli b na druhou,
se rovná ce.

A teď můžeme udělat
něco celkem zajímavého.

Můžeme sečíst tato dvě tvrzení.

Přepíšu tohle tvrzení sem dolů.

Takže b na druhou se rovná ce.

Když sečteme levé strany,
dostaneme a na druhou

plus b na druhou

se rovná cd plus ce.

A pak máme c v obou výrazech,
takže to můžeme vytknout.

Tohle se to rovná...
Můžeme vytknout c.

...takže to bude c krát (d plus e).

c krát (d plus e). Uzavřeme závorku.

Teď co je d plus e?

'd' je tahle strana,

'e' je tahle strana.

Takže (d plus e) bude vlastně taky c.

Tohle bude c.

Takže c krát c je to samé
jako c na druhou,

Teď nám vyšel zajímavý vztah.

Vyšlo nám, že a na druhou plus b na druhou
se rovná c na druhou.

Přepíšu to.

a na druhou...
Napíšu to jinou barvou.

Omylem jsem to vymazal,
takže to přepíšu.

Právě jsme zjistili, že a na druhou

plus b na druhou se rovná c na druhou.

A to platí pro libovolný
pravoúhlý trojúhelník.

A tohle platí pro libovolné
dva pravoúhlé trojúhelníky.

Právě jsme zjistili, že součet
druhých mocnin obou odvěsen

se rovná druhé odmocnině přepony.

A to je pravděpodobně
jedna z nejslavnějších matematických

teorií pojmenovaná po Pythagorovi.

Není jisté, jestli byl první,
kdo na ni přišel,

ale jmenuje se Pythagorova věta.

Pythagorova věta.

A to je vlastně základ ne celé,

ale podstatné části geometrie,
kterou budeme probírat.

A je to základ celé trigonometrie,
kterou budeme probírat.

Je to opravdu užitečné,
protože když znáte 2 strany

pravoúhlého trojúhelníku,
tak můžete spočítat tu třetí.