1
00:00:00,000 --> 00:00:04,420
Máme tady pravoúhlý trojúhelník.

2
00:00:04,430 --> 00:00:07,190
A pravoúhlý trojúhelník je to proto,
že má úhel 90 stupňů,

3
00:00:07,190 --> 00:00:09,000
tedy pravý úhel.

4
00:00:09,010 --> 00:00:14,010
Nejdelší straně pravoúhlého
trojúhelníku říkáme...

5
00:00:14,010 --> 00:00:15,480
Buďto ji můžete brát jako

6
00:00:15,480 --> 00:00:17,480
nejdelší stranu
pravoúhlého trojúhelníku

7
00:00:17,480 --> 00:00:19,260
nebo jako stranu
naproti úhlu 90 stupňů.

8
00:00:19,260 --> 00:00:20,370
...říkáme jí přepona.

9
00:00:20,380 --> 00:00:23,840
Je to velice nóbl slovo
pro celkem jednoduchou věc,

10
00:00:23,840 --> 00:00:26,120
prostě nejdelší stranu
pravoúhlého trojúhelníku

11
00:00:26,120 --> 00:00:27,770
nebo stranu naproti úhlu 90 stupňů.

12
00:00:27,780 --> 00:00:31,010
A je dobré to vědět, protože až
někdo řekne 'přepona', vy si řeknete:

13
00:00:31,010 --> 00:00:32,420
'Jo, oni mluví o této straně,

14
00:00:32,430 --> 00:00:36,080
té nejdelší straně, straně
naproti úhlu 90 stupňů.'

15
00:00:36,090 --> 00:00:40,690
V tomto videu chci dokázat vztah,

16
00:00:40,700 --> 00:00:43,950
velmi známý vztah,
a vy už můžete tušit, co myslím.

17
00:00:43,960 --> 00:00:48,630
Velice důležitý vztah mezi délkami stran
v pravoúhlém trojúhelníku.

18
00:00:48,630 --> 00:00:53,670
Takže délce strany AC (velké A, velké C)

19
00:00:53,680 --> 00:00:55,830
budeme říkat 'a' (malé a).

20
00:00:55,840 --> 00:01:00,250
Délce strany BC budeme říkat 'b'.

21
00:01:00,250 --> 00:01:03,320
Velká písmena použiju pro vrcholy
a malá použiju pro délky stran.

22
00:01:03,330 --> 00:01:05,460
Délce přepony,

23
00:01:05,460 --> 00:01:08,170
tedy délce strany AB, budeme říkat 'c'.

24
00:01:08,180 --> 00:01:12,330
A pojďme zjistit, jestli jsme schopni přijít
na vztah mezi stranami 'a', 'b' a 'c'.

25
00:01:12,340 --> 00:01:15,590
Abychom to mohli udělat,
tak nejprve sestrojím další přímku,

26
00:01:15,600 --> 00:01:19,240
nebo spíš asi úsečku,
mezi bodem C a přeponou.

27
00:01:19,250 --> 00:01:24,020
Sestrojím ji tak, aby protínala
přeponu pod pravým úhlem.

28
00:01:24,030 --> 00:01:26,790
To můžete udělat vždycky. Tomuto bodu tady

29
00:01:26,800 --> 00:01:28,280
budeme říkat velké D.

30
00:01:28,290 --> 00:01:31,100
A jestli vás zajímá, jak to máte udělat,

31
00:01:31,110 --> 00:01:34,180
můžete si představit,
že celý ten trojúhelník takhle otočíte.

32
00:01:34,190 --> 00:01:36,970
Není to úplně důkaz, ale dává vám
to alespoň obecnou představu,

33
00:01:36,980 --> 00:01:39,520
jak sestrojit takový bod.

34
00:01:39,530 --> 00:01:42,150
Když jsem ten trojúhelník otočil,

35
00:01:42,150 --> 00:01:44,470
tak přepona je nyní toto,
trojúhelník je na ní postavený.

36
00:01:44,470 --> 00:01:48,500
Tenhle bod je nyní bod B,
tenhle bod je A.

37
00:01:48,510 --> 00:01:50,850
Celý trojúhelník jsme úplně obrátili.

38
00:01:50,860 --> 00:01:54,270
Tohle je bod C. Můžete si představit,
že z bodu C upustíte kámen

39
00:01:54,280 --> 00:01:57,780
přivázaný provázkem,
a ten by spadl na přeponu

40
00:01:57,790 --> 00:01:59,230
pod pravým úhlem.

41
00:01:59,240 --> 00:02:02,330
Tak jsme sestrojili úsečku CD

42
00:02:02,340 --> 00:02:05,290
a přišli na to, kam umístíme bod D.

43
00:02:05,300 --> 00:02:07,910
A důvod, proč jsem to udělal, je,
že nyní můžeme přijít

44
00:02:07,910 --> 00:02:10,720
na celou řadu zajímavých vztahů
mezi podobnými trojúhelníky.

45
00:02:10,730 --> 00:02:14,000
Jsou tu 3 trojúhelníky,
trojúhelník ADC,

46
00:02:14,010 --> 00:02:17,850
trojúhelník DBC, a pak je tu
ten větší, původní trojúhelník.

47
00:02:17,860 --> 00:02:21,500
Můžeme, doufám, dokázat
podobnost těchto trojúhelníků.

48
00:02:21,510 --> 00:02:27,690
Nejprve vám ukážu, že trojúhelník ADC
je podobný s tímto větším trojúhelníkem,

49
00:02:27,700 --> 00:02:29,470
protože oba mají pravý úhel.

50
00:02:29,480 --> 00:02:32,070
ADC má pravý úhel tady.

51
00:02:32,080 --> 00:02:33,920
Takže když tohle je úhel 90 stupňů,

52
00:02:33,930 --> 00:02:35,660
tak tenhle úhel bude také 90 stupňů.

53
00:02:35,660 --> 00:02:38,160
Jsou to vedlejší úhly,
takže musí v součtu dát 180 stupňů.

54
00:02:38,170 --> 00:02:40,650
A oba dva mají pravý úhel.

55
00:02:40,660 --> 00:02:42,050
Ten menší má pravý úhel

56
00:02:42,060 --> 00:02:44,860
a ten větší má evidentně taky pravý úhel.
Od toho jsme začínali.

57
00:02:44,870 --> 00:02:49,080
Oba dva sdílí tento úhel,

58
00:02:49,090 --> 00:02:53,250
úhel DAC nebo BAC,
je jedno, jak mu chcete říkat.

59
00:02:53,260 --> 00:02:55,850
Takže si můžeme napsat,
že trojúhelník...

60
00:02:55,860 --> 00:02:58,370
Začnu s tím menším.

61
00:02:58,380 --> 00:03:02,410
...ADC. Vybarvím ho.

62
00:03:02,420 --> 00:03:05,270
Takže tohle je ten trojúhelník,
o kterém mluvím, trojúhelník ADC.

63
00:03:05,280 --> 00:03:07,620
A šel jsem od modrého úhlu přes pravý úhel

64
00:03:07,630 --> 00:03:10,350
až k tomu neoznačenému úhlu
v trojúhelníku ADC.

65
00:03:10,360 --> 00:03:14,070
Tenhle pravý úhel
k tomuto trojúhelníku nepatří,

66
00:03:14,080 --> 00:03:15,790
patří k tomu většímu trojúhelníku.

67
00:03:15,790 --> 00:03:20,440
Můžeme říct, že trojúhelník ADC

68
00:03:20,450 --> 00:03:24,200
je podobný trojúhelníku...

69
00:03:24,210 --> 00:03:27,610
Znovu, začínáte od modrého úhlu,

70
00:03:27,620 --> 00:03:29,580
pak jsme šli přes pravý úhel,

71
00:03:29,590 --> 00:03:31,920
takže chci jít přes pravý úhel
i tady.

72
00:03:31,930 --> 00:03:36,510
Takže to je trojúhelník ACB.

73
00:03:36,540 --> 00:03:40,160
Protože jsou si podobné,
tak můžeme přijít

74
00:03:40,170 --> 00:03:42,000
na vztah mezi poměry jejich stran.

75
00:03:42,010 --> 00:03:44,730
Například víme,
že poměr odpovídajících stran,

76
00:03:44,740 --> 00:03:47,450
obecně pro podobné trojúhelníky,

77
00:03:47,460 --> 00:03:49,070
poměry odpovídajících stran

78
00:03:49,080 --> 00:03:50,050
budou konstantní.

79
00:03:50,060 --> 00:03:54,500
Takže můžeme vzít poměr
přepony toho malého trojúhelníku,

80
00:03:54,510 --> 00:04:00,580
přepona je AC,
lomeno přepona toho většího,

81
00:04:00,590 --> 00:04:01,720
což je strana AB.

82
00:04:01,730 --> 00:04:09,560
AC/AB bude to samé jako AD,

83
00:04:09,560 --> 00:04:14,340
jako jedna z odvěsen, AD...

84
00:04:14,340 --> 00:04:16,640
Jen abych vám ukázal,
že beru odpovídající

85
00:04:16,640 --> 00:04:18,460
vrcholy z obou podobných trojúhelníku.

86
00:04:18,460 --> 00:04:23,740
Tohle je AD/AC.

87
00:04:23,750 --> 00:04:25,720
Můžete se na ty trojúhelníky podívat sami

88
00:04:25,730 --> 00:04:28,890
a říct si: 'Podívej, AD. Vrchol AD je

89
00:04:28,890 --> 00:04:31,290
mezi modrým úhlem
a pravým úhlem,

90
00:04:31,290 --> 00:04:34,540
omlouvám se, strana AD je
mezi modrým a pravým úhlem.

91
00:04:34,550 --> 00:04:38,130
Strana AC je mezi modrým úhlem
a červeným úhlem

92
00:04:38,140 --> 00:04:39,190
většího trojúhelníku.

93
00:04:39,200 --> 00:04:41,100
Takže obě tyhle strany
jsou z většího trojúhelníku

94
00:04:41,110 --> 00:04:43,240
a tohle jsou odpovídající strany
menšího trojúhelníku.

95
00:04:43,250 --> 00:04:46,190
A pokud je to matoucí,
stačí se podívat sem.

96
00:04:46,200 --> 00:04:50,310
Pokud jsme napsali naše tvrzení
o podobnosti správně,

97
00:04:50,310 --> 00:04:51,990
stačí jen najít odpovídající body.

98
00:04:52,000 --> 00:04:56,150
AC odpovídá straně
AB většího trojúhelníku.

99
00:04:56,160 --> 00:05:01,950
Strana AD menšího trojúhelníku
odpovídá straně AC většího trojúhelníku.

100
00:05:01,960 --> 00:05:06,690
A víme, že AC můžeme přepsat jako 'a'.

101
00:05:06,700 --> 00:05:10,720
AC je 'a'.

102
00:05:10,730 --> 00:05:15,520
Nemáme žádné označení pro strany AD a AB.

103
00:05:15,530 --> 00:05:20,330
Pardon, označení pro stranu AB
máme, je to 'c'.

104
00:05:20,340 --> 00:05:22,720
Nemáme označení pro AD,

105
00:05:22,720 --> 00:05:26,580
takže tomu budeme říkat prostě 'd'.

106
00:05:26,590 --> 00:05:30,200
Takže 'd' platí pouze pro tuto část,

107
00:05:30,210 --> 00:05:32,940
'c' platí pro celou tuhle stranu.

108
00:05:32,950 --> 00:05:35,920
A straně DB budeme říkat 'e',

109
00:05:35,930 --> 00:05:38,300
to nám trochu zlehčí situaci.

110
00:05:38,310 --> 00:05:41,350
Takže AD budeme říkat prostě 'd'.

111
00:05:41,360 --> 00:05:44,160
Máme, že a lomeno c se rovná d lomeno a.

112
00:05:44,170 --> 00:05:48,090
Když vynásobíme křížem, tak dostaneme
a krát a, což je a na druhou,

113
00:05:48,100 --> 00:05:51,140
se rovná c krát d, což je cd.

114
00:05:51,150 --> 00:05:52,850
To je docela zajímavý výsledek.

115
00:05:52,850 --> 00:05:55,760
Pojďme se podívat,
co dokážeme s tímto druhým trojúhelníkem.

116
00:05:55,760 --> 00:05:57,780
S tímto trojúhelníkem tady.

117
00:05:57,790 --> 00:06:00,720
Takže znovu. Tenhle trojúhelník
má pravý úhel, ten větší má také pravý úhel

118
00:06:00,730 --> 00:06:03,990
a oba sdílí tento úhel.

119
00:06:04,000 --> 00:06:06,640
Takže podle úhlové podobnosti

120
00:06:06,640 --> 00:06:08,180
budou tyto trojúhelníky podobné.

121
00:06:08,190 --> 00:06:10,280
Můžeme říct, že trojúhelník BDC...

122
00:06:10,280 --> 00:06:13,120
Jdeme od růžového úhlu přes pravý
k tomu neoznačenému.

123
00:06:13,130 --> 00:06:20,920
...trojúhelník BDC je
podobný trojúhelníku...

124
00:06:20,930 --> 00:06:22,560
Teď se podíváme na ten větší trojúhelník.

125
00:06:22,570 --> 00:06:24,540
Začneme od růžového úhlu u vrcholu B,

126
00:06:24,550 --> 00:06:27,480
budeme pokračovat přes pravý úhel
u vrcholu C

127
00:06:27,490 --> 00:06:31,040
k vrcholu A,
BCA

128
00:06:31,050 --> 00:06:35,620
Od růžového úhlu přes pravý
k tomu neoznačenému.

129
00:06:35,630 --> 00:06:38,200
Alespoň pro teď,
předtím už jsme si ho označili modře.

130
00:06:38,210 --> 00:06:40,900
Nyní se zkusíme přijít na nějaký vztah
mezi nimi.

131
00:06:40,910 --> 00:06:45,560
Můžeme říct, že poměr stran je
strana BC menšího trojúhelníku

132
00:06:45,560 --> 00:06:47,470
lomeno strana BA většího trojúhelníku.

133
00:06:47,480 --> 00:06:49,750
BC/BA.

134
00:06:49,760 --> 00:06:53,420
Znovu, bereme přepony
obou těchto trojúhelníků.

135
00:06:53,430 --> 00:07:00,690
Takže BC/BA se bude rovnat BD...

136
00:07:00,700 --> 00:07:04,720
Napíšu to jinou barvou.
...BD, takže jedno z těchto ramen,

137
00:07:04,730 --> 00:07:07,110
nakreslil jsem to tak,
že BD je kratší rameno,

138
00:07:07,120 --> 00:07:14,260
BD/BC. Prostě beru odpovídající
vrcholy.

139
00:07:14,270 --> 00:07:18,190
Znovu, víme, že BC je to samé jako 'b'.

140
00:07:18,200 --> 00:07:20,330
BC je 'b'.

141
00:07:20,340 --> 00:07:23,080
BA je 'c'.

142
00:07:23,090 --> 00:07:29,280
A BD jsme si definovali jako 'e'.

143
00:07:29,290 --> 00:07:31,560
Takže tohle je 'e'.

144
00:07:31,570 --> 00:07:35,000
Můžeme násobit křížem
a dostaneme b krát b,

145
00:07:35,010 --> 00:07:38,840
což je... Jak jsem říkal
ve spoustě videí, násobení křížem

146
00:07:38,850 --> 00:07:42,480
je násobení obou stran oběma jmenovateli.

147
00:07:42,490 --> 00:07:48,040
...b krát b, neboli b na druhou,
se rovná ce.

148
00:07:48,040 --> 00:07:50,030
A teď můžeme udělat
něco celkem zajímavého.

149
00:07:50,040 --> 00:07:51,720
Můžeme sečíst tato dvě tvrzení.

150
00:07:51,720 --> 00:07:53,480
Přepíšu tohle tvrzení sem dolů.

151
00:07:53,490 --> 00:07:55,770
Takže b na druhou se rovná ce.

152
00:07:55,780 --> 00:07:59,750
Když sečteme levé strany,
dostaneme a na druhou

153
00:07:59,760 --> 00:08:03,970
plus b na druhou

154
00:08:03,970 --> 00:08:12,920
se rovná cd plus ce.

155
00:08:12,930 --> 00:08:16,170
A pak máme c v obou výrazech,
takže to můžeme vytknout.

156
00:08:16,180 --> 00:08:19,810
Tohle se to rovná...
Můžeme vytknout c.

157
00:08:19,820 --> 00:08:22,660
...takže to bude c krát (d plus e).

158
00:08:22,670 --> 00:08:29,250
c krát (d plus e). Uzavřeme závorku.

159
00:08:29,260 --> 00:08:31,450
Teď co je d plus e?

160
00:08:31,460 --> 00:08:32,870
'd' je tahle strana,

161
00:08:32,880 --> 00:08:34,260
'e' je tahle strana.

162
00:08:34,270 --> 00:08:37,070
Takže (d plus e) bude vlastně taky c.

163
00:08:37,080 --> 00:08:38,550
Tohle bude c.

164
00:08:38,560 --> 00:08:42,650
Takže c krát c je to samé
jako c na druhou,

165
00:08:42,660 --> 00:08:45,850
Teď nám vyšel zajímavý vztah.

166
00:08:45,860 --> 00:08:51,290
Vyšlo nám, že a na druhou plus b na druhou
se rovná c na druhou.

167
00:08:51,300 --> 00:08:52,260
Přepíšu to.

168
00:08:52,270 --> 00:08:56,930
a na druhou...
Napíšu to jinou barvou.

169
00:08:56,940 --> 00:09:02,020
Omylem jsem to vymazal,
takže to přepíšu.

170
00:09:02,030 --> 00:09:05,600
Právě jsme zjistili, že a na druhou

171
00:09:05,610 --> 00:09:09,310
plus b na druhou se rovná c na druhou.

172
00:09:09,320 --> 00:09:11,560
A to platí pro libovolný
pravoúhlý trojúhelník.

173
00:09:11,570 --> 00:09:13,740
A tohle platí pro libovolné
dva pravoúhlé trojúhelníky.

174
00:09:13,750 --> 00:09:17,950
Právě jsme zjistili, že součet
druhých mocnin obou odvěsen

175
00:09:17,960 --> 00:09:20,030
se rovná druhé odmocnině přepony.

176
00:09:20,040 --> 00:09:24,840
A to je pravděpodobně
jedna z nejslavnějších matematických

177
00:09:24,850 --> 00:09:27,280
teorií pojmenovaná po Pythagorovi.

178
00:09:27,290 --> 00:09:29,970
Není jisté, jestli byl první,
kdo na ni přišel,

179
00:09:29,980 --> 00:09:32,610
ale jmenuje se Pythagorova věta.

180
00:09:32,620 --> 00:09:37,490
Pythagorova věta.

181
00:09:37,500 --> 00:09:41,520
A to je vlastně základ ne celé,

182
00:09:41,520 --> 00:09:43,440
ale podstatné části geometrie,
kterou budeme probírat.

183
00:09:43,450 --> 00:09:46,320
A je to základ celé trigonometrie,
kterou budeme probírat.

184
00:09:46,320 --> 00:09:48,940
Je to opravdu užitečné,
protože když znáte 2 strany

185
00:09:48,940 --> 00:09:51,780
pravoúhlého trojúhelníku,
tak můžete spočítat tu třetí.